حل اللغز 15: تحديد موضع نقطتين على مثلث

 

👈 في الشكل ثلاث مثلثات متجاورة مشكلة مثلثا كبيرا.

للاشارة فالمثلث الكبير ABC ليس بالضرورة أن يكون قائم الزاوية كما سنرى لاحقا

👈والمطلوب هو تحديد موضع النقطة M على الضلع [BC] وموضع النقطة N على الضلع [AM] حتى تكون مساحة المثلث الأزرق (يعني ANC) تساوي ثلاثة أضعاف مساحة المثلث الأحمر (يعني AMB) وتكون مساحة المثلث الأخضر (يعني CNM) تساوي ضعف مساحة المثلث الأحمر ( يعني المثلث AMB).

فكيف سنحدد موضع هاتين النقطتين كي تتحقق الشروط السابقة؟؟

👈هنا سنوظف قانون أساسي  في مساحات المثلثات وهو:

إذا اشترك مثلثان في الارتفاع، فإن النسبة بين مساحتيهما هي نفسها النسبة بين طولي قاعدتيهما

 لكن قبل ذلك دعونا أولا نفهم ماذا يقول هذا القانون؟؟

↤ إذا كان لدينا مثلثان لهما نفس الارتفاع فإن مساحتيهما تتعلقان بطول قاعدتيهما 

كيف ذلك؟؟ لنأخذ هاذين المثلثين:

نلاحظ ان للمثلثين نفس الارتفاع  (الذي هو h)  وطول قاعدتيهما مختلف

إذن النسبة بين مساحة المثلثين هي نفس النسبة بين طول قاعدتيهما:

👈 وبصيغة أدق، إذا كانت مثلا مساحة المثلث الأول تساوي نصف مساحة المثلث الثاني، فإن طول قاعدة المثلث الأول يساوي بدوره نصف طول قاعدة المثلث الثاني، وهكذا...

هذا القانون هو الذي سنوظفه للإجابة على هذا التحدي...

✤ نبدأ أولا بتحديد موضع النقطة M على الضلع [BC]

👈 في المعطيات مساحة المثلث  الأزرق (ANC) تساوي 3 أضعاف مساحة المثلث الأحمر (AMB)، وسنعبر عن ذلك بما يلي:

ولدينا ايضا مساحة المثلث الأخضر (CNM) يساوي ضعف مساحة المثلث الأحمر (AMB)، وسنعبر عن ذلك أيضا بما يلي:

وبجمع العلاقتين السابقتين سنحصل على:

👈ونلاحظ أن للمثلثين ACM و AMB نفس الرأس A ولهما نفس الارتفاع المار من الرأس A والعمودي على حامل القطعة [BC]

يمكن أن يكون الارتفاع هو المستقيم (AC) في حالة إذا كان المثلث ABC قائم الزاوية في CK 

لذلك أشرنا في البداية أن هذا المثلث ليس من الضرورة أن يكون قائم الزاوية.

👈 إذن بما أن للمثلثين نفس الارتفاع وتطبيقا للقانون الذي أشرنا إليه في البداية :

"إذا اشترك مثلثان في الارتفاع، فإن النسبة بين مساحتيهما هي نفسها النسبة بين طولي قاعدتيهما"

قاعدة المثلث AMB هو الضلع  [BM]، وقاعدة المثلث AMC هو الضلع [CM]:

👈 توصلنا إذن إلى أن النقطة M تقع على القطعة [BC]، بحيث تكون المسافة CM تساوي 5 أضعاف المسافة BM

يعني: 

CB = CM + MB

CB = 5MB + MB

CB = 6 MB

👈أي أننا نقوم بتجزيء القطعة [BC] إلى 6 أجزاء متساوية ونضع النقطة M  على الجزء الأخير المجاور للنقطة B:

✤ نقوم الآن بتحديد موقع النقطة N على القطعة [AM]

👈 لدينا في المعطيات أن مساحة المثلث الأزرق (ANC) تساوي ثلاثة أضعاف مساحة المثلث الأحمر (AMB) وعبرنا عن ذلك رياضيا كما يلي:

👈 وأن مساحة المثلث الأخضر (CNM) تساوي ضعف مساحة المثلث الأحمر ( AMB)، وعبرنا عن ذلك أيضا كما يلي:

👈 ومن العلاقتين السابقتين  نستنتج ما يلي:

فتوصلنا إلى أن هناك علاقة بين مساحة المثلثين ANC و  CNM ( مساحة CNM تساوي ثلثي  مساحة ANC)

👈 الآن سنرى إن كان للمثلثين نفس الارتفاع كي نطبق القانون الذي أشرنا إليه سابقا.

نلاحظ أن للمثلثين نفس الارتفاع المار من النقطة C

القاعدة الموافقة لهذا الارتفاع في المثلث CNM هي الضلع [MN]

القاعدة الموافقة لهذا الارتفاع في المثلث ANC هي الضلع [AN]

إذن حسب القانون السابق سنحصل على ما يلي:

يعني أن المسافة MN تساوي ثلثي المسافة AN

ولكي نحدد مكانها بالضبط نقوم بما يلي:

أي أننا نقوم بتجزيء القطعة [AM] إلى خمسة أجزاء متقايسة ونضع النقطة N في التدريجة الثالثة بعد النقطة A،

فيكون الشكل النهائي كما هو موضح في الصورة التالية:

ما رأيك في هذا التحدي؟؟

هل توصلت إلى موضع النقطتين قبل اطلاعك على الحل؟؟

هل هناك طريقة أخرى للوصول إلى الحل؟؟

شاركنا رأيك في التعليقات...