حل اللغز الثالث عشر: مساحة تقاطع مربعين

👈 لدينا هنا مربعان، مربع صغير وآخر كبير بحيث أن مركز المربع الصغير هو رأس من رؤوس المربع الكبير وهذا شرط أساسي للوصول إلى المطلوب في هذا التحدي.

👈 والمطلوب هو تحديد ما تمثله نسبة الجزء الملون في الشكل بالنسبة للمربع الصغير ABCD.

👈وسوف نتوصل في النتيجة النهائية على أن هذه المساحة تمثل ربع مساحة المربع ABCD.

فكيف سنتوصل إلى هذه النتيجة؟؟

في الحقيقة توجد طرق عديدة، سنقتصر هنا بذكر طريقتين وهما كالآتي:

❃الطريقة الأولى:

سنقوم بتمديد الضلعين [OP] و [OR] في المربع الكبير OPQR ونضيف نقط اللتقاطع K ، L ، M ، N كما يبين الشكل التالي:

سنبرهن على أن المربع ABCD مجزأ إلى أربعة أجزاء لها نفس المساحة، أي أننا سنبين أن الرباعيات OKCN و ONDM و OMAL و OLBK لها نفس المساحة ومنه سنستنتج أن مساحة الجزء الملون تمثل ربع (1/4) مساحة المربع.

↤ نعرف أن المستقيمين (NC) و (AL) متوازيان و أن (AC) و (LN) يتقاطعان في النقطة O

إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن

ونعلم أيضا أن النقطة O هي مركز المربع ABCD يعني أن OA = OC

ومنه نستنتج أن OL = ON وأيضا AL = NC

ولدينا في المثلثين ONC و OAL جميع أضلاعهما المتناظرة متقايسة ( OA = OC و OL = ON و AL = NC )

إذن هاذين المثلثين متقايسان، وهذا يدل على أن لهما نفس المساحة

↤ وبنفس الطريقة نبرهن على أن المثلثين OCK و OMA أيضا مثلثان متقايسان يعني أن لهما نفس المساحة

وبالتلي فإن للرباعيان ONCK وOMAL نفس المساحة

↤ وبنفس الطريقة أيضا سنبرهن على أن الرباعيين OKBL و OMDN لهما نفس المساحة

لكن، هل هذا يكفي للبرهنة على أن الأجزاء الاربعة في المربع لها نفس المساحة؟؟

↤ لا، ليس بعد،، يجب أن نبرهن عبى أن احد الشكلين الرباعيين ( ONCK أوOMAL ) له نفس مساحة الشكلين اللآخرين (OKBL أو OMDN)

↤ يكفي أن نختار واحد من هنا وواحد من هنا حتى يتضح لنا تساوي المساحتين

فكيف نقوم بذلك؟؟

👈 بنفس الطريقة سنقوم بتوظيف خصائص المثلثات المتقايسة، لكن في هذه الحالة سنطبق الخاصية الثالثة التي تقول:

إذا تساوت زاويتان متناظرتان وضلع متناظر بينهما أو مجاور لهما، فإن المثلثين متقايسان.

👈 يعني يكفي أن نبين أن هناك زاويتيان في كل مثلث متقايستان وأن لهما أيضا ضلعان متقايسان

لنقم بذلك إذن...

↤ لنبين أن المثلثين OBK و OLA مثلثان متقايسان:

↤ يكفي أن نحدد زاويتين من كل مثلث وضلع مشترك بينهما أيضا من كل مثلث ثم نبرهن على أنهما متقايسان

◈ لنأخذ الزاويتين BOK و AOL

◈ وأيضا الزاويتين OBK و OAL

◈ وأيضا الضلعان المشتركان بينهما وهما [OB] و [OA]

↤ بالنسبة للضلعان فهما متقايسان لأن O مركز المربع ABCD إذن OA = OB

↤ سنبرهن الآن على أن الزاويتين OBK و OAL متقايستان:

↤ سنبرهن الآن على أن الزاويتين AOL و BOK متقايستان:

↩ إذن، نستنتج مما سبق أن المثلثين AOL و BOK مثلثان متقايسان

↤ ومنه نستنتج أن لهما نفس المساحة

↤ وبنفس الطريقة سنتنتج أن المثلثين LOB و KOC أيضا مثلان متقايسان إذن لهما أيضا نفس المساحة

👈 وبالتالي نستنتج من كل ما سبق أن الأشكال الرباعية الأربعة (OKCN و ONDM و OMAL و OLBK) لها نفس المساحة

👈إذن فمساحة الجزء الملون من الشكل تمثل ربع مساحة المربع ABCD

وسنرى في الطريقة الثانية أن هذه المساحة لن تتغير رغم مكان أو حجم المربع الكبير OPQR شرط أن يكون فقط أكبر مساحة من المربع ABCD وأن رأسه O مركز هذا المربع.

❃ الطريقة الثانية

👈 في هذه الطريقة سنوظف خاصية من خصائص التحويلات الهندسية في الرياضيات وهي خاصية الدوران

وللمزيد من المعلومات حول مختلف التحولات الهندسية في الرياضيات وخصائصها ومميزاتها يمكن الانتقال إلى هذا الدرس من خلال النقر على الرابط من هنا.

بما أن الدوارن يحافظ على مساحات الاشكال، سنقوم بإنشاء صورة الجزء الملون في الشكل السابق بالدوارن حتى يكون ضلع المربع الكبير OPQR عمودي على ضلع المربع الصغير ABCD