حل اللغز الحادي عشر: العلاقة بين المساحات الجزئية

 

👈في الشكل لدينا مثلثان: واحد صغير دخل مثلث آخر كبير مع أن كل رأس من المثلث الصغير  هو منتصف لامتداد الضلع المار به، ويمكن القول أيضا  أن كل رأس من المثلث الصغير له مماثله بالتماثل المركز الذي مركزه الرأس الذي يجاوره، 

كل مماثلات هذه الرؤوس الثلاث هي التي تشكل المثلث الكبير

👈 توجد ملاحظة تخص طريقة الرسم إذا رغبت في رسم هذا الشكل يجب الانطلاق من المثلث الصغير بعد ذلك تقوم بتمديد الأضلاع لتحدد رؤوس المثلث الكبير بتوضيف البركار حتى تتساوى المسافات.

👈 المطلوب منا هو البرهنة على أن مساحة المثلث الصغير تشكل سُبُع مساحة المثلث الكبير.

فكيف إذن سنقوم بذلك؟؟

↤ في الشكل لدينا أربع مثلثات، سنضيف ثلاث مثلثات أخرى ليصبح عددها 7 مثلثات:

⇐ سنتوصل في الاخير إلى أن كل هذه المثلثات السبع لها نفس المساحة لذلك تمثل مساحة المثلث الصغير الأصلي ABC سبع 1/7 مساحة المثلث الكبير... سنرى ذلك!!

قبل البدء في البرهان يجب أن نتفق على ثلاثة أمور:

◆ لحساب مساحة المثلث نستعمل القاعدة العامة التي هي: 

2 ÷ ( الارتفاع × القاعدة )

◆ ارتفاع المثلث لا يكون دائما داخل المثلث، إذ يمكن أن يكون خارجه:

في المثلث الأول الارتفاع يوجد داخل المثلث والقاعدة هي طول القطعة [AB]

وفي المثلث الثاني الارتفاع يوجد خارج المثلث والقاعدة هي نفسها طول القطعة [AB]

◆ للمثلث ثلاث ارتفاعات كل ارتفاع يمر من الرأس وعمودي على القاعدة ( أو حامل القاعدة) المقابلة معه، لذا يمكن توظيف ‘دة ارتفاعات في حساب مساحة مثلث واحد. 

↢ بعد أن اتفقنا على هذه الأمور، نأخذ مثلثا من بين المثلثات السبع السابقة ونقوم بحساب مساحته

◂لنأخذ مثلا المثلث A'BC : القاعدة هي طول القطعة [BC] ونلاحظ أن الارتفاع يوجد خارج المثلث  نرمز له بـh₁

إذن مساحته تساوي: 2 ÷ ( BC × h₁ )

◂ وبالنسبة للمثلث 'A'BC، القاعدة هي طول الضلع  ['BC] والارتفاع هو نفسه h₁

إذن مساحته تساوي 2 ÷ ( BC' × h₁ )

ونحن نعلم أن B منتصف القطعة ['CC]، إذن 'BC= BC

إذن للمثلثين A'BC و 'A'BC نفس الارتفاع ونفس طول القاعدة فلهما إذن نفس المساحة ونكتب:

◂ وبنفس الطريقة سنبرهن أن للمثلثين AB'C و A'B'C نفس المساحة أيضا

◂ وبنفس الطريقة أيضا سنبين أن المثلثين 'AB'C و 'ABC لهما نفس المساحة

👈 توصلنا إلى حد الآن إلى ثلاث مجموعات كل مجموعة تضم مثلثين لهما نفس المساحة

👈 سنحاول الآن في الخطوة الموالية البرهنة على أن مساحة المثلث  الصغير الأصلي ABC تقايس مساحة مثلث ضمن كل مجموعة 

وهكذا سنتوصل إلى أن جميع المثلثات السبع لها نفس المساحة

◂ من المجموعة الأولى نأخذ المثلث A'BC ونقارن مساحته مع مساحة المثلث ABC

◂ من المجموعة الثانية نأخذ المثلث AB'C ونقارن مساحته مع مساحة المثلث ABC

◂ ومن المجموعة الثالثة نأخذ المثلث 'ABC ونقارن مساحته مع مساحة ABC

👈 وبالتالي نستنتج ان المثلثات السبعة كلها لها نفس المساحة:

👈 ومن جهة أخرى، نعلم أن مساحة المثلث الكبير 'A'B'C تساوي مجموع مساحات المثلثات السبعة، يعني:

وبما أن مساحات هذه المثلثات متساوية فإننا يمكن تعويض كل واحدة بمساحة المثلث ABC

وهذا يعني أن:

قل لنا في التعليقات:

ما رأيك في هذا التحدي؟؟

هل فهمت كل مراحل الحل؟؟

هل تمكنت من الوصول إلى الحل قبل معاينتك لهذه المراحل؟؟