المستقيمات الخاصة في المثلثات ونقط التقائها

المستقيمات الخاصة في مثلث،القطعة المستقيمية، واسط القطعة، واسطات المثلث، منصفات زوايا المثلث، ارتفاعات المثلث،متوسطات المثلث،مركز الدائرة المحيطة بالمثلث، مركز الدائرة المحاطة بالمثلث، مركز تعامد المثلث، مركز ثقل المثلث

المثلث هو شكل ثنائي الأبعاد يتكون من ثلاثة رؤوس متصلة بينها لتُكَوِّنَ ثلاثة أضلاع والتي بدورها تُشكل بالتقاء بعضها البعض ثلاث زوايا، لذلك يسمى بهذا الاسم (المثلث)، وللمثلث استخدامات عديدة في الحياة اليومية ففي الهندسة المدنية، تستخدم المثلثات لتصميم المباني والطرق والجسور... وفي الهندسة الميكانيكية، تستخدم المثلثات لتصميم المحركات والآلات، وفي علم في الفلك، تستخدم المثلثات لحساب المسافات بين الأجرام السماوية، وغير ذلك كثير...

كنا قد تطرقنا في أحد الدروس التي يقدمها موقع رياضياتي إلى أنواع المثلثات وخصائص كل نوع وما يميزه عن الآخر يمكنكم الولوج إلى الدرس من هنا.

وفي درس اليوم، سنتطرق إلى أنواع المستقيمات داخل المثلثات وما يميز كل نوع عن الآخر، فهذه المستقيمات لها دور أساسي في التعمق قليلا داخل مجال الهندسة واكتشاف خصائص ومعارف جديدة.

◆ لكن قبل الدخول إلى الدرس نقترح هذه الوضعيات:

الوضعية 1:

تمثل الصورة طريقا معبدة وتمثل فيه النقطتين B و C   نقطتي توقف حافلة للنقل العمومي، والنقطة A منزل السيد سعيد، كل يوم كي يركب سعيد الحافلة إما أنه يتجه إلى النقطة B أو إلى النقطة C. طبعا المسافة الأكبر هي من النقطة A نحو النقطة C. طلب السيد سعيد من شركة النقل أن يتم إضافة نقطة أخرى لتوقف الحافلة بحيث تكون أقرب إلى محل سكناه، فأين تتواجد أقرب نقطة إلى منزل السيد سعيد على الطريق؟ 

●●●●

الوضعية 2

ثلاث دواوير (AوBوC) متفقة على بناء مسجد مشترك على بعد نفس المسافة، حدد مكان تواجد النقطة O التي تبعد بنفس المسافة عن هذه الدواوير. 

●●●●

الوضعية 3 

ورث ثلاثة أبناء عن والدهم المتوفى بقعة أرضية على شكل مثلث (كما توضح الصورة)، كيف يمكن تقسيم هذه البقعة كي يحصل كل واحد على نفس المساحة التي حصل عليها الآخر؟

●●●●

الوضعية 4

ثلاث طرق تتلقى فيما بينها مشكلة بقعة أرضية على شكل مثلث كما توضح الصورة، اتفق المكتب المسير لجمعية تنموية حفر بئر داخل هذه البقعة، أين يجب حفر هذه البئر لتكون بعيدة بنفس البعد عن كل طريق من هذه الطرق الثلاثة؟ 

●●●●

👈بعد الاطلاع على هذه الوضعيات، ستلاحظون أنها تختلف من حيث المطلوب منها إنجازه وتتفق في أننا نشتغل على شكل هندسي واحد هو المثلث، فكيف إذن يمكننا إيجاد حلول هذه الوضعيات؟؟

👈 قبل الخوض في إعطاء حلول لهذه الوضعيات دعونا أولا نتطرق إلى موضوعنا الأساسي لهذا اليوم وهو المستقيمات الخاصة في المثلث إذ بتمكننا من استيعابها بشكل جيد سنتمكن حتما في إيجاد حلول لهذه الوضعيات.

أولا: الارتفاع في المثلث 

👈 الارتفاع في المثلث هو كل مستقيم يمر من رأس المثلث ويكون عمودي على الضلع المقابل لهذا الرأس. 

↤ الضلع [BC] يسمى القاعدة الموافقة للارتفاع ['AA]

↤ غالبا ما يرمز إلى الارتفاع بالحرف h.

👈 ونحن نعلم أن للمثلث ثلاث رؤوس، نستنتج إذن أن لها ثلاث ارتفاعات كل ارتفاع يمر من كل رأس وعمودي على الضلع المقابل معه. 

ملاحظات واستنتاجات وتعاريف:

↤ النقطة 'A تسمى قدم الارتفاع ['AA] وتسمى أيضا المسقط العمودي للنقطة A على الضلع [BC]، ونفس الشيء بالنسبة للنقط  'B و  'C.

↤ الضلع [BC] يسمى القاعدة الموافقة للارتفاع ['AA] والضلع [AC] يسمى القاعدة الموافقة للارتفاع ['BB] والضلع [AB] يسمى القاعدة الموافقة للارتفاع ['CC] 

↤ نلاحظ هنا أن الارتفاعات الثلاث تتلاقى في نقطة واحدة، هذه النقطة تسمى في الهندسة مركز تعامد المثلث. 

 ↤ هذه النقطة يتغير موضعها حسب نوع المثلث:

■ في المثلث الذي زواياه كلها حادة (أقل من 90°) تكون هذه النقطة داخل المثلث. 

■ في المثلث الذي له زاوية واحدة منفرجة (أكثر من 90°) تكون هذه النقطة خارج المثلث.

■وفي المثلث القائم الزاوية تتطابق هذه النقطة مع الرأس القائم. وفي هذه الحالة يكون الضلعين المتعادين (اللذين يشكلان زاوية قائمة) هما ضلعان وفي نفس الوقت ارتفاعان.

↤ يستعمل ارتفاع المثلث في حساب مساحة المثلث، وقد رأينا في درس المساحات أن مساحة المثلث تساوي نصف جداء الارتفاع في طول الضلع العمودي عليه (يمكن الرجوع إلى الدرس من هنا)، كما يستعمل الارتفاع في حساب الدوال المثلثية. (سنتطرق إلى هذا الدرس لاحقا)

↤ أقرب مسافة بين كل رأس مثلث والضلع المقابل معه هو الارتفاع الذي يمر من هذا الرأس. 

حل الوضعية الأولى:

👈 وإذا تأملنا الوضعية الأولى من الوضعيات السابقة، نلاحظ أن مكان تواجد كل من منزل السيد سعيد ونقطتي وقوف الحافلة تشكل مثلث، ونحن نعلم أن أقرب مسافة بين كل رأس والضلع المقابل معه هو طول الارتفاع، إذن مكان تواجد أقرب نقطة إلى منزل السيد سعيد على الطريق هو نقطة تقاطع الارتفاع الذي يمر من الرأس A ( أي منزل السيد سعيد) والضلع [BC]، كما تبين الصورة.

رسم ارتفاع المثلث:

👈يمكن رسم ارتفاع المثلث باستعمال الكوس وهي أسهل طريقة، كما يمكن استعمال البركار لرسمه، يمكن مشاهدة الفيديو لمعاينة طريقة استعمال البركار لرسم ارتفاع المثلث. كما يمكن مشاهدة طريقة الرسم باستعمال برنامج جيوجبرا.

👈 يمكن معاينة أو تحميل جميع أشكال ارتفاع المثلث  بصيغة جيوجيبرا من هنا 

✷✷✷✷✷

ثانيا: واسطات المثلث

👈 الواسط هو كل مستقيم يمر من منتصف قطعة وعمودي عليها.

👈 يمكن رسم واسط قطعة باستعمال الكوس، كما يمكن القيام بذلك باستعمال البركار (يمكن مشاهدة الفيديو لمعاينة هاتين الطريقتين)

👈 وكل نقطة تبعد بنفس المسافة عن طرفي القطعة توجد في هذا الواسط ومن ضمنها منتصف القطعة، وأيضا كل نقطة توجد على الواسط تبعد بنفس المسافة عن طرفي هذه القطعة 

👈 وفي المثلث يوجد ثلاثة أضلاع، أي ثلاثة قطع، وهذا يعني أنه بالإمكان رسم واسط لكل قطع من هذه القطع الثلاثة، فإذا رسمنا واسطا لكل قطعة في المثلث سنلاحظ أنها تلتقي في نقطة واحدة: 

ملاحظات واستنتاجات :

👈من خلال الصورة السابقة:

● النقطة F تنتمي إلى واسط القطعة [AB]  وهذا يعني أن المسافة AF  تساوي المسافة BF  (أي AF=BF)

● النقطة F تنتمي إلى واسط القطعة [CB]  وهذا يعني أن المسافة CF  تساوي المسافة BF  (أي CF=BF)

● النقطة F تنتمي إلى واسط القطعة [AC]  وهذا يعني أن المسافة AF  تساوي المسافة CF  (أي AF=CF)

↤ ومما سبق نستنتج أن المسافات AF و BF و CF متساوية (AF=BF=CF)

↤ أي أن النقطة F هي مركز الدائرة التي تحيط برؤوس المثلث ( A و B و C )

↤ وبالتالي فإن نقطة تلاقي واسطات المثلث هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ( التي تمر برؤوس المثلث) 

👈 وهذه النقطة أيضا يتغير موضعها حسب نوع المثلث: 

● فإذا كان زوايا المثلث كلها حادة ( أقل من 90°)، فإن هذه النقطة تكون داخل المثلث.

● وإذا كانت إحدى زوايا المثلث منفرجة ( أكثر من 90°)، فإن هذه النقطة تكون خارج المثلث.

● أما إذا كان المثلث قائم الزاوية، فإن هذه النقطة تكون في منتصف الضلع المقابل مع الرأس القائم ( يسمى وتر المثلث)

حل الوضعية الثانية

👈 حسب ما تعرفنا عليه في ما يخص واسطات المثلث، فإن المكان الذي يجب بناء فيه المسجد كي يبعد بنفس المسافة عن الدوواوير الثلاث، هو نقطة تلاقي واسطات هذا المثلث المكون من هذه الدواوير، كما توضح الصورة:

رسم واسطات المثلث

👈 يمكن رسم واسطات المثلث باستعمال الكوس كما يمكن استعمال البركار للقيام بذلك. يمكن مشاهدة الفيديو لمعاينة طريقة القيام بذلك كما يمكن مشاهدة طريقة الرسم باستعمال برنامج جيوجيبرا.

👈 يمكن معاينة أو تحميل أشكال واسطات المثلث بصيغة جيوجبرا من هنا 

✷✷✷✷✷

ثالثا: متوسطات مثلث

👈 متوسط مثلث هو كل مستقيم يمر من رأس مثلث ومن منتصف الضلع المقابل مع هذا الرأس.

( يجب التمييز بين الواسط والمتوسط: الواسط يمر من منتصف الضلع وعمودي عليه، والمتوسط يمر من منتصف الضلع ومن الرأس المقابل له) 

👈 يمكن إذن رسم ثلاث متوسطات في المثلث ( كل رأس يمر منه متوسط)، كما يوضح الشكل التالي: 

ملاحظات واستنتاجات :

👈 نلاحظ أيضا أن المتوسطات الثلاث تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز ثقل المثلث، هذه النقطة عكس ما سبق يكون موقعها دائما داخل المثلث كيفما كان نوع هذا المثلث.

👈 والذي يميز المتوسطات في المثلث هو أن كل متوسط يقسم المثلث إلى جزأين لهما نفس المساحة 

👈 وعند التقاء كل هذه المتوسطات الثلاث فإنها تقوم بتجزيء المثلث إلى ثلاث مثلثات صغيرة لها نفس المساحة. 

 

حل الوضعية الثالثة 

👈 حسب ما تعرفنا عليه في ما يخص متوسطات المثلث فلِكَيْ يحصل كل ابن على نفس المساحة من القطعة الأرضية، نقوم بتحديد نقطة التقاء متوسطات هذا المثلث ( مركز ثقل المثلث) ثم نربط هذه النقطة برؤوس المثلث، فنحصل على ثلاثة مثلثات لها نفس المساحة كما توضح الصورة:

رسم متوسطات المثلث

👈 لرسم متوسطات المثلث نقوم أولا بتحديد منتصفات كل ضلع ثم ربط كل منتصف بالضلع المقابل معه، يمكن مشاهدة الفيديو لمعاينة طريقة الرسم على الورقة وباستعمال برنامج جيوجبرا.

👈 كما يمكن تحميل أو معاينة متوسطات المثلث بصيغة جيوجبرا من هنا 

✷✷✷✷✷

رابعا: منصفات زوايا المثلث

👈 منصف الزاوية هو كل مستقيم يقوم بتقسيم الزاوية إلى زاويتين متقايستين، وأن كل نقطة على المنصف  تبعد بنفس المسافة عن طرفي هذه الزاوية. وكنا قد تطرقنا إلى منصف الزاوية وكيفية إنشائه في درس الزوايا يمكن الولوج إليه بالنقر على الرابط من هنا. 

👈 المثلث له ثلاثة زوايا، سنقوم برسم منصف كل زاوية من هذه الزوايا، فنحصل على الشكل التالي: 

ملاحظات واستنتاجات :

👈 نلاحظ أيضا أن هذه المنصفات الثلاث تلتقي في نقطة واحدة، 

👈 نحن نعرف، كما أشرنا إلى ذلك قبل قليل، أن كل نقطة تنتمي إلى منصف زاوية فإنها تبعد بنفس المسافة عن طرفي هذه الزاوية، إذن نستنتج أن نقطة تلاقي هذه المنصفات تبعد بنفس المسافة عن أطراف الزوايا الثلاث وهي في نفس الوقت أضلاع المثلث إذن هذه النقطة تبعد بنفس المسافة عن أضلاع المثلث.

👈 وهذا يعني أن هذه النقطة هي مركز الدائرة التي مماساتها هي أضلاع المثلث وتسمى بالدائرة المحاطة بالمثلث. 

 يجب التمييز بين الدائرة المحاطة بالمثلث والدائرة المحيطة بالمثلث، فالأولى المثلث هو الذي يحيط بالدائرة والثانية الدائرة هي التي تحيط بالمثلث. الأولى مركزها نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث، والثانية مركزها نقطة تلاقي واسطات المثلث (الفقرة الثانية))   

حل الوضعية الرابعة

👈 حسب ما تعرفنا عليه في ما يخص منصفات زوايا المثلث، فإن النقطة التي يجب حفر البئر فيها كي تكون بعيدة بنفس البعد عن الطرق الثلاث هي نقطة تلاقي منصفات هذا المثلث المشكل من هذه الطرق الثلاث، كما توضح الصورة:

رسم منصفات زوايا مثلث

👈 لرسم منصفات زوايا مثلث نقوم برسم منصف كل زاوية بالطريقة التي تعرفنا عليها في درس الزوايا ( من هنا)، ويمكن مشاهدة الفيديو لمعاينة هذه الطريقة على الورقة وعلى برنامج جيوجبرا.

👈 كما يمكن تحميل شكل منصفات المثلث بصيغة جيوجبرا بالنقر عاى الرابط من هنا.

✷✷✷✷✷

خامسا: المستقيمات الخاصة داخل مثلث واحد

👈 ويبقى السؤال المطروح، هل يمكن رسم جميع هذه المستقيمات في شكل واحد؟؟ 

👈 نعم، يمكن القيام بذلك ونحصل على حالات:

↤مثلث مختلف الأضلاع: يختلف موضع التقاء هذه الأنواع الأربعة من المستقيمات 

↤ مثلث قائم الزاوية: موضع نقطة تلاقي الارتفاعات منطبقة مع الرأس القائم وموضع تلاقي الواسطات منطبق مع منتصف الضلع الذي يقابل الرأس القائم ( الوتر) 

↤ مثلث متساوي الساقين: موضع نقط تلاقي هذه الأنواع الأربعة من المستقيمات توجد على استقامة واحدة أي أنها تنتمي إلى مستقيم واحد هو في نفس الوقت ارتفاع وواسط ومتوسط ومنصف. 

↤مثلث متساوي الأضلاع: موضع نقط تلاقي هذه الأنواع الأربعة من المستقيمات متطابق، يعني أن كل هذه المستقيمات في هذه الحالة تعتبر ارتفاعات وفي نفس الوقت واسطات وفي نفس الوقت متوسطات وفي نفس الوقت منصفات.

👈 يمكن تحميل هذه الأشكال بصيغة جيوجبرا بالنقر على الرابط من هنا 

✷✷✷✷✷

سادسا: خلاصة 

تلاحظون أن كلما غيرنا نوع المثلث إلا وتغير معه موضع نقط تلاقي كل نوع من هذه المستقيمات، لذا لا يجب الخلط بينها فلكل واحد خصائصه الخاصة به عن غيره، لذا يجب استحضار هذه الخصائص لمعرفة نوع هذا المستقيم بالضبط.

هذه هي الرياضيات،كلما غيرت شيء إلا وظهرت أشياء... إنها ممتعة، لذلك نحبها ونعشقها كثيرا😍😍