من النقطة إلى المستقيم نحو المستوى ثم إلى الفضاء

 كما أشرنا إلى ذلك، أكثر من مرة، فإن بناء المفاهيم الرياضياتية يتم باعتماد عدة مبادئ أساسية، منها مبدأ التدرج والاستمرارية، ذلك لكون المفاهيم الرياضياتية تتميز بالترابط والتكامل فيما بينها، وإكسابها للمتعلم سيرورة مستمرة تكون بشكل تدريجي ومنهجي، وتكرارها في فرص متنوعة بصورة حلزونية، أي أنها تقدم على ضوء ما سبقها وتتوسع وتتطور أكثر فأكثر وبشكل مستمر ومن مستوى إلى آخر ومن مرحلة إلى أخرى... وأي تعثر حصل في مرحلة من المراحل يجب تداركه قبل الانتقال إلى المرحلة الموالية لأن ذلك يتسبب في هدم ما تم بناؤه منذ الوهلة الأولى. (يمكن الرجوع إلى مقال حول التدرج بالتعلمات أساس اكتساب الرياضيات من خلال الرابط)

في مقالنا اليوم، سنتحدث عن موضوع النقطة والمستقيم والمستوى والفضاء من خلال محورين: في الأول  سنرى كيف تم تطبيق مبدأ التدرج والاستمرارية في تقديم هذه المفاهيم في دروس الهندسة في الرياضيات أي كيف يتم الانتقال بالمتعلم من مفهوم النقطة إلى المستقيم، ثم إلى المستوى ثم أخيرا إلى الفضاء. وفي الثاني سنتحدث عن الخصائص التي تميز هذه المفاهيم والعلاقة بينها. 

المحور الأول: تدرج بناء المفاهيم (النقطة والمستقيم والمستوى والفضاء)

✵ مفهوم النقطة:

👈 النقطة في الرياضيات مفهوم يستخدم فقط  للدلالة على موقع ما، ليس لها بُعد ولا مساحة ولا حجم أي أن ليس لها طول ولا عرض ولا عمق ولا سمك ولا ارتفاع، ويتم التعبير عنها رياضياتيا بوضع قرص صغير أو دائرة صغيرة أو علامة صغيرة (×) (ويستحسن استعمال العلامة للتعبير عن النقطة للدلالة على أن النقطة هي التقاء مستقيمين.)

قد تتساءل الآن، كيف لها ألا يكون لها أبعاد، وهي مرسومة وموجودة فعلا؟؟😏😏

👈صحيح ذلك، لكن مفهوم النقطة غير مرتبط بالأبعاد وإنما مرتبط بالمعنى الذي تدل عليه وهو تمثيل معلومات عن الموقع فقط دون أي خواص رياضية أخرى. مثلا، عند قولك إن مستقيمين يتقاطعان في نقطة فلا يمكن التساؤل عن بعد هذه النقطة وحجمها وعلى العكس من ذلك يمكن أن نتساءل عن موقع هذه النقطة.

👈 يتم تقديم مفهوم النقطة بشكل ضمني منذ السنوات الأولى من التعليم الابتدائي من خلال أنشطة مرتبطة بتحديد المواقع والتموضع في المكان، حيث يتعرف المتعلم على العلاقات المكانية (أمام، خلف، وراء، بين، فوق، تحت...) وهي عبارات تستعمل لتحديد موقع أشياء بالنسبة لأخرى حسب توجيهات معينة وهذه هي بداية التحام المتعلم بمفهوم الموقع الذي نعبر عنه نحن في الرياضيات بالنقطة. ثم بعد ذلك ينتقل المتعلم إلى التعرف على موقع نقطة على شبكة أو ما يطرح عليه معلمة نقطة على شبكة حيث يتعرف على الإحداثيات كما يتعرف على مفهوم النقطة من خلال رسم المسار على شبكة وفق قن معين لربط نقطة الانطلاق بنقطة الوصول.

👈 وخلال اكتشافه للأشكال والمجسمات، يتعرف المتعلم أيضا على مفهوم النقطة من خلال تحديده لعدد الرؤوس التي يتكون منها الشكل أو المجسم، حيث يكتشف أن النقطة هي موقع التقاء مستقيمات أو خطوط مستقيمية.

👈 وفي المستويات المتوسطة والعليا يتعامل المتعلم مع النقطة من خلال توظيفها: 

◄ في رسم مختلف الأشكال الهندسية، إذ أن المتعلم عندما يريد رسم شكل هندسي أول ما يقوم به هو تحديد نقطة معينة على مستوى معين (ورقة، سبورة ...)

◄ في نقل وتحويل شكل هندسي سواء تعلق الأمر بالتماثل المحوري أو المركزي أو الإزاحة أو التحاكي أو الدوران، حيث يلجأ المتعلم إلى تحديد النقط الأساسية في الشكل المراد تحويله (مثلا: رؤوس الشكل) ثم يتم الانطلاق منها لإنشاء صورته. 

◄ في تحديد العلاقات التي تربط النقط ببعضها البعض، وتوظيفها في إنشاءات هندسية أو البرهنة على علاقة رياضياتية، مثل: منتصف قطعة هي النقطة التي تبعد بنفس المسافة عن طرفي القطعة، مركز الدائرة هي النقطة التي تبعد بنفس المسافة عن أي نقطة في المستوى، رأس الزاوية، مركز متوازيات الأضلاع...

◄ في تحديد الإحداثيات، إذ أن المتعلم عندما يريد تحديد معادلة مستقيم أو صيغة دالة معينة، يتم اللجوء إلى تحديد النقط التي تحقق هذه المعادلة أو الدالة.

◄ في تحديد مجموعة النقط التي تحقق خاصية ما في الرياضيات، مثل: المستقيم عبارة عن مجموعة النقط المستقيمية، الدائرة عبارة عن مجموعة النقط التي تبعد بنفس المسافة عن المركز، ويتعمق المتعلم في هذا الموضوع عندما يدرس الأعداد المركبة.

✵ مفهوم المستقيم:

👈المستقيم عبارة عن خط مستقيم، وفي المقابل يوجد خط منحني غير مستقيم، والذي يميز المستقيم عن المفاهيم الأخرى المرتبطة به هو أن المستقيم يمتد إلى ما لا نهاية من الجهتين، أما إذا كان منته من كلتي الجهتين فإننا بصدد قطعة مستقيمية، وأما إن كان منته من جهة وغير محدد من جهة أخرى فإننا نتحدث عن نصف المستقيم.

👈 ومن جهة أخرى، فإن التعريف الصحيح للمستقيم هو مجموعة متصلة من النقط المستقيمية والتي تمتد إلى ما لا نهاية، لكن المتعلم بطبيعة الحال لا يدرك هذا التعريف إلا في مستويات أعلى، لأنه ينظر إلى المستقيم نظرة شمولية باعتباره خطا مستقيما، لكنه يتلقى ذلك ضمنيا عند اشتغاله وتعامله مع المستقيمات والأشكال الهندسية عموما من خلال إدراكه بعض الخصائص كتحديد نقط معينة على مستقيم إذ أن هذا الأمر فيه إشارة ضمنية إلى أن المستقيم يتكون من نقط مستقيمية متصلة جنبا إلى جنب.

👈 ومن خلال هذا المثال، يكتشف المتعلم أن المستقيم يتكون من عدة نقط مترابطة فيما بينها وتربط بينها علاقات: 

- ارسم مستقميا  (D)  وحدد نقطة  A عليه

- حدد على هذا المستقيم نقطتين B و C بحيث AB=2AC

- أين يمكن وضع نقطة أخرى E بحث تكون النقطة A منتصف القطعة [EB]؟

- ارسم نقطة أخرى  F خارج المستقيم (D)

- ارسم مستقيما آخر(M) غير مواز للمستقيم (D)

- حدد نقطة تقاطع المستقيمين  (D) و (M) وضع اسما لها.

👈 يتعرف المتعلم لأول مرة، وبشكل رسمي، على المستقيم في المستوى الأول من خلال إنجاز مناولات للتعرف على أنواع الخطوط وتصنيفها ثم انتقاله إلى استعمال المسطرة للربط بين نقطتين أو إتمام رسم قطعة مستقيمية أو رسم أو إتمام رسم شكل هندسي على تربيعات.

👈 وفي المستوى الثاني، يتعرف المتعلم على المستقيم ويميز بينه وبين القطعة ويوظفها في إنشاء أشكال هندسية. وابتداء من المستوى الثالث يتعرف المتعلم على العلاقات بين المستقيمات في المستوى (التقاطع، التعامد، التوازي) ويتم توظيفها في رسم وإنشاء مختلف الأشكال الهندسية وتحديد خصائصها.

👈 وفي المرحلة الإعدادية، يتم دعم وتثبيت المكتسبات المتعلقة بالمستقيمات وأنواعها والعلاقات بينها، ثم بعد ذلك ينتقل المتعلم إلى دراسة المستقيم وحالاته جبريا وهندسيا من خلال التمثيل المبياني وحل معادلات ونظمات.

✵ مفهوم المستوى

👈إذا كان المستقيم عبارة عن خط مستقيمي لا نهاية له، فإن المستوى عبارة عن سطح مستو ممتد إلى ما لانهاية له أيضا، ويعرف أيضًا باسم السطح ثنائي الأبعاد، وكأمثلة لذلك، فجميع الأسطح المستوية للمكعب أو متوازي المستطيلات، والسطح المسطح للورق كلها أمثلة حقيقية على المستوى الهندسي، وفي المقابل توجد أسطح غير مستوية أو أسطح منحنية، كسطح الكرة أو البيضة. 

👈 وعندما يقوم المتعلم برسم مستقيم أو تحديد نقط أو رسم أشكال هندسية فإنه يقوم بذلك على المستوى، (الورقة، السبورة، أرضية القاعة، ساحة المدرسة ...)، لكنه لا يدرك ذلك بشكل صريح، ولا يدرك تعدد المستويات كما تتعدد المستقيمات والنقط،  إلا عند تعرفه على المستويات وذلك ابتداء من المستوى الثالثة إعدادي حيث يتعرف المتعلم على هذه الخصائص والمميزات عند تعامله مع مختلف المجسمات والحجوم وتحديد الأطوال والارتفاعات والمساحات ...

👈يتم تقديم هذا المفهوم  في المرحلة الابتدائية بشكل ضمني من خلال:

- تعرف المساحات وترصيف الأسطح.

- تعرف المجسمات والتمييز بينها (عدد الأوجه، قابلة للتدحرج، غير قابلة للتدحرج، شكل قاعدة المجسم، حساب الحجم، حساب المساحات الجانبية والكلية...)

👈 وتجدر الإشارة إلى أن السبب في عدم برمجة مفهوم المستوى بشكل صريح في المرحلة الابتدائية هو أنه من الصعب رسم وتمثيل مستوى في مستوى آخر حقيقي، إذ كيف يمكن رسم مستوى أو عدة مستويات على مستوى واحد حقيقي (ورقة ـ سبورة..)؟؟  الأمر يتطلب التمكن من المفهوم وما يميزه من خصائص إضافة إلى التمتع بالخيال الواسع حيث يتم تمثيل فيه هذه المستويات، إذ يمثل برسم مستطيل أو متوازي أضلاع أو أي شكل ثنائي الأبعاد، الشيء الذي يتسبب في خلط هذه المفاهيم وعدم إدراك هل يتعلق الأمر بمستوى أو بشكل هندسي، وهذا مشكل يعاني منه أيضا متعلمي المستويات العليا فما بالك بتلميذ في المرحلة الابتدائية.

✵مفهوم الفضاء

👈 نقصد به الحيز الذي تشغله الأشياء، ولا نقصد به بالضرورة الفضاء الخارجي للكرة الأرضية المكون من الكواكب والأجرام السماوية، فكل مكان نتواجد فيه ويشغل أشياء أخرى غيرنا فهو فضاء، مثلا فضاء القاعة وهو الفضاء الذي يشغل جميع المعدات وجميع الأشخاص الذين يتواجدون داخلها: كراسي، مقاعد، سبورات، مصباح معلق ...

👈 فإذا كان المستقيم عبارة عن مجموعة نقط مستقيمية، والمستوى عبارة عن مجموعة مستقيمات في نفس المستوى، فإن الفضاء عبارة عن عدة مستويات مختلفة. 

👈 ولعل أبسط مثال يمكن أن تفهم به وتميز به الفضاء عن المستوى وعن المستقيم هو حركة التنقل كما توضح هذه الصورة: 

↤ توضح الصورة الأولى طريقا مستقيما داخل غابة، يعني أن سائق السيارة إما أن يسير نحو الأمام أو يرجع إلى الخلف، ولا يستطيع الخروج عن الطريق في جهات أخرى، وهذا نموذج من الواقع يوضح مفهوم التنقل على المستقيم. 

↤ الصورة الثانية عبارة عن صورة جوية لمدينة تتفرع لعدة طرق، أي أن سائق السيارة يمكن له التنقل بشكل حر (يمينا، يسارا، نحو الأمام، أو إلى الخلف ...) لكنه لا يستطيع الطيران، وهذا نموذج آخر من الواقع يوضح مفهوم المستوى في الرياضيات.

↤ الصورة الثالثة تمثل طائرة، والطائرة يمكن لها الطيران في جميع الاتجاهات بما في ذلك الأعلى والأسفل، يعني أنها تنطلق من سطح الأرض (باعتباره مستوى الانطلاق) ثم ترتفع إلى مستوى آخر ثم آخر إلى أن تستقر وتطير في مستوى ما في الفضاء ونفس الشيء عندما تقوم بالهبوط... وهذا نموذج يوضح مفهوم الفضاء في الرياضيات.   

↤ أما مفهوم النقطة هنا هو ما تمثله تلك السيارة  على الطريق أو في المدينة أو تلك الطائرة في الجو.

(هذا الشرح مقتطف من تدوينة سابقة حول الاحداثيات يمكن الرجوع إليها من خلال هذا الرابط)

👈 يعتبر مفهوم الفضاء من بين المفاهيم الصعبة الإدراك من طرف متعلمي السنوات الأولى من التعليم الابتدائي، خاصة عندما يتم الاقتصار على أنشطة الكتب المدرسية أو الرسم على السبورة أو على أوراق، إذ من الصعب مثلا أن يدرك المتعلم معنى المكعب وما يتكون منه وخصائصه إذا لم تتم معاينته المباشرة وتلمسه من طرف المتعلم.

👈 لذا، يتم بناء مفهوم الفضاء عند الطفل بكيفية تدريجية. من خلال محيطه المباشر في سن مبكرة، حيث يلتحم المتعلم مع لعبه (السيارات، الدمى...)، ثم في التعليم الأولي حيث يكتسب جملة من المبادئ الأساسية لتنظيم الفضاء، وفي السنة الأولى، يعمق استيعابه للعلاقات المكانية من خلال قيامه بحركات حسب توجيهات محددة والتعبير عنها، أو من خلال الرسوم والصور المعروضة على أنظاره، وفي دروس لاحقة يكتشف المتعلم المجسمات ويميز بينها، وتعتبر بداية اكتشاف أنواع المجسمات الأخرى في المستويات اللاحقة والذي يعتبر أيضا تمهيدا لمفهوم الحجم الذي يتلقاه المتعلم لأول مرة منذ المستوى السادس ابتدائي.

👈 وفي المرحلة الإعدادية، يتم تثبيت وإغناء هذه المكتسبات المتعلقة بالمجسمات والحجوم، ثم بعد ذلك وفي السنة الأخيرة من هذه المرحلة، يكتشف العلاقات بين المستويات في الفضاء من خلال تمييزه بين المستويات المتقاطعة والعمودية والمتوازية داخل المجسمات مثل المكعبات ومتوازي المستطيلات والأسطوانات القائمة والأهرامات.

 المحور الثاني: خصائص المفاهيم ( النقطة، المستقيم، المستوى، الفضاء)

👈 تحدثنا عن بعض هذه الخصائص في مقالات سابقة، يمكن الرجوع إليها لأخذ فكرة حول مفهوم الفضاء والعلاقة بينه وبين المفاهيم الأخرى المرتبطة به ( النقطة، المستقيم، المستوى)

- مقال حول: الطول والمساحة والحجم... أية علاقة؟؟ تحدثنا فيه عن كل ما يميز هذه المفاهيم وكيفية التمييز بينها، انطلقنا فيه من أمثلة من الواقع المعاش للمتعلم حتى يتمكن من استيعاب هذه المفاهيم بشكل جيد. هذا المقال يعطينا فكرة حول مفهوم الفضاء من خلال إدراك معنى الحجم ومفهوم المستوى من خلال إدراك معنى المساحة ومفهوم المستقيم من خلال إدراك معنى الطول، أما النقطة فقد أشرنا في البداية إلى أنها تستعمل فقط للدلالة على الموقع ولا بعد لها ولا مساحة ولا حجم.

- مقال حول: الدائرة، خصائصها، استعمالاتها وأنواعها، تطرقنا في إحدى فقراته عن الفرق بين الفضاء والمستوى من خلال التمييز بين الدائرة والكرة. 

- مقال حول الإحداثيات في الرياضيات، تطرقنا فيه إلى كل ما يميز المستقيم والمستوى والفضاء من خلال تحديد موقع نقطة، فعندما تكون هذه النقطة على المستقيم نقوم بتحديد موقعها باستعمال المستقيم المدرج، وعندما تكون في المستوى نقوم بتحديد موقعها باستعمال معلم ذي محورين (الأفاصيل و الأراتيب)، وعندما نريد تحديد موقعها في الفضاء نستعمل معلم ذا ثلاثة محاول ( الأراتيب، الأفاصيل، الأناسيب). هذا المقال يعطينا أيضا فكرة خول توظيف هذه المفاهيم في الرياضيات.

👈 إضافة إلى ذلك نعرض هنا بعض الخصائص الأخرى التي تتميز بها المفاهيم التي نحن بصددها:

◄ كل نقطة في المستوى يمر منها ما لا نهاية له من المستقيمات، وكل مستقيم في الفضاء يمر منه ما لانهاية له من المستويات 

◄ كل مستقيمين في المستوى إما أن يكونا متقاطعين أو متوازيين، وكل مستويين في الفضاء إما أن يكونا متقاطعين أو متوازيين:

◄◄ إذا تقاطع مستقيمان في المستوى فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة وإذا تقاطع مستويان  في الفضاء فإنهما يتقاطعان في مستقيم واحد. 

◄◄ حالة خاصة للتقاطع: يمكن للمستقيمين المتقاطعين أن يكونا متعامدين كما يمكن للمستويين المتقاطعين أن يكونا متعامدين:

◄◄ إذا توازى مستقيمان في المستوى فهذا يعني أنهما لا يتقاطعان أبدا أو أنهما منطبقان، وإذا توازى مستويان في الفضاء فهذا يعني أنهما أيضا لا يلتقيان أبدا أو أنهما منطبقان. 

◄في المستوى وفي الفضاء أيضا، من كل نقطتين يمر مستقيم واحد، وفي الفضاء، من كل ثلاث نقط يمر مستوى واحد، ويمكن القول أيضا: من كل مستقيم ونقطة  يمر مستوى واحد وأيضا من كل مستقيمين متقاطعين يمر مستوى واحد. 

وتوجد خصائص أخرى تتعلق بالأوضاع النسبية للمستقيمات والمستويات في الفضاء، لا نريد التعمق فيها أكثر، نتركها إلى مقال آخر إن شاء الله،  نتمنى أن تكونوا قد أحذتم فكرة حول المفاهيم التي نحن بصددها في مقال اليوم،، والسلام عليكم ورحمة الله.