الجذور في الرياضيات (الجزء 1)

الجذر المربع، الجذور المربعة، الجذر المكعب، الجذور المكعبة، حساب الجذر المربع، قواعد الجذر المربع، Racine carré، Square root، طرق حساب الجذور المربعة

🙋مرحبا بكم من جديد في هذا الدرس حول الجذور في الرياضيات الجزء الأول...

نحن نعلم أن الجذر ( بالفرنسية racine وبالإنجليزية root) هو مصطلح يتم توظيفه في عالم النباتات ويعني الجزء الأساس الذي ينطلق منه النبات خلال نموه ومنه أيضا يحصل على الماء والغذاء،، فلو تم قطع الجذر فإن النبات سيتوقف عن النمو ويذبل.

فما علاقة الجذر بالرياضيات إذن؟ ولماذا تم توظيفه في الرياضيات؟؟

هذا ما نكتشفه في هذا المقال إضافة إلى الحديث عن كل ما يخص هذا الموضوع حتى تتكون لدينا فكرة عامة حوله.

👈كما أشرنا إلى ذلك، يعتبر الجذر أساس وأصل النبات والذي يتفرع وينمو ليكون باقي أجزاءه، ومن هنا تم اختيار هذا المصطلح ( الجذر) للتعبير عن الأصل والأساس ليس فقط في الرياضيات بل في الاصطلاح العام. إذ يمكننا القول مثلا:

◄هذا هو جذر المشكلة. ( يعني أصل المشكلة)

◄ هذه الكلمة لها جذر لغوي قديم. ( يعني لها أصل لغوي قديم)

👈 لذا، تم اختيار هذا المصطلح ( الجذر) للتعبير عن الأصل، وفي الرياضيات تم الاتفاق أن يكون هذا الأصل هو أصل العدد المكون بطريقة الضرب في نفس العدد (مرة أو مرتين أو عدة مرات) وستتضح لدينا الفكرة أكثر تدريجيا خلال الفقرات المقبلة.

👈 لكن قبل ذلك، دعونا نسترجع بعض المفاهيم في الرياضيات والمتعلقة بالعمليات الأساسية التي يتم توظيفها منذ سنوات التعليم الابتدائي،

👈 فأول عملية يتلقاها المتعلم طبعا هي عملية الجمع، حيث يتعرف على مفهوم الجمع وطريقة إنجازه ليوظفه في حل مسائل في الرياضيات، بعد ذلك يتعرف بالتدرج على العملية الثانية التي هي عملية الطرح من خلال الانطلاق في البداية من عملية الجمع باعتبارها العملية العكسية للطرح، ثم بعد ذلك يتعرف على عملية الضرب باعتبارها عملية الجمع المتكرر، ثم يربط عملية القسمة بعد ذلك بعملية الطرح باعتبارها الطرح المتكرر، ثم يربطها بعملية الضرب باعتبارها العملية العكسية للقسمة، وهكذا...

👈 وبهذه الطريقة يكون هناك ارتباط بين كل عملية وأخرى، وهذا هو دور الرياضيات، أي أن الرياضيات تبحث دائما عن الطرق السهلة لإنجاز العمليات وحل المسائل...

👈 وبعد التعرف على عمليتي الضرب والقسمة، ينتقل المتعلم إلى مفهوم آخر هو مفهوم القوى باعتباره الضرب المتكرر،

↤ يمكن الولوج إلى درس القوى بالنقر على هذا الرابط من هنا.

👈 ويعتبر مفهوم القوى هو آخر مفهوم متعلق بالعمليات يتلقاه المتعلم في المرحلة الابتدائية، حيث يتعرف على قوى العدد 2 و3 ويتعرف على المربع الكامل والمكعب الكامل، وفي المرحلة الإعدادية يتعمق المتعلم أكثر فيتعرف على خصائص القوى ويحل مسائل مرتبطة بها...

◄◄ماذا سنستنتج إذن من هذا التذكير؟ وما علاقة ذلك بالجذور في الرياضيات؟؟

👈 تحدثنا عن العمليات والعمليات العكسية فقلنا إن عملية الطرح هي العملية العكسية للجمع، كما أن القسمة هي العملية العكسية للضرب،، فما هي العملية العكسية للقوى؟؟ إنها إذن الجذور...

👈 من خلال الصورة أعلاه اتضح لدينا مفهوم الجذر باعتباره العملية العكسية للقوى، أي أن جدر عدد هو عدد إذا ضربته في نفسه ( مرة أو مرتين أو أكثر) تحصل على ذلك العدد، ويختلف هذا الجدر حسب عدد مرات الضرب، فإذا كان عدد مرات الضرب هو 2 نتحدث عن الجذر التربيعي (أو الجذر المربع) وإذا كان عدد مرات الضرب 3 نتحدث عن الجذر التكعيبي ( أو الجذر المكعب) وإذا كان أكثر من ذلك نتحدث عن الجذر من درجة n ( من درجة 4، من درجة 5 ...)

سنقتصر في هذا الدرس على الحديث عن الجذر التربيعي ( الجذر المربع) نظرا لكثرة استعماله في المسائل الرياضياتية أكثر من غيره، وأيضا لاعتباره أساس فهم الجذور الأخرى ( من درجة n)، وسنتطرق إليها في مقال خاص سنضع رابطه هنا فور نشره.

-----------------------------------------------

الجدر المربع (أو الجدر التربيعي)

👈من خلال ما سبق ذكره، وأخذا بمفهوم ربط العمليات بالعمليات العكسية، فإن الجذر المربع هو العملية العكسية للمربع ( أس 2).

👈 وفي الرياضيات، بل في حياتنا اليومية، توجد العديد من الوضعيات والمسائل التي يتطلب حلها توظيف الجذر المربع، ومن هذه المسائل نقترح ما يلي:

✤المسألة الأولى:

حجم صهريج مائي على شكل أسطوانة تقدر بـ 127,17 m3 ، وطول ارتفاعه 2 متر ، احسب قطر قاعدة هذا الصهريج؟( نأخذ π≈3,14 )

✤المسألة الثانية:

إذا علمت أن مساحة قطعة أرضية على شكل مربع تساوي 4096 متر مربع ، فكم يساوي طول هذه القطعة الأرضية؟

✤المسألة الثالثة:

قطعة أرضية على شكل مثلث قائم الزاوية طول ضلعيه 80 متر والآخر 60 متر، كيف نحسب طول الوتر(hypoténuse) (الضلع الثالث)؟

✤✤حل المسألة الأولى:👇

👈 نعرف أنه لحساب حجم الأسطوانة القائمة نطبق هذه الصيغة : الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع

↤ للمزيد من المعلومات حول حساب الحجوم يمكن الرجوع إلى الدرس عبر النقر على الرابط من هنا

👈 في هذه المسألة المطلوب منا هو حساب القطر،

👈 ولحساب القطر يجب أن نعرف الشعاع ( نصف القطر)

👈 ولمعرفة الشعاع يجب معرفة مساحة القاعدة ( لأن قاعدة الأسطوانة عبارة عن قرص ومساحة القرص تساوي :R×R×π=R²×π)

👈 ولمعرفة مساحة القاعدة نطبق هذه الصيغة (انطلاقا من الصيغة السابقة): مساحة القاعدة = الحجم ÷ الارتفاع

👈 ومن هنا نستنتج أن مساحة القاعدة تساوي:

👈 الآن عرفنا قيمة R² ( أي قيمة R×R)، لكن كيف سنتوصل إلى قيمة R فقط؟؟

👈 أي نبحث عن العدد الذي نضربه في نفسه ونحصل على 20,25؟؟ وهذا سيأخذ منا وقتا طويلا:

⇐ 4 مضروب في 4 يساوي 16

⇐ 5مضروب في 5 يساوي 25

👈 إذن، العدد الذي نبحث عنه يوجد بين 4 و5، نجرب 4,1×4,1، ثم 4,2×4,2 ثم 4,3×4,3 ... إلى أن نحصل على هذا العدد أو ربما لن نحصل عليه ( في بعض الحالات)

👈 واختصارا للوقت ولتحديد قيمة الشعاع R نستعمل الآلة الحاسبة نكتب العدد 20,25 ونبحث عن الزر "√"، ننقر عليه فنحصل على النتيجة التي نبحث عنها، (R=4,5m)

👈 يعني أننا قمنا بحساب جدر مربع العدد 20,25 بكل بساطة.

✤✤حل المسألة الثانية:👇

👈 نعلم أنه لحساب مساحة المربع، نقوم بضرب طول ضلع هذا المربع في نفسه، (a×a)

👈 المطلوب منا في هذه المسألة ليس حساب مساحة المربع، وإنما تحديد طول الضلع انطلاقا من المساحة التي تساوي 4096 متر مربع.

👈 أي نبحث عن العدد الذي نضربه في نفسه للحصول على 4096،( وبصيغة أخرى نبحث عن أصل العدد 4096 أو جذر مربع العدد 4096) فكيف سنقوم بذلك؟

👈 نقوم بتجربة ضرب الاعداد في نفسها،

⇐ مثلا: 45×45، يساوي: 2025، نلاحظ أن العدد أصغر من 4096

⇐ نأخذ : 68×68، يساوي: 4624، نلاحظ أن العدد أكبر من 4096

⇐ هذا يعني أن العدد المبحوث عنه بين 45 و68 ....

👈 تلاحظون أن هذه الطريقة تأخذ وقتا طويلا، لذا لماذا لا نستعمل الآلة الحاسبة مرة أخرى ونبحث عن زر "√" بعد أن كتبنا العدد 4096 ونضغط على "=" فنحصل مباشرة على العدد 64.

👈 فيكون الجواب عن المسألة هو : طول ضلع هذه القطعة الأرضية هو 64 متر. لأن:

✤✤حل المسألة الثالثة:👇

👈 المطلوب منا في هذه المسألة هو تحديد طول وتر القطعة الأرضية التي على شكل مثلث، انطلاقا من المعطيات التالية:

⇐ المثلث عبارة عن مثلث قائم الزاوية

⇐ طول كل من الضلعين المتعامدين: 80 متر و 60 متر

👈 من هنا نستحضر مبرهنة فيتاغورس لحساب طول الضلع الثالث ( الوتر hypoténuse) والتي تقول أن:

مربع طول الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين (الساقين)

👈 وبصيغة الرياضيات:

👈 وبتطبيق هذه المبرهنة، سنحصل على أن مربع الوتر ( أي الوتر × الوتر) يساوي مجموع مربعي العددين

⇐ أي يساوي 60²+80²

⇐ والذي يساوي: 3600 + 6400

⇐ والذي يساوي : 10000

👈 إذن نبحث عن العدد الذي نضربه في نفسه للحصول على 10000 ( يعني جدر مربع العدد 10000)

👈 ولربح الوقت نستعمل الحاسبة فنحصل على 100 (لأن 10000= 100×100=100²)

👈 وبالتالي فإن طول الضلع الثالث هو 100 متر.

👈 وبصيغة الرياضيات نكتب ما سبق ذكره على الشكل التالي:

استنتاجات وإضافات

👈 من خلال هذه المسائل اتضحت لدينا أكثر فكرة الجذر المربع لعدد، وهو العدد الذي يمكن ضربه في نفسه للحصول على ذلك العدد الأول، وأن الحصول عليه يتطلب استعمال الألة الحاسبة. إذ أن لكل عدد جدره المربع شرط أن يكون موجبا، لكن قليلة تلك الأعداد التي جدرها المربع عدد صحيح، هذه الأعداد تسمى المربعات الكاملة. وتبين هذه الصورة المربعات الكاملة الأصغر من 100:

👈 في حين أن جدر مربع أغلبية الأعداد يكون عددا لاجدريا (لا يمكن كتابته على شكل عدد كسري، ويتكون جزؤه العشري من ما لا نهاية له من الأرقام المرتبة بشكل غير منظم)، وتبين هذه الصورة جدر المربع للأعداد من 0 إلى 10 ( 50 رقم وراء الفاصلة):

👈 توجد طريقة تعطي النتيجة التقريبية للجذر التربيعي دون استعمال الآلة الحاسبة، لكنها ليست صيغة دقيقة تعطي القيمة الصحيحة تمامًا، هذه الطريقة تسمى باسم طريقة نيوتن-رافسون:

👈 الأعداد السالبة ليس لها جذر المربع في نطاق الأعداد الحقيقية، إذ يمكن ذلك في نطاق الأعداد المركبة. لذا في جميع فقرات المقال المقبلة سنتحدث عن الجذر المربع للأعداد الموجبة.

-----------------------------------------------

العمليات على الجذور المربعة

✽1✽ تعريف الجذر المربع

👈 يوجد عدد وحيد موجب a الذي مربعه (أس 2) يساوي b. هذا العدد يسمى جذر مربع العدد b،

👈 وبصيغة أخرى الجذر المربع لعدد موجب هو العدد الذي مربعه يساوي ذلك العدد. وبلغة الرياضيات نكتب:

👈 ومن هذا التعريف نستنتج هذه الخاصية:

لكل عدد موجب 𝑎، لدينا:

✽2✽الجذر المربع والجداء

👈 جذر مربع جداء عددين موجبين يساوي جداء جذريهما. وبلغة الرياضيات نكتب:

👈 ومن هذه الخاصية يمكن استنتاج الخاصية التالية:

👈 نستعمل هذه الخاصية في حالة إذا أردنا تبسيط جذر عدد مرفوع إلى أس زوجي، مثل:

✽3✽الجذر المربع والخارج

👈 جذر مربع خارج عددين موجبين يساوي خارج جذريهما. وبلغة الرياضيات نكتب:

✽3✽الجذر المربع والمجموع (أو الفرق)

👈 في الحالتين السابقتين ( الجداء والخارج) يمكن توزيع الجذر المربع على الجذاء (أو الخارج)، الأمر الذي لا يتحقق مع المجموع والفرق،

👈 وهذا يعني أن جذر مربع مجموع عددين لا يساوي مجموع جذريهما

👈 كما أن جذر مربع فرق عددين لا يساوي فرق جذريهما

👈 وبلغة الرياضيات نكتب:

👈 وكمثال آخر،

👈 في حين أن:

◄◄يتم استعمال الخصائص السابقة ( المتعلقة بالجداء والخارج) عند القيام بتبسيط الجذور المربعة أو تحويلها وكتابتها على الشكل: a√b

👈 أمثلة:

✽4✽الجذر المربع و القوة

👈 نحن نعرف أن جذر مربع عدد ما، هو عدد آخر، لذا من الممكن رفعه إلى قوة معينة وحسابه، وتتطبق فيه قواعد الحساب الخاصة بالقوى كباقي الأعداد ( يمكن الرجوع إلى درس القوى للتعرف أكثر على القوى وقاعده من خلال النقر على الرابط من هنا).

1◄ عند رفع أي عدد إلى الأس 1 نحصل على نفس العدد، نفس الأمر يتعلق بجذر مربع عدد ما. وبلغة الرياضيات نكتب:

2◄ عند رفع جذر مربع عدد إلى الأس 2، نحصل على العدد نفسه، وبلغة الرياضيات نكتب:

👀ملاحظة:

3◄عند رفع جذر مربع إلى الأس 3، يمكن تحويله حسب هذه الخاصية من خصائص القوى على الشكل التالي:

4◄عند رفع جذر مربع إلى الأس 4، يمكن تطبيق نفس الخاصية السابقة فنحصل على:

5◄وبنفس النهج نحصل على ما يلي:

6◄وبصفة عامة، نحصل على القاعدة التالية:

7◄ ومن خلال ما سبق وفي حالة n=1 ،يمكن استنتاج القاعدة التالية التي تقوم بتحويل الجذر المربع إلى القوة:

8◄ وبتطبيق لهذه القاعدة لحساب قوة جذر مربع عدد، نحصل مرة أخرى على ما يلي:

✽5✽جذر الجذر المربع

👈 كما يمكن حساب قوة جدر مربع لعدد ما، يمكن أيضا حساب جذر مربع جذره مربع، وذلك من خلال تطبيق الخصائص السابقة:

👈 وهذا يعني أن الجذر المربع لجذر مربع عدد هو نفسه الجذر من الرتبة 4 ( سنتحدث عن هذه الجذور في مقال لاحق إن شاء الله):

👈 ومن هنا نستنتج أنه كلما تكرر الجذر المربع يمكن تحويله إلى الجذر من رتبة معينة (عدد تكراره أس 2) كما توضح الصورة:

👈 يمكن تعميم هذه العلاقة بقاعدة عامة: عندما يكون لديك n من الجذور التربيعية المتتالية لعدد x، فإنها تكافئ الجذر من رتبة 2 أس n لذلك العدد:

✽6✽ إزالة الجذر المربع من المقام

👈 وتسمى أيضا هذه العملية بـ (إنطاق المقام، بالإنجليزية Rationalising the denominator وبالفرنسية La rationalisation d'une fraction)، وهي طريقة في الرياضيات تستخدم لإزالة الجذر (مثل الجذر التربيعي أو التكعيبي) من مقام العدد الكسري، الهدف منها:

↤ تسهيل الحسابات: جعل المقام خالياً من الجذور يسهل إجراء العمليات الحسابية والمقارنات بين الكسور.

↤ تبسيط التعبيرات: يساعد في تقديم التعبيرات الرياضياتية بصيغة أبسط وأكثر قبولاً، إذ أننا عندما نتوصل في حل لمسألة أو معادلة أو عبارة إلى عدد كسري مقامه به جذر مربع (أو جذر مكعب) فلابد من إزالة هذا الجذر من المقام وتقديم النتيجة على شكل عدد كسري دون الجذر في المقام.

👈 توجد طريقتان للقيام بإزالة الجذر المربع من مقام العدد الكسري، حسب نوعية المقام:

الحالة الأولى: مقام الكسر أحادي الحد، أي أن المقام به حد واحد (جذر واحد)، في هذه الحالة نقوم بضرب البسط والمقام في الجذر نفسه الموجود في المقام للتخلص منه. أمثلة:

الحالة الثانية: مقام الكسر ثنائي الحد، أي أن المقام به حدين (جذر واحد وعدد، أو جذرين)، في هذه الحالة يتم ضرب البسط والمقام في المرافق (le conjugué)، والمرافق هو نفس التعبير الموجود في المقام مع عكس العملية.

✽7✽ مقلوب جذر (L’inverse d’une racine)

👈 مقلوب عدد هو عدد بسطه هو مقام العدد الأول ومقامه هو بسط العدد الأول. أمثلة:

👈 وبنفس الطريقة نحصل على مقلوب جذر مربع، لكن طبعا يجب إزالة الجذر من المقام بالطريقة التي رأيناها في الفقرة السابقة.

✽7✽ رسم قطعة طولها جذر مربع عدد معين

👈 باعتبار الجذر المربع لعدد عددا كباقي الأعداد فيمكن إذن رسم قطعة طولها جذر مربع عدد معين وذلك باستعمال المسطرة والبركار، وللقيام بذلك نستحضر نظرية مهمة في الرياضيات هي نظرية فيتاغورس. فما هي هذه النظرية وكيف يتم توظيفها لتمثيل جذر مربع عدد أو رسم قطعة طولها جذر مربع عدد معين؟؟

👈 تقول هذه النظرية: في كل مثلث قائم الزاوية يكون مجموع مربعي الضلعين القائمين يساوي مربع ضلع الوتر في هذا المثلث.

👈 وبلغة الرياضيات:

👈 وإذا أردنا تحديد طول الوتر( Hypoténuse ) بالضبط نستعمل هذا التعبير:

👈 ومن هنا نستنتج أنه يمكن رسم قطعة طولها جذر مربع عدد معين، أمثلة:

👈 في المثال السابق تم توظيف جمع مربعين كاملين، يمكن توظيف طرح مربعين كاملين، كما في هذا المثال:

👈 وفي حالة عدم إمكانية تفكيك العدد إلى مجموع أو فرق مربعين كاملين، فيمكن تفكيكه إلى مجموع عددين أحدهما مربع كامل والآخر غير مربع كامل، هذا الآخير يتم تفكيكه إلى مجموع مربعين كاملين إن كان ذلك ممكنا، أو يتم تفكيكه مرة أخرى إلى مجموع عددين أحدهما مربع كامل والأخر ليس مربعا كاملا، ومرة أخرى يتم تفكيكه إلى مجموع مربعين كاملين إن كان ممكنا وإن كان غير ممكن نقوم بنفس العملية إلى أن نصل إلى مجموع مربعبن كاملين، كما يوضح هذا المثال:

👈وهذه الطريقة مستمدة مما يسمى حلزون فيتاغورس (أو حلزون ثيودوروس، بالإنجليزية: Pythagorean Spiral أو Spiral of Theodorus) وهو بناء هندسي رياضياتي رسومي يتكون من سلسلة متتالية من المثلثات القائمة الزاوية، حيث يتم بناء كل مثلث جديد على وتر المثلث الذي يسبقه، حيث يعتمد الحلزون بالكامل على نظرية فيثاغورس (a²+b²=c²) لتوليد أطوال أضلاع جديدة هي الجذور التربيعية للأعداد الصحيحة المتتالية.

كما توضح الصورة:

◄ يبدأ المثلث الأول بضلعين طول كل واحد منهما 1 ويعطي وترا طوله جذر مربع 2

◄ المثلث الثاني ينطلق من الضلعين طولهما 1 وجذر مربع 2 ليعطي وترا طوله جذر مربع 3

◄ المثلث الثالث ينطلق من الضلعين طولهما 1 وجذر مربع 3 ليعطي وترا طوله جذر مربع 4 الذي يساوي 2

◄ المثلث الرابع ينطلق من الضلعين طولهما 1 و2 ليعطي وترا طوله جذر مربع 5

◄ وهكذا إلى ما لانهاية ...

✽8✽ تمثيل حذر مربع عدد على مستقيم مدرج (عددي)

👈 بنفس المبدأ السابق الذي رأيناه في طريقة رسم قطع طولها جذر مربع عدد، بنفس هذا المبدأ يمكن تمثيل جذر مربع عدد على مستقيم مدرج، وذلك بالطريقة المبينة في الصورة التالية:

✽9✽ مقارنة الجذور المربعة

👈 الجذور المربعة أعداد يمكن المقارنة فيما بينها أو المقارنة بينها وبين أعداد أخرى. ومن خلال المستقيم العددي الذي رأيناه في الفقرة السابقة اتضح لنا موقع الجذور المربع لبعض الأعداد على المستقيم المدرج، الشيء الذي يسمح لنا بمقارنتها أو ترتيبها.

👈 ومن خلال هذه المقارنات يمكن استنتاج الخاصية التالية، والتي يتم توظيفها لمقارنة الجذور المربعة دون الاستعانة بالمستقيم العددي:

👈 وهذا يعني أنه إذا أردنا مقارنة عددين يحتويان ( أو يحتوي أحدهما) على الجذور المربعة نقارن مربعيهما وبصيغة أخرى نرفعهما إلى قوة 2 للتخلص من الجذر ثم نقارنهما.

✽10✽ حل المعادلة: 𝑥²=𝑎

👈 تحدثنا في موضوع سابق عن المعادلات وطريقة التعامل معها للوصول إلى حلول لها، يمكنكم الرجوع إلى هذا المقال بالنقر على الرابط من هنا.

👈 فالمعادلة تعبير جبري يتضمن مجهول أو أكثر وأعداد معلومة تدعى الثوابت، حلها يعني الوصول إلى قيمة هذا المجهول.

👈 المعادلة التي نحن بصددها في هذه الفقرة مصاغة على شكل 𝑥²=𝑎 حيث 𝑥 هو المجهول الذي نريد البحث عنه، و𝑎 هو العدد المعلوم أو العدد الثابت، وكأمثلة لهذه المعادلة: ( سنضع حلولا لهذه المعادلات بعد التعرف على طريقة الحل)

👈 كل هذه المعادلات التي يمكن كتابتها على شكل 𝑥²=𝑎 يمكن حلها على الشكل التالي:

◀ إذا كان 𝑎 عددا موجبا ( أكبر من 0 ) فإن المعادلة تقبل حلين هما: جذر مربع 𝑎 وناقص جذر مربع 𝑎

◀ إذا كان 𝑎 منعدما ( يساوي 0) فإن المعادلة تقبل حلا وحيدا، هو 0.

◀ إذا كان 𝑎 عددا سالبا ( أصغر من 0) فإن المعادلة ليس لها حل.

👈 بلغة الرياضيات نكتب:

👈 وللمزيد من التفاصيل والمعلومات حول أمثال هذه المعادلات يمكن الرجوع إلى مقال سابق حول المعادلات بالنقر على الرابط من هنا.

👈 وإليكم الآن حلول المعادلات السابقة.

-----------------------------------------------

خــــــلاصــــــة

الفهم والإدراك الجيد لدرس الجذور المربعة، سيساعدك في حل الكثير من التمارين في الرياضيات والإحصاء وفي الفيزياء أيضا، ويعتبر الجذر المربع أيضا مدخلا لفهم الأعداد غير الجذرية أو ما يسمى أيضا بالأعداد الصماء، والتي تدخل مع الأعداد الجذرية فيما يسمى بالأعداد الحقيقية. وهنا أهم القواعد المرتبطة بالجذور المربعة: