طاليس أم فيتاغورس؟؟

مبرهنة فيتاغورس، مبرهنة طاليس، المبرهنة العكسية، استعمالات مبرهنة طاليس، استعمال مبرهنة فيتاغورس، التمييز بين مبرهنة طاليس ومبرهنة فيتاغورس، أنشطة حول مبرهنة طاليس، أنشطة حول مبرهنة فيتاغورس،théorème de Pythagore،théorème de Thalès 

تعتبر المبرهنات في الرياضيات أساس علم الرياضيات، إذ هي من الأدوات التي يستعملها الرياضياتيون لحل مختلف المسائل في الرياضيات وهي أيضا ما يعطي المصداقية والواقعية للإنجازات والتعابير التي يطلب البرهنة عليها في مختلف الأنشطة والاختبارات في المادة.

ومن بين الصعوبات التي يواجهها المتعلم خلال إنجاز نشاط أو البرهنة على تعبير في الرياضيات هو عدم التمييز بين المبرهنات أو النظريات أو التعاريف التي يمكن توظيفها دون الأخرى كدليل لإقناع الأستاذ (أو ما يحل مكانه) بصحة ما تم إنجازه بشكل لا يقبل الشك أو التأويل. وقد تطرقنا في أحد المقالات السابقة عن أهداف ومميزات البرهان  ومراحل إجرائه في الرياضيات، (للمزيد من المعلومات يمكن الرجوع إلى المقال بالنقر هنا)

وباتباع نفس النهج الذي اتبعناه في ذاك المقال، سنكتشف اليوم معا كيفية اختيار المبرهنة المناسبة بين مبرهنتي طاليس وفيتاغورس وتحديد الأنسب منهما خلال إنجاز مسألة في الرياضيات.

👈قبل ذلك، طبعا، سنتحدث أولا عن كل مبرهنة على حدة، حتى تتضح لنا الفكرة حول ما تتميز به كل مبرهنة وما يجب أن نتذكره عندما نحتار ولا نعرف ما سنقوم به عند إنجاز تمرين أو نشاط أو مسألة...

✺✺مبرهنة فيتاغورس (Théorème de Pytagore)✺✺

فيثاغورس هذا، هو فيلسوف وعالم رياضيات يوناني، ولد في جزيرة ساموس في اليونان في عام 570 ق.م وسافر إلى بلاد عديدة منها مصر وسوريا والعراق وقيل إنه سافر أيضا إلى الهند، فتمكن آنذاك من تعلم كل ما هو معروف عن علم الرياضيات بين هذه الحضارات. 

كرّس فيثاغورس حياته في البحث والمعرفة في علم الرياضيات حتى توصل إلى هذه المبرهنة المعروفة باسمه ( مبرهنة فيتاغورس théorème de pythagore)، والتي ما تزال حاضرة إلى يومنا هذا، تدرس في المدارس والجامعات، وقد ساهمت في ظهور مبرهنات ونظريات أخرى جديدة ساهمت هي أيضا في تطور علم الرياضيات وجعله في متناول الطلاب والمهتمين. كما دخلت هذه المبرهنة ميادين أخرى واستعملت مجالات الهندسة المعمارية والبناء لإنشاء زوايا قائمة دقيقة، وفي الملاحة لتحديد المسافات وتوجيه المركبات، وفي مجالات مثل التصوير والذكاء الاصطناعي لحساب المسافات، وكذلك في النجارة والأعمال اليدوية لإنشاء أشكال هندسية صحيحة.

كما تمكنت هذه النظرية من تجاوز حدود الرياضيات، فتمكنت من جذب اهتمام الكثيرين خارج الرياضيات باعتبارها تمثيلًا للغموض الرياضي أو القوة الفكرية، إذ توجد لها مراجع عديدة في الأعمال الشعبية مثل الأدب والمسرحيات والموسيقى والأغاني والطوابع والرسوم المتحركة.

👈تنص مبرهنة فيتاغورس على أن في المثلث القائم الزاوية، مساحة المربع المُنشأ على الوتر (L’hypoténuse وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة) تساوي مجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين. 

 👈 وبشكل أوضح، كل مثلث قائم الزاوية يتكون من ضلعين متعامدين (يشكلان زاوية قائمة) وضلع ثالث مقابل مع الزاوية القائمة يسمى بالوتر (L’hypoténuse)، وحسب مبرهنة فيتاغورس فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الآخرين. 

تنبيه:

يجب الانتباه إلى أن في مثلث قائم الزاوية حسب مبرهنة فيتاغورس مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين وليس مربع مجموع طولي الضلعين الآخرين، وبلغة الرياضيات نكتب: 

👈 وكمثال لهذه المبرهنة نأخذ هذه الصورة،  

↤ تلاحظون من خلال الصورة أن الحبل الذي يمسكه الرجل  يتجزأ إلى 12 جزءا متقايسا، شكل منه مثلثا قائم الزاوية بحيث أن وتره منقسم إلى  خمسة أجزاء وأحد الضلعين منقسم إلى أربعة أجزاء والضلع الآخر مجزأ إلى ثلاثة أجزاء، وإذا قمنا بحساب مربع طول كل ضلع نحصل على مايلي: 

↤ وإذا قمنا بحساب مجموع مربعي طولي الضلعين نحصل على: 25 = 9+16

↤ الذي يساوي مربع طول الوتر  (25)

↤ وهذا يعني أن: 5²= 3² + 4²

↤  وهذا ما تؤكده هذه المبرهنة.

👈 وكمثال آخر لتأكيد هذه المبرهنة لنتأمل جميعا هذه الصورة المتحركة:

↤ نلاحظ أنه في كل حالة مساحة المربع المشكل من الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين الآخرين المشكلين من الضلعين 

وتوجد براهين أخرى كثيرة تؤكد صحة مبرهنة فيتاغورس سنتطرق إليها في مقال لاحق وسنضع رابطه هنا فور نشره.

 متى يتم استعمال مبرهن فيتاغورس؟؟

👈 يتم استعمال مبرهنة فيتاغورس لحساب المسافات أو الأطوال، هنا نستعمل التوظيف المباشر للمبرهنة: 

👈 ويمكن استعمال المبرهنة العكسية، وذلك لإثبات تعامد ضلعين في مثلث، وتسمى مبرهنة فيتاغورس العكسية (Théorème réciproque de Pythagore ): 

👈 في هذه الفقرة سنتحدث عن استعمالات المبرهنة في الرياضيات وفي بعض أنشطة الحياة اليومية، وللتعرف على حل كل مسألة وطريقة الوصول إلى الجواب شاهد الفيديو أسفل هذا المقال.👇👇👇

أمثلة للتطبيق المباشر للمبرهنة:

✤المسألة الأولى: (استخدام المبرهنة في الملاحة البحرية لحساب المسافات)

توضح الصورة التالية ثلاثة مراكب في البحر تشكل مثلثا قائم الزاوية  عند المركب B، حيث تبلغ المسافة بين المركب A والمركب B 64km والمسافة بين المركب B والمركب C هي 48km ، بتطبيق لمبرهنة فيتاغورس ما هي المسافة التي تفصل بين المركبين A و C؟؟

✤المسألة الثانية: (في الملاحة الجوية)

توضح هذه الصورة هبوط طائرة في المطار، إذا علمت أن ارتفاع الطائرة عن سطح الأرض هي 640 متر والمسافة بين المسقط العمودي للطائرة ونقطة بدء هبوطها هي 360 متر، فاحسب المسافة التي ستقطعها الطائرة لتصل إلى نقطة هبوطها.

✤المسألة الثالثة: (في الحياة اليومية)

تكسر عمود يبلغ طوله 7,5m ، فسقط طرفه على بعد  1,5m من قاعدته كما تبين الصورة. هل يمكن حساب طول الجزء المتبقي من العمود  (الطول AB )؟

✤المسألة الرابعة: (في الحياة اليومية) 

استعمل سعيد سلم طوله 5m للصعود إلى سطح منزله، إذا علمت أنه وضع قاعدة السلم على بعد 3m من الحائط ، فهل يمكننا معرفة ارتفاع سطح المنزل عن الأرض؟؟ 

✤ المسألة الخامسة: (في الحياة اليومية) 

تمثل الصورة عمارتين نريد ربط النقطة  A والنقطة  B بسلك كهربائي لاحظ الأبعاد المدونة على الصورة ثم حدد الطول اللازم للسلك  بتطبيق لمبرهنة فيتاغورس. 

 أمثلة للتطبيق العكسي للمبرهنة

✤ المسألة الأولى: (في الحياة اليومية) 

للتأكد من وجود زاوية قائمة بين جدارين أثناء وضع أساسات البناء، يلجأ عمال البناء إلى استعمال ثلاثة حبال بأطوال معينة( مثلا: الحبل الأول طوله 60cm والثاني طوله 80cm والثالث طوله 100cm) يقومون بربط الحبلين القصيرين  عند رأس المثلث، ثم يلاحظون إن كان الحبل الثالث (الطويل) يربط بين طرفيهما، فإن تحقق ذلك فإن الزاوية تكون قائمة وإن لم يتحقق فإن الزاوية تكون غير قائمة. تحقق من ذلك بتطبيق لمبرهنة فيتاغورس العكسية.

✤المسألة الثانية: (نشاط في الرياضيات)

ما هي الحالات من بين هذه الحالات التي يكون فيها المثلث   قائم الزاوية، ثم حدد رأس الزاوية القائمة  في الحالات التي يكون فيها المثلث قائما الزاوية:

 

✤المسألة الثالثة: (نشاط في الرياضيات) 

 يمكن أيضا توظيف مبرهنة فيتاغورس المباشرة أو العكسية في الهندسة الفضائية: المباشرة في حالة ما إذا طُلب منا حساب المسافات والعكسية في حالة ما إذا طُلب منا إثبات وجود تعامد أو إثبات مثلث قائم الزاوية.

لاحظ هذا النشاط ثم أجب عن الأسئلة المرافقة: 

 طريقة حساب المسافات بتوظيف مبرهنة فيتاغورس المباشرة

👈 لحساب أطوال ( أو مسافات)  حسب مبرهنة فيتاغورس لابد من الانطلاق من مثلث قائم الزاوية، 

👈 لذا إذا طلب منا حساب طول الوتر نطبق الصيغة الموالية وهذا ما طبقناه للوصول إلى الجواب في المسائل السابقة  (الأولى والثانية والخامسة) 

👈 وإذا طلب منا حساب طول أحد الضلعين الآخرين نطبق الصيغة الموالية، وهذا ما طبقناه في المسألة الثالثة والرابعة السابقتين. (يمكن مشاهدة الفيديو في الأسفل)

👈 وبهذه الطريقة وبنفس النهج يمكننا التمكن من رسم أية قطعة طولها يساوي جذر مربع أي عدد (يمكن الرجوع إلى درس الجذور المربعة لمعاينة هذه الطريقة من خلال النقر على الرابط من هنا، كما يمكن مشاهدة الفيديو أسفل التدوينة للتعرف أكثر على هذه الطريقة) 

👈👈مثلا: كيف يمكننا رسم قطع طولها  2√ أو  17√  أو 47√؟؟

✺✺مبرهنة طاليس (Théorème de Thalès)✺✺

يدعى طاليس الملطي (Thalès de Milet) ويعرف فقط بطاليس، فيلسوف وعالم رياضيات يوناني، ولد نحو 624 ق.م. وتوفي  نحو 546 ق.م. يعتبر أحد الحكماء السبعة لدى اليونان، اشتهر باكتشافاته الهندسية ومن بينها ما يعرف الآن بمبرهنة طاليس. (وللمزيد من المعلومات حول هذه الشخصية يمكن الولوج إلى موقع wikipedia  عبر النقرهنا)

👈خلال رحلة له إلى مصر، استخدم طاليس  مبدأ التناسب لقياس ارتفاع هرم خوفو بناءً على طول ظله.

يُنسب إليه أنه قال: "النسبة بين طولي وظلي هي نفسها النسبة بين ارتفاع الهرم وطول ظله."

👈 وبفضل علاقة التناسب هذه، تمكّن من الحصول على ارتفاع الهرم من خلال طول ظله.

👈 وكانت فكرة طاليس العبقرية هي:

"في اللحظة التي يتساوى فيها طولي مع طول ظلي، فإن طول ظل الهرم سيكون مساويًا لارتفاعه."    

◄ يمكن معاينة هذه الفكرة العبقرية التي قام بها طاليس من خلال هذا النشاط التفاعلي  

👈وبهذه الطريقة يمكن قياس ارتفاع البنايات والأبراج دون الصعود إليها والتعرض للأخطار.

👈 ومن هذا المنطق جاءت مبرهنة طاليس التي تدرس في المدارس والجامعات، وتعتبر هي أيضا من بين المبرهنات التي يتم الاعتماد عليها كثيرا، خاصة عند البحث عن حساب الأطوال والمسافات.

 ماهي هذه المبرهنة وما الغاية منها أساسا؟؟

هذه المبرهنة نستعملها عند البحث عن طول معين من بين عدة أطوال معروفة، كيف ذلك؟؟ هذا ما سنراه في هذه الفقرة؟؟

👈 تنص هذه المبرهنة على أنه إذا كان لدينا مستقيمان متقاطعان وآخران يقاطعهما ومتوازيان فإن المسافات بين نقط التقاطع تشكل علاقة تناسبية فيما بينها محترما طبعا ترتيب هذه النقط.

👈وبعبارة أوضح: 

لدينا هنا  (D) و (’D) مستقيمان يتقاطعان في النقطة A

لدينا أيضا  (L)  و  (’L) مستقيمان متوازيان :

← المستقيم  (L) يقطع  المستقيم  (D) في النقطة  B ، ويقطع المستقيم  (’D)  في النقطة D

← المستقيم  (’L) يقطع  المستقيم  (D) في النقطة  C ، ويقطع المستقيم  (’D)  في النقطة E

إذن حسب مبرهنة طاليس سنحصل على العلاقة التالية:(يجب احترام ترتيب تسلسل النقط من كل جهة)

👈 ويمكن تحويل هذه العلاقة  للحصول على علاقات أخرى بتطبيق لقواعد التناسبية 

👈 لذا يمكن الحصول على علاقات أخرى، وذلك حسب ما طُلب منا حسابه. 

◄◄ملاحظات هامة👀

👈الملاحظة 1: يمكن تطبيق مبرهنة طاليس في وضعيتين أساسيتين:

الوضعية الأولى: المستقيمان يتقاطعان خارج المستقيمين المتوازيين (مثل الحالة السابقة) ويطلق عليها وضعية المثلثات المتداخلة (version triangles emboîtés) 

الوضعية الثانية: المستقيمان يتقاطعان داخل المستقيمين المتوازيين ويطلق عليها وضعية الفراشة (version papillon)

👈الملاحظة 2: يمكن تعميم مبرهنة طاليس باستعمال عدة مستقيمات متوازية ( فقط يجب احترام تسلسل النقط من كل جهة) 

👈الملاحظة 3: في الأشكال الهندسية المرتبطة بـنظرية طاليس، إذا كانت المستقيمات متوازية، فإننا نستنتج منها وجود علاقة تناسب بين أطوال القطع المكونة من نقط التقاطع كما رأينا. وعلى عكس ذلك، أي أنه إذا تحقق التناسب، فإننا نستنتج منه أن المستقيمات متوازية. وهذا ما يسمى مبرهنة طاليس العكسية (La réciproque du théorème de Thalès)، ويتم استعمال هذه المبرهنة العكسية فقط للبرهان على توازي مستقيمين  انطلاقا من وجود تناسب بين أطوال القطع المكونة من نقط التقاطع. (يعني عكس ما رأيناه تماما) 

 متى يتم استعمال مبرهنة طاليس؟

👈يتم استعمال مبرهنة طاليس المباشرة لحساب المسافات أو الأطوال، ويتم توظيف المبرهنة العكسية لإثبات توازي مستقيمين.

👈في هذه الفقرة سنتحدث عن استعمالات هذه المبرهنة في الرياضيات وفي بعض أنشطة الحياة اليومية، وللتعرف على حل كل مسألة وطريقة الوصول إلى الجواب ندعوك لشاهد الفيديو أسفل هذا المقال.

✤المسألة الأولى:

رأينا كيف توصل طاليس إلى مبرهنته الشهيرة، أنه وقف إلى جانب الهرم وفي كل مرة يقوم بقياس طول ظله وعندما أصبح طوله مساويا لطول ظله، استنتج أن طول ظل الهرم يساوي أيضا طول ارتفاع الهرم، لكن لن يتحقق ذلك إلا في وقت معين وسط النهار.

توجد طريقة أخرى لتحديد طول ارتفاع الهرم في أي وقت من أوقات النهار وبتطبيق لنفس النظرية، هي أن نقف بشكل عمود على رأس ظل الهرم ونقوم بتحديد الأطوال المبينة في الصورة أدناه، لاحظ المعطيات المبينة في الصورة ثم حدد المطلوب: 

✤المسألة الثانية:

توجد طريقة أخرى لحساب أطوال الأشياء العالية انطلاقا من ظلها، هي تقريبا نفس النهج لكن بطريقة أخرى... 

في هذه الصورة نريد معرفة طول الشجرة، نخذ قطعة خشبية (أو حديدية ...) نبحث عن مكان في ظل الشجرة بحيث يكون رأس ظل هذه القطعة موافقا لرأس ظل الشجرة، لاحظ الرسم والمعطيات المبينة في الصورة التالية ثم حدد المطلوب.

✤المسألة الثالثة:

في قديم الزمان، لقياس عمق بئر يلجأ الإنسان إلى اعتماد هذه التقنية الممثلة في هذه الصورة:

تقف هذه البنت جانب البئر وتحاول التحرك قليلا حتى ينطبق بصرها مع جانب البئر ومع قاعه (تحقيق شرط استقامية النقط)، ثم تأخذ القياسات المبينة في الصورة أدناه، لاحظ هذه القياسات ثم حدد المطلوب.

✤المسألة الرابعة:

يمكن توظيف هذه المبرهنة أيضا في الفيزياء وخاصة في موضوع البصريات. 

تمثل هذه الصورة عدسة مجمعة وضعت في النقطة  O، فتم الحصول على  الصورة المقلوبة [CD]  للشيء   [AB]، لاحظ المعطيات ثم حدد المطلوب: 

✤ المسألة الخامسة:

هذه المسألة عبارة عن تمرين في الرياضيات سنطبق فيه مبرهنة طاليس المباشرة والعكسية. 

✤ المسألة السادسة:

في هذه المسألة سنرى أن ترتيب النقط له أهمية كبيرة لتطبيق مبرهنة طاليس. 

✤المسألة السابعة:

في هذه المسألة سنرى تطبيق مبرهنة طاليس المباشرة والعكسية في الهندسة الفضائية. 

 طريقة حساب المسافات باستعمال مبرهنة طاليس المباشرة

👈لحساب الأطوال ( أو المسافات) بتطبيق مبرهنة طاليس لابد من وجود مستقيمين متوازيين مع إحدى الوضعيتين التي تم التطرق إليهما : وضعية المثلثين المتداخلين أو وضعية الفراشة

👈 بعد ذلك نبحث عن القطعة التي نريد حساب طولها من خلال الشكل المرافق للتمرين أو النشاط ونحدد القطع الأخرى التي تحقق معها علاقة التناسب (مبرهنة طاليس)، ثم نطبق قواعد التناسب التي رأيناها في إحدى الفقرات السابقة ثم بعد ذلك يتم تعويض كل قطعة بطولها المعطى ( على الأقل ثلاث قطع يجب توفر أطوالها في المعطيات)

مثال: 

👈 لدينا في هذا المثال، مجموعة من المعطيات مرفقة برسم يوضح وجود توازي مع وضعية الفراشة، يعني أنه هنا يمكن تطبيق مبرهنة طاليس، لدينا أيضا ثلاثة أطوال معروفة ( AO=3cm و BO=3,6cm و CO=2,4cm ). والمطلوب هنا هو حساب طول القطعة [DO]. 

ولتحديد طول هذه القطعة نتبع الخطوات التالية:

👈 كما يمكن أيضا (وكما رأينا في مبرهنة فيتاغورس) رسم قطعة حسب طول معين بتوظيف مبرهنة طاليس ( أو بالأحرى تجزيء قطعة حسب طول معين)

مثال: نريد تحديد ثلث (1/3) القطعة [AB] 

طبعا يمكن قياس القطعة ثم قسمة القياس على 3، لكن توجد طريقة أخرى بدون إجراء أية عملية حسابية وذلك بتوظيف لخصائص مبرهنة طاليس 

↤ نرسم نصف مستقيم [Ax)  رأسه A 

↤ نحدد على نصف المستقيم  [Ax) ثلاث نقط  C و D و E بحيث:  AC=CD=DE(بواسطة البركار وكيفما كانت المسافة)

(لماذا بالضبط ثلاث نقط؟ لإننا نبحث عن ثلث القطعة(1/3). فلو طلب منا مثلا 1/5 أو 2/5 أو 3/5 ... سنحدد 5 نقط وهكذا)

↤ نربط النقطتين E و B للحصول على المستقيم(BE)  

↤ نرسم مستقيما آخر يمر من النقطة C ويوازي المستقيم (BE)   (هذا المستقيم يقطع المستقيم  (AB) مثلا في النقطة M) 

↤ فحصلنا على القطعة [AM] التي تمثل ثلث القطعة [AB] 

↤ وبنفس الطريقة يمكن تجزيء القطع إلى أطوال معينة بتطبيق مبرهنة طاليس.

✺✺مبرهنة طاليس أم مبرهنة فيتاغورس ؟؟✺✺

👈بعد أن تعرفنا على كل ما يخص المبرهنتين من خصائص وتعرفنا أيضا على بعض استعمالات المبرهنتين في حياتنا اليومية، سنمر في هذه الفقرة إلى التعرف على طريقة التمييز بين المبرهنتين ومتى يتم استعمال إحداهما دون الأخرى عندما يطلب منا إنجاز تمرين أو نشاط ما في الرياضيات يتطلب توظيف إحدى هاتين المبرهنتين.

👈 لكن قبل ذلك سنضع هنا ملخصا شاملا لأهم ما يميز المبرهنتين ومنه ننطلق للتميز بينهما. 

👈 انطلاقا من الصورة أعلاه يتضح لنا ما يلي:

↤ أن مبرهنة فيتاغورس مرتبطة بالتعامد (مثلث القائم الزاوية)  ومبرهنة طاليس مرتبطة بالتوازي.

↤ أن المبرهنتين نستعملهما معا لإيجاد طول معين، لكن بطرق مختلفة وخاصة بكل مبرهنة.

↤ أن الاستدلال العكسي للمبرهنتين له نفس المبدأ لكن أيضا بطرق خاصة بكل مبرهنة (الانطلاق من قياسات الأطوال لإثبات التعامد بالنسبة لفيتاغورس أو إثبات التوازي بالنسبة لطاليس)

👈 خلاصة القول، تحديد المبرهنة المناسبة مرتبط بنوعية الشكل المرافق للتمرين أو النشاط  (أو المتوصل إليه في التمرين أو النشاط):

↤ بالنظر إلى معطيات التمرين (الشكل المرافق أو المتوصل إليه): 

◁إذا كان هذا الشكل مثلثا قائم الزاوية: نفكر في تطبيق مبرهنة فيثاغورس.

◁ إذا كان الشكل عبارة مثلثين متداخلين أو مثلثين على شكل فراشة: نفكر في تطبيق طاليس

↤ بالنظر إلى المطلوب من التمرين:

◁ إذا كان المطلوب هو إيجاد طول ضلع مجهول في مثلث قائم (أو يصبح قائماً)، نستخدم فيثاغورس.

◁ أما إذا كان المطلوب هو إيجاد طول ضلع ناتج عن التوازي، نستخدم طاليس المباشرة.

◁ وإذا كان المطلوب هو البرهان على أن المثلث قائم الزاوية، (أو تعامد مستقيمين) استخدم فيثاغورس العكسية.

◁ وإذا كان المطلوب هو البرهان على أن مستقيمين متوازيان، نستخدم طاليس العكسية.

👈 لكن أحيانا، يجب الانتباه، إذ يمكن أن يكون الشكل مثلثا قائم الزاوية ويتضمن التوازي أيضا ( مثلثين متداخلين أو مثلثين على شكل فراشة)، وفي هذه الحالة يجب التركيز أكثر لمعرفة أي المبرهنتين يجب توظيفهما حسب المطلوب منك إيجاده. 

👈 وطبعا ليست هاتان المبرهنتان هما الوحيدتين اللتين يمكن الاعتماد عليهما فقط لإثبات التوازي أو التعامد، بل هناك العديد من المبرهنات والخصائص والتعاريف التي يمكن الانطلاق منهما للقيام بذلك، وقد رأينا ذلك في إحدى المقالات السابقة حول البرهان في الرياضيات، يمكن الرجوع إليها واكتشاف المزيد من المعلومات حول هذا الموضوع  الرابط من هنا.

👈 ونقترح عليكم هنا بعض الأنشطة التي سنرى ما هي المبرهنة التي يمكن توظيفها للوصول إلى الجواب.

✤النشاط الأول: 

👈 طبعا لن يتضح لنا أي المبرهنة المناسبة هنا إلا بعد إنشاء الشكل ومعاينة ما يحتوي عليه. 

👈 بعد إنشاء هذا الشكل تبين لنا ما يلي:

↤ غياب للتعامد والزوايا القائمة ◄ إذن مبرهنة فيتاغورس غير مناسبة هنا

↤ وجود التوازي مع نوعين من المثلثين: 

◁ النوع الأول: مثلثين متداخلين  (هما نفس الرأس  C):  ABC و ’CEA

◁ النوع الثاني: مثلثين على شكل فراشة: AEF و’CEA 

👈 إذن للوصول إلى المطلوب منا في هذا التمرين سنطبق مبرهنة طاليس نظرا لوجود شروط تطبيق هذه المبرهنة. (يمكن مشاهدة الفيديو للتعرف على طريقة الجواب)

 ✤النشاط الثاني: 

👈 من خلال الشكل المرافق للتمرين يتضح لنا:

↤ غياب التوازي ◄ إذن مبرهنة طاليس غير مناسبة هنا

↤ وجود مثلثين قائمي الزاوية 

👈 إذن للوصول إلى المطلوب في هذا التمرين سنطبق مبرهنة فيتاغورس مرتين نظرا لوجود مثلثين قائمين. (يمكن مشاهدة الفيديو للتعرف على طريقة الجواب)

✤النشاط الثالث: 

👈 مرة أخرى لن يتضح لنا أي شيء إلا بعد إنشاء الشكل ومعاينة ما يحتوي عليه. 

👈 نلاحظ في هذا الشكل:

◁ تواجد مثلث قائم الزاوية ← إذن ممكن توظيف مبرهنة فيتاغورس

◁ تواجد التوازي  (مع مثلثين متداخلين) ← إذن يمكن أيضا توظيف مبرهنة طاليس.

👈 لكن بالنسبة للسؤال الأول (حساب طول القطعة [𝐵𝐶])،  ما هي المبرهنة المناسبة التي تساعدني على الإجابة عن هذا السؤال؟ (طاليس ام فيتاغورس)

◁ طبعا فيتاغورس لإن  [𝐵𝐶] وتر المثلث القائم الزاوية في A.

👈 وبالنسبة للسؤال الثاني (حساب  طول القطعة [𝐸𝐷])

◁ لدينا  (ED)  يوازي (AC) ومثلثين متداخلين هما: AED و ABC

إذن هنا نستعمل مبرهنة طاليس 

ملاحظة: يمكن أيضا توظيف مبرهنة فيتاغورس للإجابة عن السؤال الثاني لاعتبار المثلث BED أيضا قائم الزاوية في E، بكن يتطلب ذلك جهدا أكثر.

👈 يمكن مشاهدة الفيديو أسفله للتعرف أكثر على طريقة التوصل إلى الجواب.

✤ النشاط الرابع: 

👈 من خلال الشكل يتضح مايلي:

◁ وجود مثلثين قائمين ← إذن يمكن تطبيق مبرهنة فيتاغورس للوصول إلى الحل

◁ وجود التوازي (مع مثلثين بصيغة الفراشة) ← إذن يمكن أيضا تطبيق مبرهنة طاليس

ملاحظة:  التوازي غير مصرح به في المعطيات، لكن يمكن البرهنة عليه من خلال تطبيق الخاصية التي تقول:

كل مستقيمين متعامدين، إذا كان لدينا مستقيم آخر متعامد على أحدهما فإنه يكون موازيا للآخر

 

👈 إذن للوصول إلى الحل في هذا النشاط (طول القطعة [OB]) يمكن تطبيق مبرهنة فيتاغورس لاعتبارAOB المثلث قائم الزاوية، كما يمكن تطبيق مبرهنة طاليس لاعتبار أن المستقيمين (AB) و (DC) متوازيان ويشكلان مثلثين على شكل فراشة.

👈 يمكن معاينة طريقة الحل بتطبيق كل مبرهنة على حدة من خلال مشاهدة الفيديو أسفل المقال.

✤النشاط الخامس: تطبيق الاستدلال العكسي لمبرهنتي فيتاغورس وطاليس

👈 للتعرف على طريقة حل هذا النشاط يرجى مشاهدة الفيديو أسفله.

✺✺خلاصة عـــامة✺✺

على كل حال وخلاصة القول فالمتعلم قبل أن يقوم بإنجاز أي تمرين عليه بالتأني وعدم التسرع وقراءة المعطيات بشكل جيد، حتى تتضح لديه الفكرة المناسبة للوصول إلى الحل، وألا يستعجل هذا الحل، بل عليه تجريب أكثر من فكرة في حالة ما لم تنجح الفكرة الأولى وهكذا... ويبحث دائما عن المبرهنات والخصائص التي يمكن توظيفها وألا يقتصر على واحدة فقط.. وللمزيد من المعلومات حول طريقة إنجاز البرهان في الرياضيات يمكن الولوج إلى مقال سابق حول الموضوع بالنقر على الرابط من هنا.