25 إثباتا مؤكدة لمبرهنة فيتاغورس

مبرهنة فيتاغورس، إثباتات مبرهنة فيتاغورس، Pythagorean Theorem،Théorème de Pythagore، 

تعتبر نظرية فيثاغورس أشهر علاقة في الرياضيات. يمتد تاريخها إلى ما يقرب من 4000 عام، وما تزال حاضرة إلى يومنا هذا، تدرس في المدارس والجامعات، وقد ساهمت في ظهور مبرهنات ونظريات أخرى جديدة ساهمت هي أيضا في تطور علم الرياضيات وجعله في متناول الطلاب والمهتمين... كما تمكنت هذه النظرية من تجاوز حدود الرياضيات، فتمكنت من جذب اهتمام الكثيرين خارج الرياضيات باعتبارها تمثيلًا للغموض الرياضي أو القوة الفكرية، إذ توجد لها مراجع عديدة في الأعمال الشعبية مثل الأدب والمسرحيات والموسيقى والأغاني والطوابع والرسوم المتحركة.

تنص مبرهنة فيتاغورس على أن في المثلث القائم الزاوية، مساحة المربع المُنشأ على الوتر (L’hypoténuse) وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، تساوي مجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين... وللمزيد من التفاصيل حول هذه امبرهنة توظيفها  في إنجاز الأنشطة والتمارين في الرياضيات نقترح عليكم الرجوع إلى مقال سابق حول هذا الموضوع بالنقر على الرابط من هنا.

وعلى مر التاريخ، وُجدت براهين لا تُحصى  موكدة صحة نظرية فيثاغورس، سنتحدث عن أهمها خلال هذا المقال من مختلف الجوانب المتعلقة بالجبر والهندسة والإثبات البصري المباشر وأيضا من خلال التجريب الميكانيكي لها... 

👈 تم إعداد هذا المقال بالاعتماد على المراجع المذكورة أسفل التدوينة.

✸✸الإثبات الأول: برهان إقليدس ✸✸

يقوم برهان إقليدس لنظرية فيثاغورس على بناء مربعين على الضلعين القائمين للمثلث، ومربع على الوتر، 

ومن ثَمَّ أثبت إقليدس أن مساحة المربع على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين الآخرين،

👈نحن نعلم أن مساحة المربع هي: طول ضلع × طول الضلع (a×a=a²)

إذن مساحة المربع ABDE  تساوي: AB²

ومساحة المربع  ACGF  تساوي: AC²

ومساحة المربع  BCHK تساوي: BC²

وإذا تحقق تساوي مساحة المربع على الوتر مع مجموع مساحتي المربعين الآخرين، فإننا سنحصل على:

 AB²=AC²+BC²

وهذا ما تؤكده مبرهنة فيتاغورس. 

👈 فكيف إذن تمكن إقليدس من البرهنة على تساوي المساحتين (مساحة المربع على الوتر ومجموع مساحتي المربعين الآخرين)؟؟

قام بتقسيم المربع على الوتر إلى مستطيلين، وإثبات أن مساحة كل مستطيل تساوي مساحة أحد المربعين الصغيرين من خلال تطبيق خصائص المثلثات المتقايسة. 

-------------------------------------------------

✸✸الإثبات الثاني: برهان ثابت بن قرة (إعادة ترتيب الأشكال)✸✸

تم العثور على صيغة مشابهة لهذا البرهان في مخطوطة باقية للرياضي ثابت بن قرة من القرن التاسع، وهي موجودة في مكتبة متحف آيا صوفيا في تركيا، ومسجلة تحت الرقم 4832

👈عبارة عن إثبات عملي يوظف مفهوم المساحة لتقريب مبرهنة فيتاغورس من خلال عملية القص وإعادة ترتيب الأشكال المتوصل إليها، كما توضح المراحل التالية: 

⇐ في المرحلة 1: لدينا هنا مربعين، الأول طول ضلعه  a وساحته  a² والثاني طول ضلعه b ومساحته  b².    

⇐ في المرحلتين 2 و 3: نقوم بدمج المربعين فنحصل على شكل مساحته a²+b² 

⇐ في المرحلة 4: داخل الشكل المتوصل إليه، نكون مثلثين قائمين لهما نفس المساحة ونفس الوتر c،  

◀ نقوم بقص الأشكال المتوصل إليها: مثلثان وشكل آخر غريب:

◀ نقوم بإعادة ترتيب الأشكال الثلاثة للحصول على مربع طول ضلعه c ومساحته، إذن،  تساوي c² وهو نفس الشكل في البداية الذي مساحته: a²+b² :

◀ وهذا يعني أن: c² = a²+b²  حيث a  و b طول ضلعي المثلث، و c طول الوتر وهذا ما تؤكده مبرهنة فيتاغورس.

---------------------------------------

✸✸الإثبات الثالث: برهان الفجوة المربعة ✸✸

👈يوظف هذا البرهان أيضا مفهوم المساحة لإثبات مبرهنة فيتاغورس، وذلك عبر المراحل التالية:

◀ نأخذ أربع مثلثات قائمة من نفس النوع ونفس الأطوال (a  و b طول الضلعين، و c طول الوتر) ثم نقوم بتدويرها:  المثلث الثاني 90 درجة والثالث 180 درجة والرابع 270 درجة والأول نتركه كما هو 

◀ نقوم بترتيب هذه المثلثات بحيث نحصل على مربع طول ضلعه c وبداخله فجوة على شكل مربع أيضا:

◀ نعرف أن مساحة المربع الكبير تساوي c² ، كما يمكن تحديد هذه المساحة بطريقة أخرى وهي حساب مجموع مساحات المثلثات الأربع و مساحة  الفجوة التي على شكل مربع، لنحدد مساحة الفجوة أولا: 

◀ نلاحظ أن طول ضلع هذا المربع هو a-b 

◀إذن سنتوصل إلى مايلي: 

----------------------------------------

✸✸الإثبات الرابع: برهان المربع الكبير✸✸ 

👈هو تقريبا نفس الأسلوب  المعتمد في الإثبات السابق بنفس المثلثات الأربعة، إلا أنه في هذه المرة، يتم تجميعها لتشكيل مربع كبير ضلعه a+b ، ويتوسطه فجوة مربعة ضلعه c ( الذي هو الوتر في المثلثات) 

👈 يمكن إذن حساب مساحة هذا المربع الكبير بطريقتين:

◀ الأولى: طول الضلع × طول الضلع ← ²(a+b) 

◀ الثانية: مجموع مساحات المثلثات الأربع + مساحة الفجوة ( المربع الذي طول ضلعه c):

👈 نعلم أن مجموع مساحات المثلثات الأربع يساوي  2ab ( انظر الإثبات السابق)، إذن مساحة المربع الكبير بتوظيف الطريقة الثانية هي:   c²+2ab

👈 ومنه نستنتج أن: 

👈 يرجع هذا الإثبات (الإثبات الرابع) والإثبات السابق ( الإثبات الثالث) إلى العالم الهندي باسكارا  Bhaskara II . 

---------------------------------------------------

✸✸الإثبات الخامس: برهان الرئيس جارفيلد✸✸

👈 هذا البرهان اكتشفه الرئيس الأمريكي جيمس إيه. جارفيلد في عام 1876، 

◀ وهو تعديل للإثبات السابق (الإثبات الرابع). لكن في هذه المرة، يتم تشكيل شبه المنحرف بدل المربع.  (نحتاج فقط إلى مثلثين) 

◀ ولحساب مساحة شبه المنحرف نستعمل القاعدة العامة والتي هي: 2÷[(القاعدة الكبرى+ القاعدة الصغرى) × الارتفاع] 

( راجع مقال حول حساب المساحات بالنقر على الرابط من هنا)

◀ فتكون مساحة شبه المنحرف المحصل عليه هنا هي: 

◀ ومن جهة أخرى يمكن حساب مساحة شبه المنحرف بطريقة أخرى، وهي حساب مجموع مساحات المثلثات المكونة له: 

◀ومن هنا نستنتج أن: 

------------------------------------------------

✸✸الإثبات السادس: برهان التشابه✸✸

👈ظهر هذا البرهان في مجلة Mathematics Magazine (الصادرة في مارس 1950) لكن بصيغة مختلفة قليلا.

👈تم تسميته ببرهان التشابه، لأننا وظفنا فيه قواعد المثلثات المتشابهة، فمتى يمكن الحديث عن المثلثات المتشابهة (Triangles semblables)؟؟

👈 نقول إن مثلثين متشابهان إذا تحقق ما يلي في كل حالة: (سننطرق إلى هذا الدرس لاحقا وسنضع رابطه هنا فور نشره)

◀ الحالة الأولى: إذا قايست زاويتان لمثلث زاويتين لمثلث آخر فإن هذين المثلثين متشابهين

◀ الحالة الثانية: إذا قايست زاوية لمثلث زاوية لمثلث آخر وكانت أطوال الأضلاع المحاذية للزاويتين متناسبة فإن هذين المثلثين متشابهان.

◀ الحالة الثالثة: إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة في مثلثين فإنهما مثلثان متشابهان.

👈 الآن، لنأخذ المثلث المبين في الشكل، لدينا هنا مثلث ABC  قائم الزاوية في A و AD اراتفاع هذا المثلث:

👈 حصلنا من خلال هذا الشكل على ثلاث مثلثات قائمة الزاوية هي:  ABC قائم الزاوية في A و ADB قائم الزاوية في D و ADC قائم الزاوية في D

👈 نأخذ المثلثين  ABC و ADC، لدينا الزاويتان  AD ̂C=BA ̂C والزاويتان  AC ̂B=AC ̂D

👈  إذن، حسب الحالة الأولى من قواعد المثلثات المتشابهة فإن المثلثين ABC و ADC متشابهان، ومنه نستنتج أن أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثين متناسبة فنحصل على: 

👈 وبنفس الطريقة لو اعتبرنا المثلثين ABC  و ADB، لدينا الزاويتان AD ̂B=BA ̂C والزاويتان AB ̂C=AB ̂D إذن، حسب الحالة الأولى من قواعد المثلثات المتشابهة فإن المثلثين ABC و ADB متشابهان، ومنه نستنتج أيضا أن أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثين متناسبة فنحصل على: 

👈 ومن العلاقتين السابقتين1 و2 نستنتج ما يلي: (صورة27)

--------------------------------------------------------

✸✸الإثبات السابع: إعادة ترتيب الأشكال (2)✸✸

👈هنا أيضا سنقوم بإعادة ترتيب الأشكال (المثلثات) للحصول على شكل آخر ثم نقوم بحساب مساحته بطريقتين، كما قمنا بذلك في الإثبات رقم 3.  

👈 توصلنا في البرهان رقم 3 إلى الشكل التالي: 

لدينا هنا أربع مثلثات قائمة الزاوية ومربع في الوسط كل هذه الأشكال تكون مربع طول ضلعه  c ومساحته  c²

👈 نعيد ترتيب الأشكال كما يلي، فنحصل على مستطيلين ومربع: 

👈 نعيد النظر إلى الشكل مرة أخرى فنحصل على مربعين ( مربع كبير مساحته  a² ومربع صغير مساحته b² )  

👈فتكون المساحة الإجمالية للشكل هي: a²+b²

👈 وبما أن المساحة لم تتغير فإننا نستنتج أن : c²=a²+b² ، وهذا ما تؤكده مبرهنة فيتاغورس.

---------------------------------------------------------

✸✸الإثبات الثامن: تعميم بابوس✸✸

👈 نحن نعلم أنه في أغلب إثباتات مبرهنة فيتاغورس يتم  الاعتماد على حساب أو إعادة توزيع مساحة المربعات المنشأة على أضلاع المثلث القائم الزاوية، لكن في هذا الإثبات الثامن سنقوم بتعميم هذا الأمر، إذ قام بابوس الإسكندراني، وهوعالم رياضيات يوناني، عاش في القرن الثالث أو الرابع الميلادي تقريبًا،  بتعميم نظرية فيتاغورس باعتماد حساب مساحة متوازيات الأضلاع اختيارية بدل المربعات... هذا البرهان ظهر في الكتاب الرابع من المجموعة الرياضياتية (Mathematical Collection) لهذا العالم الرياضياتي.

👈 وسنضع هنا مراحل هذا الإثبات:

◀إنشاء مثلث ABC قائم الزاوية في C.

◀ إنشاء متوايي الأضلاع  ACED و CBFG على الضلعين القائمين من المثلث، كما يوضح الشكل :

◀ المستقيمين (GF) و (DE)  يلتقيان في النقطة  H ثم تحديد النقطتين L وM بحيث يكون المستقيمان  (AL) و(BM) موازيين للمستقيم (HC) و   HC=AL=BM 

◀نظرية تعميم بابوس تنص على أن: مساحة  ABML = مساحة  ACED + مساحة CBFG  

👈 ولإثبات هذه النظرية نستعمل هنا فقط تقنية القص وإعادة ترتيب الأشكال والتي قمنا بها في بعض الإثباتات السابقة:

◀ نضيف في الشكل أربع نقط: U و V و R و S بحيث : (AL) يقطع (ED) في U  و  (BM) يقطع (GF) في V  و (HC) يقطع (AB) في R ويقطع (LM) في S

◀ فنحصل على ما يلي:

- مساحة ACED تساوي مساحة CAUH والتي بدورها تساوي مساحة SLAR

- وبالمثل فإن مساحة CBFG تساوي مساحة CBVH  والتي بدورها أيضا تساوي مساحة  SMBR

◀ وبالقيام بحساب مجموع المساحات المتساوية، نحصل على أن :

مساحة  ACED + مساحة CBFG = مساحة SLAR + مساحة SMBR

◀ وبما أن متوازيي الأضلاع SMBR و SLAR هما جزآن من متوازي الأضلاع ABML فإننا سنحصل على أن:

مساحة  ACED + مساحة CBFG = مساحة ABML

👈 وتعتبر مبرهنة فيتاغورس حالة خاصة من هذا التعميم، لإن مبرهنة فيتاغورس تعتمد على مساحة المربعات في حين أن هذا التعميم يعتمد مساحة متوازيات الأضلاع كيفما كان نوعها ( مربعات، أو مستطيلات، أو معينات أو متوازيات أضلاع خاصة)

---------------------------------------

✸✸الإثبات التاسع: تعميم ثابت بن قرة✸✸

👈 هذا تعميم آخر لا يتطلب أن يكون المثلث قائم الزاوية. منسوب إلى ثابت بن قرة، وينص على ما يلي:

في مثلث ABC ( كيفما كان نوعه)، D و E نقطتان من القطعة  [BC]بحيث تكون الزوايا CAB و ADB وAEC  متقايسة، بطبيق لقواعد المثلثات المتشابهة ( انظر الإثبات السادس) فإن العلاقة التالية تتحقق: (صورة35 -36)

👈 هذه العلاقة تتحقق كيفما كان نوع المثلث، وفي حالة ما إذا كان المثلث قائم الزاوية فإن النقطتين D و E ستكونان منطبقتين مع نقطة واحدة داخل القطعة [BC]، هي المسقط العمودي للنقطة A على المستقيم (BC)، وفي هذه الحالة يصبح الإثبات مماثلا للاثبات السادس السابق، فنحصل على نظرية فيتاغورس الأصلية: (صورة37)

-------------------------------------------

✸✸الإثبات العاشر: التشابه والمساحة✸✸

👈 تم تسمية هذا الاثبات بهذا الاسم لأننا سنوظف فيه قواعد تشابه المثلثات وأيضا قاعدة حساب مساحة المثلث للوصول إلى مبرهنة فيتاغورس، وذلك من خلال ما يلي:

◀ رسم مثلث ABC قائم الزاوية في A وإضافة مثلث آخر ABDعلى الضلع الصغير [AB] بحيث يكون المستقيم (BD) عمودي على (BC) في B(صورة38)

◀حصلنا مرة أخرى على ثلاث مثلثات متشابهة ( نفس الأمر بالنسبة للإثبات التاسع والإثبات السادس) هي: ABC و ABD و DBC، وبتطبيق لقواعد التشابه مرة أخرى سنحصل على: (صورة39)

◀ ومن جهة أخرى نعلم أن مساحة المثلث الكبير DBC تساوي مجموع مساحتي المثلثين ABC و  ABD، فنحصل على ما يلي: IMAGE40 

-------------------------------------

✸✸الإثبات الحادي عشر: تطبيق نظرية باطليموس (Ptolemy's theorem)✸✸

👈تنص نظرية باطليموس على  ما يلي:

في الشكل الرباعي الدائري وهو كل شكل رباعي تقع رؤوسه على نفس الدائرة (الدائرة المحيطة)، توجد علاقة بين الأضلاع الأربعة وقطري هذا الشكل، وهي : مجموع جداء طولي أي ضلعين متقابلين يساوي جداء القطرين (صورة41)

حالة خاصة:

👈 وإذا كان هذا الرباعي عبارة عن مستطيل ( ونحن نعلم أن الرؤوس الأربعة للمستطيل تنتمي إلى دائرة مركزها هو مركز المستطيل)، فيمكن إذن تطبيق هذه النظرية على المستطيل أيضا  (صورة42)

----------------------------------------

✸✸الإثبات الثاني عشر: تطبيق نظرية قوة النقطة (Power of a Point Theorem)✸✸

👈تنص هذه النظرية على أنه: 

إذا كانت نقطة خارج دائرة، ورُسم منها مستقيمين: أحدهما مماس للدائرة والآخر يقطع الدائرة في نقطتين مختلفتين، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب المسافة على القاطع من النقطة الخارجية إلى نقطة التقاطع الأقرب بالدائرة، مضروباً في المسافة إلى نقطة التقاطع الأبعد. وبتعبير الرياضيات:

👈يمكن تطبيق هذه النظرية أيضا لإثبات صحة مبرهنة فيتاغورس، وذلك من خلال ما يلي:

◀ نرسم مثلثا ABC قائم الزاوية في C، و(CP) ارتفاع هذا المثلث المار من الرأس C. 

◀ المثلث CPB قائم الزاوية في P، إذن النقطة P تنتمي إلى الدائرة (C1) التي مركزها منتصف القطعة [BC]، وأيضا المثلث ACP قائم الزاوية في P، إذن النقطة P تنتمي إلى الدائرة (C2) التي مركزها منتصف القطعة [AB] 

◀ وبتطبيق لنظرية قوة النقطة بالنسبة للدائرة (C1): 

◀ وبتطبيق لنظرية قوة النقطة بالنسبة للدائرة (C2): 

◀ وبالقيام بجمع المعادلتين السابقتين طرفا إلى طرف نحصل على مايلي:

👈مصدر البرهان:

نُشر هذا البرهان تحت الرقم XXIV في مجموعة من البراهين في مجلة The American Mathematical Monthly، المجلد 4، العدد 1 (1897)، الصفحات 11-12.

---------------------------------------------

✸✸الإثبات الثالث عشر: تطبيق صيغة هيرون (Heron's formula)✸✸

👈تستخدم صيغة هيرون التي سميت على أسم مكتشفها هيرون السكندري لحساب مساحة المثلث انطلاقا من  أطوال أضلاعه الثلاث دون الحاجة إلى تطبيق قاعدة حساب مساحة المثلث المعروفة: 2÷(القاعدة × الارتفاع)

👈 تنص صيغة هيرو على مايلي: 

👈 ولإثبات مبرهنة فيتاغورس بتطبيق لهذه الصيغة نتبع الخطوات التالية:

◀ نقوم بحساب مساحة مثلث القائم الزاوية بتطبيق صيغتها المتداولة: (صورة50)

◀ وبتطبيق لصيغة هيرون، فإن مساحة نفس المثلث تساوي: 

◀ إذن نستنتج أن:

-------------------------------------

✸✸الإثبات الرابع عشر: برهان ثابت بن قرة الثاني✸✸

👈إنه البرهان الثاني من البراهين التي قدمها ثابت بن قرة، تحدثنا عن الأول في الإثبات رقم 2 الذي يعتمد على إعادة ترتيب الأشكال.

في هذا البرهان سنقوم بإثبات مبرهنة فيتاغورس عن طريق حساب المساحات وبطريقة أخرى، لنتابع...

◀ لدينا هنا مثلثا ABC قائم الزاوية  في C، نقوم بإنشاء المربعات على كل ضلع كما يوضح الشكل التالي: 

◀ نقوم بتمديد المستقيمين  (LD) و (HM) ليتقاطعا في النقطة  F 

◀ حصلنا من خلال الشكل على ست مثلثات متطابقة  وهي: إضافة إلى  المثلث الأصلي ABC و EDB  و  FGE و  GHA و  FLC و FMC  

◀ نقوم الآن بحساب مساحة الخماسي  ABDFH بطريقتين: 

◀◀الطريقة الأولى بدلالة المربعين المنشأين على الضلعين:

◀◀الطريقة الثانية بدلالة المربع المنشأ على الوتر:

◀ وبذلك نستنتج أن:

-------------------------------------------

✸✸الإثبات الخامس عشر: الإثبات البصري✸✸

👈يعتمد هذا البرهان على الإثبات البصري، أي أنه يتم الاعتماد فيه على تقطيع المربعين المنشأين على ضلعي المثلث وإعادة تجميعها لتكوين المربع المنشأ على الوثر، وتوجد حالات كثيرة توضح أن مجموع مساحتي المربعين المنشأين على ضلعي مثلث قائم الزاوية يساوي مساحة المربع المنشأ على وتره، نختار البعض منها هنا:

◀ الحالة 1: هذا الإثبات منسوب إلى عالم رياضياتي صيني قديم يدعى ليو هوي (Liu Hui)

◀ الحالة 2: هذا البرهان منسوب إلى الكاتب وعالم الرياضيات هنري دوديني (H.E. Dudeney) 

◀ الحالة 3: هذا البرهان من تأليف جوهانز إيدوارد بوتشر(Johannes Eduard Böttcher)، ويمكن معاينة هذا الإثبات بصيغة جيوجبرا بالنقر على الرابط من هنا 

◀ الحالة 4:  

◀الحالة 5: 

◀ وتوجد حالات كثيرة يمكن معاينتها من خلال هذه الصورة المتحركة:

---------------------------------------------

✸✸الإثبات السادس عشر: البرهان الميكانيكي (A mechanical proof)✸✸

👈يعتمد هذا الإثبات على التجربة والملاحظة  بدل الحجج الجبرية والهندسية ، من خلال استعمال ثلاثة أوعية شفافة على شكل مربع مرتبطة فيما بينها مشكلة مثلثا قائما الزاوية وبينها ممرات تسمح بمرور السوائل  (الماء مثلا)، كما توضح الصورة المتحركة التالية:

👈 يتم ملء الوعائين الصغيرين بالماء، وعند إمالة النظام نلاحظ أن محتوى الوعائين يملأ تماما الوعاء الأكبر، وهذا يعني أن مجموع كمية الماء من المربعين الصغيرين يملأ المربع الكبير،  وهذا يدل أن مجموع مساحتي المربعين الصغيرين يساوي مساحة المربع الكبير، وهذا ما تؤكده مبرهنة فيتاغورس.

--------------------------------------------

✸✸الإثبات السابع عشر: برهان آن كونديت (Ann Condit)✸✸

👈 ينسب هذا البرهان إلى طالبة بمدرسة ثانوية في أمريكا تدعى آن كونديت، والذي ينطلق من خصائص المثلثات المتقايسة ومنتصف الوتر في المثلث القائم، من خلال ما يلي:

◀ ننشئ مثلثا ABC قائم الزاوية  في C، وننشئ على ضلعيه [BC] و [AC] مربعين  فنحصل على مثلث آخر  PCQ قائم الزاوية في C، كما يوضح الشكل التالي:

◀ ننشئ النقطة M منتصف الوتر [AB]، والمستقيم (MC) يقطع (PQ) في النقطة R: 

◀ الآن نقوم بإثبات أن المستقيمين (MC) و (PQ) متعامدين، كي نوظف هذا المعطى في حساب مساحة المثلثين MCP و  MCQ. 

◀ بعد إثبات تعامد المستقيمين، نقوم الآن بحساب مساحة المثلث MCP بطريقتين:

◀ والآن نقوم بحساب مساحة المثلث MCQ أيضا بطريقتين:

◀ومن خلال ما سبق نستنتج ما يلي: 

--------------------------------------------

✸✸الإثبات الثامن عشر: مساحة المثلث الكبير✸✸

👈هذا البرهان هو تبسيط لأحد البراهين التي قدمتها ميشيل واتكنز (Michelle Watkins)، وهي طالبة في جامعة شمال فلوريدا، والتي ظهرت في مجلة Math Spectrum في العدد 98/1997. يعتمد هذا البرهان على حساب مساحة المثلث الكبير المكون من مثلثين قائمين كما نوضح فيما يلي:

◀ ليكن ABC مثلثا قائما في C و DEF مثلثا آخر قائما في F ومقايسا للمثلث ABC بحيث تكون النقطة B تنتمي إلى القطعة [DE] و تكون النقط A و F و C و E نقطا مستقيمية.  

◀ نقوم بإثبات أن المستقيمين (AB) و (DE) متعامدين، كي نوضف هذا المعطى في حساب مساحة المثلث ADE.

◀ والآن نقوم بحساب مساحة المثلث ADE بطرقتين: 

◀بعد أن قمنا بحساب مساحة المثلث بطريقتين نستنتج أن: 

-----------------------------------------

✸✸الإثبات التاسع عشر: برهان ساتون✸✸

👈ينسب هذا البرهان إلى ج. باري ساتون (J. Barry Sutton)، والذي تم نشره في مجلة The Math Gazette في العدد 502 الصادرة بتاريخ مارس 2002.

👈 ينطلق هذا البرهان من خصائص الدائرة والمثلثات المتشابهة (Triangles semblables)وذلك باتباع المراحل والبراهين التالية:

◀ ليكن ABC مثلثا قائما في C، والنقطتين E و D على الوتر بحيث: AD=AE=AC 

◀ لإثبات مبرهنة فيتاغورس في هذه الحالة نحتاج إلى إثبات تشابه المثلثين DBC و EBC، فكيف نقوم بذلك؟؟ 

◀ نعلم أنه لإثبات تشابه المثلثين نحتاج إلى الانطلاق من إحدى الحالات الثلاث ( تطرقنا إليها في الإثبات السادس أعلاه يمكن الرجوع إليه) والحالة التي سننطلق إليه هنا هي إثبات تقايس زاويتان في أحد المثلثين لزاويتين في المثلث الآخر ( يعني الحالة الأولى).

◀ وبعد أن أثبتنا تقايس زاوييتن من المثلث DBC مع زاويتين من المثلث EBC، نستنتج أن المثلثين متشابهين، وبالتالي: 

----------------------------------------------- 

✸✸الإثبات العشرون: توظيف شعاع الدائرة المحاطة✸✸

👈في هذا الاثبات، سنقوم بالبرهنة على مبرهنة فيتاغورس انطلاقا من حساب مساحة المثلث بطريقتين، الطريقة الأولى المعروفة والتي هي حساب جداء الارتفاع والقاعدة مقسوم على 2، والطريقة الثانية انطلاقا من شعاع الدائرة المحاطة.

👈وقبل الخوض في هذا الإثبات سنقوم أولا بتحديد قاعدة حساب مساحة المثلث (كيفما كان نوعه) انطلاقا من شعاع الدائرة المحاطة.

◀ والدائرة المحاطة بالمثلث هي الدائرة التي مركزها هو نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث وتكون أضلاع المثلث مماساتها (أي أنه تكون عمودية على الشعاع)، كما توضح الصورة: ( وللمزيد من المعلومات حول الدائرة المحاطة والدائرة المحيطة يمكن الانتقال إلى موضوع حول الدائرة من خلال النقر على الرابط من هنا)

◀ فلو قمنا بتقسيم هذا المثلث إلى مثلثات صغيرة سنحصل على هذا الشكل:

◀ سنقوم بحساب مساحة كل مثلث بالطريقة العادية المعروفة: 2÷(القاعدة ×الارتفاع)، وإذا تمعنا جيدا سنرى أن قاعدة كل مثلث هي ضلع من أضلاع المثلث الأصلي والارتفاع هو شعاع الدائرة المحاطة، فنحصل إذن على ما يلي: 

◀ وبالتالي فإن مساحة المثلث الأصلي الكبير ABC تساوي مجموع مساحات المثلثات الصغيرة، يعني: 

👈والان، وبعد أن حددنا صيغة حساب مساحة المثلث بتوظيف لشعاع الدائرة المحاطة، سننتقل إلى إثبات مبرهنة فيتاغورس باعتبار المثلث قائم الزاوية:

◀ أولا نقوم بحساب مساحة المثلث القائم الزاوية بالطريقة العادية المعروفة: 

◀ نقوم الآن بتطبيق الصيغة السابقة لحساب مساحة المثلث انطلاقا من شعاع الدائرة المحاطة: 

◀ وبالرجوع إلى الشكل، يمكن حساب أطوال أضلاع المثلث على الشكل التالي:  

◀ وبالتالي نحصل على العلاقة الموجودة بين شعاع الدائرة المحاطة وطول أضلاع المثلث: 

◀ وبالرجوع إلى حساب مساحة المثلث بطريقتين، لدينا مساحة المثلث بالطريقة الأولى تساوي مساحة المثلث بالطريقة الثانية (لأن لدينا نفس المثلث):

-----------------------------------

✸✸الإثبات الواحد والعشرون: برهان دوبس✸✸

👈ينسب هذا الإثبات إلى دوبس (WJ Dobbs)، الذي نُشر في مجلة (The Mathematical Gazette)، العدد السابع، سنة 1913/1914، والذي يعتمد إنشاء شكل جديد انطلاقا من مثلث قائم وتجزيئه ثم إعادة ترتيبه، وذلك عبر المراحل التالية:

◀ نرسم مثلثا قائما الزاوية طول ضلعيه a و b، وطول وتره c ثم نرسم مربعا طول ضلعه b، وبالتالي مساحته تساوي b² كما يوضح الشكل:

◀ نجزئ المثلث القائم الزاوية من المربع ونضعه في الأعلى بحيث ينطبق الضلع b للمثلث مع الضلع  b للمربع:

◀ نحصل على الشكل التالي مع أبعاده المبينة عليه: 

◀ نقوم بتقسيم الشكل المحصل عليه إلى جزأين، فنحصل على مثلثين قائمي الزاوية كما يوضح الشكل التالي:

 

◀ نقوم الآن بحساب مساحة الشكل المحصل عليه من خلال حساب مجموع مساحتي كل مثلث:

◀ ونحن نعرف أن مساحة هذا الشكل هي نفسها مساحة المربع الذي طول ضلعه b، فنحصل إذن على ما يلي: 

👈يمكن معاينة هذا الإثبات بصيغة جيوجبرا من خلال النقر على الرابط من هنا

---------------------------------------------------

✸✸الإثبات الثاني والعشرون:  برهان جيمي دي ليموس (Jamie deLemos)✸✸

👈تم اكتشاف هذا البرهان من طرف طالب في المدرسة الثانوية يدعى جيمي دي ليموس (Jamie deLemos)، وتم نشره في العدد 88 من مجلة (The Mathematics Teacher) الصادرة سنة 1995.

👈 هذا البرهان يعتمد على إنشاء مثلثات قائمة مشابهة وعرضها على شكل شبه المنحرف، ومن ثم حساب مساحته بطريقتين، كما نوضح في ما يلي (هذا البرهان له نفس مبدأ برهان الرئيس غارفيلد الذي تطرقنا إليه في الإثبات الخامس):

◀ ننشئ أربع مثلثات قائمة حيث a و b طولي ضلعي كل مثلث، وc طول الوتر ثم نقوم بترتيب هذه المثلثات لنحصل على شبه المنحرف كما يوضح الشكل:

◀ نقوم بحساب مساحة شبه المنحرف بطريقتين:

◀◀الطريقة الأولى: هي الطريقة العامة التي نستعملها لحساب مساحة أي شبه منحرف وهي:

 2÷[الارتفاع×(القاعدة الكبرى+القاعدة الصغرى)] 

◀◀الطريقة الثانية: نقوم بحساب مجموع مساحات المثلثات المكونة لشبه المنحرف:

◀ بما أن لدينا هنا نفس الشكل، إذن نتوصل إلى مايلي:

----------------------------------------

✸✸الإثبات الثالث والعشرون: برهان هون✸✸

👈نشر لاري هون (Larry Hoehn) هذا البرهان أيضا في مجلة (The Mathematics Teacher) سنة 1995.

👈 ويعتمد هذا البرهان أيضا على خصائص المثلثات المتقايسة وخصائص المثلثات المتشابهة التي تطرقنا إليها سابقا، لكن بطريقة مغايرة لما سبق، وذلك عبر المراحل التالية:

◀ نرسم مثلثا ABC قائم الزاوية في C ([AB] هو الوتر في هذه الحالة)

◀ نحدد على نصف المستقيم [CA) النقطة D بحيث AD=AB 

◀ ننشئ مستقيما (L) عموديا على (CD) في النقطة D 

◀ ننشئ منصف الزاوية [DAB]، الذي يقطع المستقيم (L) في النقطة E 

◀ ننشئ مستقيما آخر مارا من النقطة E وعمودي على المستقيم (BC) في النقطة F 

◀ بعد إنشاء الشكل، نحصل استنتاجين أساسيين للوصول إلى ما نبحث عنه ( إثبات مبرهنة فيتاغورس):

⇐الاستنتاج الأول: 

⇐الاستنتاج الثاني: 

◀ وبتطبيق خاصية أخرى من خصائص تشابه المثلثين نحصل على ما يلي: 

----------------------------------------

✸✸الإثبات الرابع والعشرون: برهان ياني وكالدرهيد✸✸

👈نشر كل من ياني (B. F. Yanney) وكالدرهيدذ (J. A. Calderhead)، مجموعة من البراهين التي تعتمد تقريبا على نفس المبدأ الذي هو تشابه المثلثات لإثبات صحية مبرهنة فيتاغورس، نضع هنا أحد هذه البراهين التي تنطلق من إنشاء مثلث إضافي من خلال تمديد أحد ضلعي المثلث، كما توضح المراحل التالية:

◀ إنشاء مثلث ABC قائم الزاوية في C، ثم نقوم بتمديد الضلع [BC] من جهة النقطة C حتى نصل إلى النقطة D حيث: BA=BD 

◀ واسط  القطعة [CD] في النقطة E يقطع القطعة [AD] في النقطة F 

◀ نبرهن على أن المثلثين ADC و BEF مثلثان متشابهان:

◀ بعد ذلك نطبق خاصية المثلثات المتشابهة فتحصل على ما يلي:  

---------------------------------------------

✸✸الإثبات الخامس والعشرون: برهان سينا شيحيان✸✸

👈تم اكتشاف هذا البرهان من طرف طالبة إيرانية سينا شيحيان (Sina Shiehyan)، البالغة من العمر آنذاك 14 سنة، وقد اعتمدت في ذلك على خصائص الدائرة المحيطة بالمثلث، وذلك من خلال ما يلي:

◀ ننشئ مثلث ABC قائم الزاوية في C، والدائرة المحيطة بهذا المثلث مركزها O، كما يوضح الشكل: 

◀ ننشئ مماس الدائرة في النقطة C، والنقطتين P و K المسقط العمودي لـ A و B على التوالي على هذا المماس.

◀ حصلنا على شبه منحرف APKB حيث  النقطة C هي منتصف القطعة [KP]، يمكن المبرهنة على ذلك بتطبيق مبرهنة طاليس لأن النقطة O  منتصف القطعة [AB] والمستقيمات (KB) و (OC) و (AP) متوازية.

◀ الأن، نقوم بحساب مساحة شبه المنحرف بتطبيق القاعدة العاملة لحساب مساحة شبه المنحرف:

◀ ومن جهة أخرى نحسب مجموع مساحتي المثلثين APC و  CBK:

◀ وهذا يعني أن مجموع المساحتين تساوي نصف مساحة الشبه المنحرف: 

◀ ومن هنا نستنتج ما يلي:

◀ وبما أن المثلثات ACP و BCK و ABC مثلثات متشابهة ( يمكن البرهنة على ذلك بنفس الطرق التي رأيناها مسبقا في ما يخص المثلثات المتشابهة)، فإن نسبة مساحاتها تساوي نسبة مربعات أطوال أوتارها، وبصيغة الرياضيات نكتب: 

◀ وبتعويض هذه النسب في العلاقة السابقة، نحصل على: 

---------------------------------------

خلاصة 

تلكم أهم الإثباتات التي اخترناها لكم للبرهنة على صحة مبرهنة فيتاغورس، طبعا توجد العديد من البراهين التي تدل على أن هذه المبرهنة صحيحة دون أدنى شك... وللاطلاع على المزيد من هذه البراهين أقترح عليكم هذه المراجع والتي تم الاعتماد عليها لإعداد هذا المقال:

👈 المرجع الأول باللغة الأنجليزية (THE PYTHAGOREAN PROPOSITION) الصادر عن المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات (NCTM)، يتضمن سيرة ذاتية لفيثاغورس وسردًا للبيانات التاريخية المتعلقة بفرضيته. كما يعرض باقي الكتاب 370 برهانًا مختلفًا، تعود أصولها إلى الفترة من 900 قبل الميلاد إلى 1940 ميلاديًا. وهي مُصنفة ضمن أربع فئات من البراهين المحتملة: الجبر والهندسة والرباعيات  والبراهين القائمة على الكتلة والسرعة، والديناميكية. يمكن تحميل الكتاب بالنقر هنا أو الانتقال إلى مكتبة الموقع عبر الرابط من هنا.

👈 المرجع الثاني، أيضا باللغة الأنجليزية، (The Pythagorean Theorem) يعرض العديد من النتائج الرياضياتية المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنظرية فيثاغورس، بالإضافة إلى بعض النتائج الفرعية الرئيسية لها، مثل علم المثلثات. كما يحتوي على بعض الألغاز الكلاسيكية، والتسلية، والتطبيقات. المرجع لكاتبه (John C. Sparks)، يمكن تحميله بالنقر هنا أو الانتقال إلى مكتبة الموقع حيث توجد العديد من الكتب حول الرياضيات عبر الرابط من هنا

👈 المرجع الثالث، باللغة الإسبانية، (EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA)، ويعني مربع الوتر، يعرض فيه الكاتب (Alberto Ugarte Fernández) 25 برهانا عمليا مختلفا لإثبات مبرهنة فيتاغورس، بعد أن تحدث عن هذه المبرهنة تاريخيا.

يمكن تحميل الكتاب من هنا، أو من خلال النتقال إلى مكتبة الموقع حيث العديد من كتب الرياضيات بالنقرعلى الرابط من هنا

كما وضع المؤلف كل هذه البراهن رهن إشارة المهتمين بها بصيغة جيوجبرا حتى يتضح المفهوم بشكل جيد، يمكن الولوج إلى هذه البراهين بصيغة جيوجبرا من خلال النقر على الرابط من هنا

👈 المرجع الرابع، عبارة عن موقع اليكتروني يضم 122 إثباتا لمبرهنة فيتاغورس، يمكن الولوج إليه من خلال النقر على الرابط من هنا