الأعداد الحقيقية: تعاريف واستعمالات

الأعداد الحقيقية، الأعداد اللاجذرية، الأعداد الجذرية، الأعداد العشرية، الأعداد الصحيحة، الأعداد الصحيحة الطبيعية، مجموعات الأعداد، مميزات الأعداد، الفرق بين مختلف انواع الأعداد 

كثيرة هي أنواع الأعداد في الرياضيات، فهل سبق لك أن طرحت سؤالا حول سبب تعدد أنواع الأعداد، ولماذا لا يتم الاقتصار على نوع واحد مثلا؟؟

إليك الجواب عن هذا الإشكال المطروح...

👈 يرجع سبب ذلك، بالدرجة الأولى إلى أنه عندما يتم تحديد نوعا معينا من الأعداد وتوظيفها، كان يعتقد أنه قد تم إنهاء هذا التعدد وهذا هو آخر نوع ولن يظهر أي نوع آخر بعده،،، لكن، بسبب تطور الحياة، سرعان ما نجد أنفسنا أمام عجز هذه المجموعة من الأعداد التي اكتشفاها من إنجاز مهامات سواء في الحياة اليومية المباشرة أو في ميادين وعلوم أخرى، وهذا وقع عبر التاريخ وليس في فترة معينة قصيرة...

👈 فأول مجموعة الأعداد التي تعامل معها الإنسان بدون شك هي مجموعة الأعداد الطبيعية، وكان يعتقد آنذاك أن هذه المجموعة هي مجموعة وحيدة يمكن أن تستجيب لجميع متطلبات الحياة، لكن سرعان ما تبين عدم كفاية هذه الأعداد فظهرت مجموعة أخرى هي الأعداد العشرية، وبنفس الأمر تعرضت مجموعة الأعداد العشرية لقصور وعدم كفايتها حتى ظهرت الكسور ثم ظهرت الأعداد النسبية الصحيحة والعشرية، ثم الأعداد الجذرية...

👈 وبنفس هذا النهج التاريخي الذي تعرض له اكتشاف الأعداد، يتم تقديم هذه الأعداد في المدارس منذ السنوات الأولى من التعليم الابتدائي، حتى تتكون فكرة لدى المتعلم أن كل نوع من الأعداد له مميزاته وطريقة التعامل خاصة به، وقد تطرقنا إلى هذا الموضوع في جميع المقالات السابقة التي تتحدث عن أنواع هذه الأعداد يمكن النقر عليها للرجوع إليها:

✤ الأعداد الصحيحة الطبيعية والأعداد العشرية

✤ الأعداد الكسرية

✤الأعداد النسبية الصحيحة والعشرية

✤ الأعداد الجذرية

 وهل سنتوقف هنا، في الأعداد الجذرية؟؟ 

👈 لا، ليس بعد، بل توجد أعداد أخرى تدعى بالأعداد اللاجذرية (Les nombres irrationnels) وهي التي سنتحدث عنها في هذا المقال ضمن ما يسمى بالأعداد الحقيقية (Nombres réels) ... ويبقى السؤال مطروحا مرة أخرى: هل سنتوقف هنا!!!!؟ نترك الجواب إلى آخر هذا المقال..😵

👈 فما هي هذه الأعداد الحقيقية؟؟ وما هي مميزاتها؟؟ وكيف يتم التعامل معها؟؟؟

قبل الحديث عن هذا الموضوع، دعونا أولا نقوم بتذكير سريع لأنواع الأعداد السابقة، لأننا منها ننطلق لاكتشاف أسرار جديدة، كما يقول المثل: خطوة إلى الوراء من أجل خطوتين إلى الأمام. 

1-- تذكير عام

👈 أول نوع هو الأعداد الصحيحة الطبيعية وهي الأعداد التي تمتد من 0 إلى ما لانهاية له. تعامل المتعلم معها ربما قبل ولوجه إلى المدرسة من خلال احتكاكه بواقعه المعاش وممارسته لألعابه، وفي المدرسة تعلم كيف يقرؤها وكيف يمثلها وكيف ينجز مختلف العمليات عليها، وهذا النوع من الأعداد مازال يدرس في المستويات العلوية وفي الجامعات أيضا...

👈 النوع الثاني هو الأعداد العشرية، وهي أيضا أعداد غير منتهية. اكتشفها المتعلم عندما أصبحت الأعداد السابقة غير مناسبة للقيام ببعض الأنشطة من الحياة اليومية، كما اكتشف أن العدد الصحيح الطبيعي يمكن كتابته على شكل عدد عشري، لكن العكس غير ممكن، وبالتالي قام بتوسيع مداركه المتعلقة بالأعداد شيئا فشيئا... 

👈 النوع الثالث هو الأعداد الكسرية (أو ما يطلق عليه بالكسور)، وهي أعداد عشرية لكن أرقامها بعد الفاصلة دورية غير منتهية، لذا يتم كتابتها على شكل كسر بسطه عدد صحيح ومقامه عدد صحيح غير منعدم، يكتشف المتعلم عمليات أخرى جديدة تنجز على هذه  الأعداد كتوحيد المقامات والاختزال، كما يكتشف أن كل عدد صحيح طبيعي يمكن كتابته على شكل عدد كسري، والعكس غير ممكن، كما أن كل عدد عشري يمكن كتابته على شكل عدد كسري، والعكس أيضا غير صحيح... وبهذا اتسعت مرة أخرى مداركه المتعلقة بالأعداد... 

👈 النوع الرابع من هذه الأعداد والتي يكتشفها المتعلم في المرحلة الإعدادية هي الأعداد النسبية الصحيحة، وهي مجموعة الأعداد التي تتكون إضافة إلى الأعداد الصحيحة الطبيعية ( ويطلق عليها هنا الأعداد الموجبة)، أعداد أخرى تسمى الأعداد السالبة، ويتواجد الصفر بينهما:

👈 النوع الخامس هي الأعداد النسبية العشرية، وهي أيضا مجموعة الأعداد التي تتكون إضافة إلى الأعداد العشرية السابقة (ويطلق عليها الأعداد العشرية الموجبة) أعداد عشرية سالبة، ويتواجد الصفر بينهما:

 

👈 النوع السادس هو الأعداد الجذرية، وهي مجموعة الأعداد التي تتضمن إضافة إلى الأعداد الكسرية السابقة ( الأعداد موجبة) أعدادا سالبة، ويمكن القول أنها كل عدد يمكن كتابته على شكل عدد كسري ( موجبا كان أو سالبا)

↤ وتوضح هذه الخطاطة الفرق بين العدد الجذري غير العشري  والعدد الجذري العشري:

✻استنتاجات:

◀ الأعداد الصحيحة هي أيضا أعداد عشرية وأعداد جذرية

◀ الأعداد غير الصحيحة يمكن أن تكون أعداد عشرية أو جذرية

◀ الأعداد العشرية هي أيضا أعداد جذرية

◀ الأعداد غير العشرية هي أعداد جذرية

◀◀فهل هناك إذن أعداد غير جذرية، فما هي إذن؟؟ 

2-- الأعداد غير الجذرية أو ما يطلق عليها بالأعداد اللاجذرية (Les nombres irrationnels)

👈إلى حد الآن جميع الأعداد المدروسة (سواء كانت صحيحة أو عشرية أو غير عشرية، موجبة أو سالبة) هي أعداد جذرية، أي انها يمكن كتابتها على الشكل السابق: 

👈 وعلى عكس ذلك تماما، فإن الأعداد اللاجذرية هي جميع الأعداد التي لا يمكن كتابتها على الشكل السابق، هذا يعني ماذا؟؟

👈 تعرفنا في درس سابق على الجدور المربعة وكيفية حسابها وإجراء العمليات عليها (يمكن الولوج إله بالنقر هنا)، وقلنا إن هناك أعداد تعتبر من المربعات الكاملة أي أن جدرها المربع عدد صحيح، لكن أغلبية الأعداد لإيجاد جدرها المربع نلتجأ إلى استعمال الآلة الحاسبة، فهل مثلا العدد 2√ في نظرك يمكن اعتباره عددا جذريا؟؟ لنرى ذلك من خلال هذا البرهان: 

هذا البرهان يسمى برهان التناقض، افترضنا فيه أن العدد 2√ عددا جذريا لكننا توصلنا في الأخير إلى تناقض وهذا يدل على أن ما افترضناه كان خاطئا وبالتالي فإن هذا العدد ليس عددا جذريا او نقول إنه عدد لاجذري. 

👈 ومن هذا الاستدلال نستنتج أن الجدر المربع لأي عدد ليس مربعا كاملا فهو عدد لاجذري. أمثلة: 

👈 كما تدخل في الأعداد اللاجذرية الجدر المكعب وجميع الجدور من رتبة n لعدد معين، أمثلة: 

👈 وتوجد طريقة أخرى  نميز بها بين  العدد الجذري والعدد اللاجذري من خلال تكرار الأرقام وراء الفاصلة أم عدم تكرارها... فإذا تكررت هذه الأرقام بشكل دوري فهذا يعتبر عددا جذريا وإذا لم تتكرر بشكل دوري فهذا عدد لاجذري، أمثلة:

◄ لو قمنا بقسمة 1 على 3، نجد أنها تساوي: 0,333333333، نلاحظ أن الرقم 3 يتكرر إلى ما لانهاية، فالعدد 1/3 إذن عدد جذري

◄ لو قمنا بقسمة 1 على 7 نجد أنها تساوي: 0,1428571428571428، نلاحظ أن هذه السلسة من الأرقام 142857، تتكرر أيضا إلى ما لانهاية ، فالعدد 1/7 إذن عدد جذري.  

◄ لو قمنا بقسمة 355 على 113  نجد أنها تساوي: 3,1415929203539823008849557522124، ونلاحظ عدم وجود أي تكرار لنفس العدد او لسلسلة من الأعداد، في البداية سنعتقد أنه عدد لاجذري، لكن لو استمررنا ووضعنا أكثر من 100 رقم بعد الفاصلة حينئذ سيظهر لنا هذا التكرار، فالعدد 355/113 عدد جذري:

◄ لكن لو قمنا بحساب جدر مربع العدد 2، فسنحصل على 1,4142135623730950488016887242097، وسنلاحظ عدم وجود تكرار لأي سلسلة، مهما حددنا من رقم وراء الفاصلة، وبالتالي فإن العدد 2√ عدد لاجذري.

◄ ويعتبر العدد π  أيضا عدد لاجذريا، فالكتابات التي نعبر بها أحيانا عن هذا العدد ليست مضبوطة، وإنما هي فقط كتابات تقريبية:

لا يمكن تحديد جميع الأرقام المكونة لهذا العدد، وإلى حد الأن تمكن باحثون في المدرسة العليا للعلوم في سويسرا وباستعمال أجهزة الكومبيوتر فائقة الدقة من تحديد  62,8 تريليون (62800000000000) رقم وراء الفاصلة  للعدد π، وهو آخر رقم قياسي تم تسجيله للعدد π ، وكان ذلك سنة 2021.

◄ ويعتبر أيضا العدد e المعروف بعدد أويلر أو ثابت أويلر من الأعداد اللاجذرية، والذي يتم توظيفه في حساب التفاضل والتكامل، قيمته التقريبية هي:  ...2,718281828459

3- الأعداد الحقيقية (Les nombres réels )

← تعرفنا في البداية على الأعداد الصحيحة الطبيعية.

← أضفنا إليها أعدادا سالبة فتوصلنا إلى الاعداد الصحيحة النسبية

← أضفنا إليها الفاصلة والجزء العشري فتوصلنا إلى الأعداد العشرية النسبية

← أضفنا إليها الأعداد غير العشرية (وهي الأعداد التي لا ينتهي جزؤها العشري) فتوصلنا إلى الأعداد الجذرية

← والآن نضيف إليها الأعداد اللاجذرية فنتوصل إلى ما يسمى بالأعداد الحقيقية.

👈فالأعداد الحقيقية إذن  تتضمن الأعداد الصحيحة والأعداد العشرية والأعداد الجذرية والأعداد اللاجذرية. 

ملاحظة:

◄ نرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية بالحرف N

◄ نرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة النسبية بالحرف Z

◄ نرمز لمجموعة الأعداد العشرية النسبية بالحرف D

◄نرمز لمجموعة الأعداد الجذرية بالحرف Q 

◄ نرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية بالرمز R

لذلك نكتب: 

◄ لأن جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية توجد ضمن مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية

◄ وأن جميع الأعداد الصحيحة النسبية توجد ضمن مجموعة الأعداد العشرية النسبية

◄ وأن جميع الأعداد العشرية النسبية توجد ضمن مجموعة الأعداد الجذرية

◄ وأن جميع الأعداد الجذرية توجد ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية

( وللمزيد من المعلومات حول المجموعات في الرياضيات يرجى النقر على الرابط من هنا)

👈تمرين: 

 👈الحل

4-- استعمالات الأعداد الحقيقية

👈عندما يريد تلميذ من المستوى الأولى إعدادي متوسط أن يتباهى أمام زملائه القدامى في المستويات الابتدائية، يسألهم ويقول: 4 ناقص 6 يساوي كم؟؟ لأنه ينتظر ردودا من أصدقائه أن ذلك غير ممكن، فيعتبرهم ناقصي المعرفة أو غير متمكنين من الرياضيات... ولا يدرك أن ما قال له أصدقائه صحيح، لأن 4 ناقص 6 فعلا غير ممكن في نطاق الأعداد الصحيحة الطبيعية المبرمجة في المستويات الابتدائية، إذ توجد أيضا عمليات لا يمكن إنجازها في نطاق الأعداد النسبة، وعمليات لا يمكن إنجازها في نطاق الأعداد الجذرية، لذا ظهرت الأعداد الحقيقية للوصول إلى حل لجميع المسائل والمعادلات في الرياضيات، فالأعداد الحقيقية هي جميع الأعداد التي يمكن أن تظهر على المستقيم العددي (المستقيم المدرج) كما أشرنا إلى ذلك لأنها تضم جميع أنواع الأعداد الأخرى. 

👈 فاستعمالاتها غير محدودة في مجال الرياضيات ووفي العلوم الأخرى وأيضا في الأنشطة اليومية،

1⇐ففي مجال المعادلات، غالبا ما نجد السؤال التالي : حل في R المعادلات التالية؟؟ لماذا لا نجد مثلا السؤال: حل في Q أو في Z، لأن الحلول في هذه المجموعات محدودة ضمن نوع معين من الأعداد. فيتم اختيار مجموعة الأعداد الحقيقية تفاديا للوقوع في الأخطاء أو ضمانا للوصول إلى النتيجة، أمثلة: 

👈 نلاحظ أن جميع هذه المعادلات تقبل الحل في R، عكس ذلك يحدث في باقي المجموعات

2⇐ يتم استعمال الأعداد الحقيقية لحل مسائل تتعلق بحساب الأطوال، لأنه أحيانا لا يمكن إيجاد هذه الأطوال في مجموعات الأعداد الأخرى، وكمثال على ذلك، نقترح هاتين الوضعيتين:

الوضعية 1: احسب قطر مربع طول ضلعه 1cm.

👈نلاحظ مرة أخرى توصلنا إلى أن طول القطر يساوي √2 وهو عدد لاجذري أي أنه فقط عدد حقيقي، فتصور معي،، لو لم تكن هناك أعداد حقيقية لما توصلنا إلى طول قطر هذا المربع.

الوضعية 2: ما هو محيط دائرة شعاعها يساوي 2cm؟

👈 تلاحظون أننا استعملنا هنا العدد π، وهو أيضا عدد لاجذري، أي أننا أيضا نحتاج إلى الأعداد الحقيقية لحساب محيط الدائرة. 

3⇐ أيضا مفاهيم الرياضيات مثل النهايات (Limits) والاشتقاق (Derivatives) والتكامل (Integrals) لا يمكن تعريفها أو العمل بها إلا ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية.

4⇐ وفي الهندسة أيضا، تستخدم الأعداد الحقيقية لتعريف أبعاد الأشكال والمسافات بين النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية...

5⇐ وفي العلوم الأخرى، كذلك، تعتبر الأعداد الحقيقية أساسية لحساب القياسات الفزيائية والمعادلات الكيمائية وفي الهندسة الكهربائية وعلوم الحاسوب وغير ذلك كثير...

5-- العمليات على الأعداد الحقيقية (Les opérations dans R)

👈 تبقى العمليات الأساسية التي تم تعلمها في نطاق الأعداد السابقة من جمع وطرح وضرب وقسمة أساسية ومهمة وصالحة أيضا في نطاق الأعداد الحقيقية، يضاف إليها طبعا عمليات كانت تدرس بشكل ضمني  وأحيانا بشكل صريح لكنها محدودة حسب نوعية الأعداد المرتبطة بها.

وقبل الدخول في موضوع العمليات في R، أريد أن أوضح نقطة مهمة تتعلق بالعدد الحقيقي، فكثيرا ما نجد في التعاريف أو الخاصيات أو الأنشطة المربطة بمفهوم متعلق بالأعداد في الرياضيات، رموز حرفية تدل على أعداد حقيقية، مثل هذه العبارة: ليكن a عددا حقيقيا (أو عددا من R) ...

عندما أجد مثل هذه العبارة ، يجب أن يتبادر إلى ذهني أن هذا العدد يمكن أن يكون صحيحا  أصغر من 100 أو كبيرا يفوق الملايين ويمكن أن يكون سالبا أو موجبا  ويمكن أن يكون عددا عشريا أو عددا كسريا أو عددا جذريا أو عدد لاجذريا .... كل هذه الأعداد فهي أعداد حقيقية.

لماذا نبهت إلى هذه الملاحظة؟؟ لأن الكثير عندما يرى حرفا وحيدا مثلا a ، يربط هذه الوحدة بالعدد فيعتقد أن العدد المقصود يتكون من رقم واحد أو أنه موجب وليس سالبا أو أنه عدد ليست به فاصلة أو أنه عدد غير كسري وهكذا... 

الجمع والضرب (La somme et le produit)

👈هاتان العمليتان هما الأساسيتان في الرياضيات، وتتميزان بخصائص خاصة هي: التبادلية والتوزيعية والعنصر المحايد 

الطرح والقسمة عمليان عكسيتان

👈الطرح عملية عكسية للجمع، وهذا يعني أننا يمكن كتابة الجمع على شكل طرح أو كتابة الطرح على شكل جمع. (تحدثنا عن مفهوم الطرح في مقال خاص يمكن الرجوع إليه بالنقر هنا) 

← لذلك، عندما نجد تعبير جمعي فيمكن أن نقصد به أيضا الطرح، لأن الأعداد المستعملة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة.

👈 القسمة عملية عكسية للضرب، وهذا يعني أننا يمكن كتابة الضرب على شكل قسمة أو القسمة على شكل ضرب. (تحدثنا عن مفهوم الضرب في مقال خاص يمكن الرجوع إليه بالنقر هنا) 

← لذلك يمكن تحويل الضرب إلى قسمة أو القسمة إلى ضرب في تعبير رياضي 

مقارنة وترتيب وتأطير الأعداد

👈تعتبر من بين المهارات الأساسية أيضا في الرياضيات والتي ترافق المتعلم طيلة حياته الدراسية وتختلف خصائصها بل تتطور حسب نوعية الأعداد المدروسة. وسنضع رابط الدرس هنا فور نشره إن شاء الله.

النشر والتعميل  (Factorisation et développement)

👈 النشر في مفهومه البسيط هو عملية توزيع الضرب على الجمع، وعكسها يسمى التعميل وللمزيد من المعلومات حول النشر والتعميل يمكن الرجوع إلى درس النشر والتعميل من خلال النقر على الرابط من هنا.     

قوة عدد حقيقي (Puissance d’un réel)

👈 القوة بمفهومها البسيط أيضا هي الضرب المتكرر، وللمزيد من المعلومات حول خصائص القوى يرجى الانتقال إلى مقال سابق حول الموضوع بالنقر على الرابط من هنا، وتجد الإشارة هنا أن هذه الخصائص تبقى صالحة في نطاق الأعداد الحقيقية.

المتطابقات الهامة (Identités remarquables)

👈 هي عبارات خاصة تساعدنا في حل المعادلات أو القيام بتبسيط عبارات رياضياتية، وقد تحدثنا عنها أيضا في نفس الدرس السابق (النشر والتعميل)، وسنضع رابط الدرس الخاص هنا فور نشره إن شاء الله.

التناسبية (Proportionnalité)

👈 يتعامل المتعلم منذ سنوات التعليم الابتدائي مع مفهوم التناسب، والعمليات التي يمكن القيام بها لحل مسائل يتطلب حلها توظيف التناسبية، وقد تطرقنا أيضا إلى هذا الموضوع في مقال خاص يمكن الرجوع إليه بالنقر على الرابط من هنا. وتبقى خصائص التناسبية صالحة أيضا في نطاق الأعداد الحقيقية، ومنها: 

حل المعادلات (Résoudre les équations)

👈 هو نشاط سبق للمتعلم أن تعرف عليه في السنوات الأولى من التعليم الإعدادي المتوسط، ويعني ذلك محاولة إيجاد قيمة المجهول في معادلة ما باتباع مراحل ممنهجة وذات مصداقية، وقد تحدثنا أيضا عن هذا الموضوع وفي مقال خاص يمكن الرجوع إليه بالنقر على الرابط من هنا.

الجدر المربع  (Racine carré)

👈 هو العملية العكسية لمربع عدد، (أس 2) ، تحدثنا أيضا عنه وعن كل ما يميزه من تعاريف وخصائص وتقريب المفهوم في مقال خاص يمكن الرجوع إليه بالنقر على الرابط من هنا.

القيمة المطلقة (Valeur absolue)

👈 هي تعبير رياضياتي الهدف منه هو إرجاع العدد السالب إلى عدد موجب، ويتم التعامل معها في الوضعيات التي نحتاج فيها إلى الأعداد الموجبة فقط، وسنضع رابط درس القيمة المطلقة هنا فور نشره على موقعنا إن شاء الله.

حل المتراجحات (Résoudre les inéquations)

👈 والمتراجحة هي تعبير رياضي يشبه المعادلة، الفرق بينهما يكمن في:

الفرق الأول هو أن المعادلة تتكون من تعبيرين تفصل بينهما علامة التساوي (=)، في حين أن المتراجحة هي أيضا تتكون من تعبيرين لكن بينهما علامة أصغر(>) أو أكبر(<)أو أصغرمن أو تساوي (≥)أو أكبر من أو تساوي(≤).

 الفرق الثاني يكمن في طبيعة مجموعة الحلول، فالمعادلة يمكن أن يكون لها حل واحد أو عدة حلول مختلفة عبارة عن أعداد حقيقية، أما المتراجحة فحلولها تكون عبارة عن مجالات وليس أعداد محددة. وسنرى ذلك عندما سنقوم بنشر هذا الدرس أيضا على موقعنا وسنضع رابطه هنا إن شاء الله فكونوا في الموعد...

حساب المسافة في R (Distance dans R)   

👈 ربما تسأل ما دخل المسافة التي تعتبر مفهوما خاصا بالهندسة في موضوع الأعداد؟؟

نعم المسافة هو مفهوم هندسي، لكنه أيضا يتم توظيفه في المجال الجبري، لأننا عندما نتحدث عن الأعداد فإننا نتذكر تمثيلاتها على المستقيم المدرج، وبالتالي يمكننا أيضا توظيف المسافة طالما تحدثنا عن المستقيم المدرج، فالمسافة بين عددين حقيقين هي القيمة المطلقة لفرقيهما، وبلغة الرياضيات نكتب: 

دراسة الدوال (Etude des fonctions)

👈 ومن بين العمليات الأساسية أيضا التي يتم توظيف الأعداد الحقيقية فيها، هي دراسة الدوال من مختلف الجوانب المتعلقة بها. والدالة من المفاهيم التي ترتكز عليها الرياضيات والذي يتطور شيئا فشيئا. وسنتحدث عن هذا الموضوع بالتفصيل في مقال آخر إن شاء الله، وسنضع رابطه هنا فور نشره.

تلكم أهم العمليات التي يمكن توظيفها في نطاق الأعداد الحقيقية، وبدون شك، ستتضح لكم الآن الفكرة أكثر حول السبب الذي جعلنا نستعمل الأعداد الحقيقية كمجموعة شاملة لمختلف هذه العمليات. 

6-- خلاصة عامة

تحدثنا في هذا المقال عن الأعداد الحقيقية باعتبارها مجموعة شاملة لجميع أنواع الأعداد الأخرى، وتحدثنا أيضا عن الدور الأساسي الذي تلعبه في الرياضيات، وعن مختلف العمليات التي يمكن إنجازها على هذه الأعداد... ويبقى السؤال المطروح، هل هذا النوع من الأعداد هو آخر نوع؟؟ أم أنه ستظهر مشكلات جديدة في الرياضيات وفي العلوم الأخرى تؤكد عدم كفاية الأعداد الحقيقية ونحتاج إلى أعداد أخرى..

دعوني أقول لكم، نعم توجد مجموعة أعداد أخرى تضم الأعداد الحقيقية إلى جانب أعداد جديدة،، فما هي هذه الأعداد؟ وما مميزاتها واستعمالاتها؟؟ كل هذا سنتطرق إليه في مقال لاحق إن شاء الله وسنضع رابطه هنا فور نشره.