الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية

الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية، خصائص الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية،مقارنة الأعداد الحقيقية، تأطير الأعداد الحقيقية،

تحدثنا في مقال سابق عن الأعداد الحقيقية وسبب وجود هذا النوع من الأعداد والفائدة منها، يمكن الرجوع إلى المقال بالنقر على الرابط من هنا.

كما تطرقنا في مقال آخر إلى مهارتي الترتيب والمقارنة في الرياضيات والتقنيات المعتمدة لمقارنة وترتيب مختلف الأعداد في الرياضيات... يمكن أيضا الانتقال إلى هذا المقال بالنقر على الرابط من هنا.

في هذا المقال سنتحدث عن تعاريف وخصائص الترتيب وكل ما يتعلق به في نطاق الأعداد الحقيقية التي تجمع إلى حد الآن جميع أنواع الأعداد المدروسة من الأعداد الصحيحة الطبيعية، فالأعداد النسبية الصحيحة والعشرية ثم الأعداد الجذرية وأخيرا الأعداد اللاجذرية.

خصائص الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية

هذه الخصائص ستساعدنا كثيرا في إنجاز مختلف الأنشطة المرتبطة بالترتيب كالمقارنة والتأطير، وأيضا التعرف على المجالات وأنواعها وحل المتراجحات التي سنتعرف عليها في مقال آخر أن شاء الله، وسنضع رابطه هنا فور نشره..

والذي نميز به موضوعنا هذا هو أننا عند ذكر أي تعريف أو خاصية حول الترتيب إلا وسنضع أمثلة توضيحية تبين متى يتم توظيف هذه الخاصية دون الأخرى، حتى تتكون لدينا فكرة حول هذه الخصائص ونفهما جيدا ونعرف الوقت المناسب لتطبيقها، وفي الأخير تجدون تطبيقات عامة لمختلف هذه الخصائص.

والذي نميز به موضوعنا هذا هو أننا عند ذكر أي تعريف أو خاصية حول الترتيب إلا وسنضع أمثلة توضيحية تبين متى يتم توظيف هذه الخاصية دون الأخرى، حتى تتكون لدينا فكرة حول هذه الخصائص ونفهما جيدا ونعرف الوقت المناسب لتطبيقها، وفي الأخير تجدون تطبيقات عامة لمختلف هذه الخصائص.

وقبل الخوض في تفاصيل هذه الخاصيات، سنقوم بالتذكير ببعض المصطلحات والمفاهيم المرتبطة بالمقارنة والترتيب والتي سنستعملها خلال في الفقرات المقبلة:

👈الكتابة a ≤ b تقرأ " أصغر من أو يساوي ( a est inférieur ou égal à b) " تسمى متفاوتة (L’inégalité)

👈 الكتابة a < b تقرأ " أصغر قطعا من (a est strictement inférieur à b) " تسمى متفاوتة قطعية (L’inégalité stricte )

👈 الكتابتان a ≤ b و b ≥ a لهما نفس المعنى ( a أصغر من أو يساوي b، أو أن b أكبر من أو يساوي a)

👈 الكتابتان a < b و b > a لهما نفس المعنى ( a أصغر قطعا من b، أو أن b أكبر قطعا من a)

👈 الكتابة a ≤ 0 تعني أن العدد a عدد سالب أو منعدم (a est négatif ou nul)

👈 الكتابة a < 0 تعني أن العدد a عدد سالب قطعا (a est strictement négatif)

👈 الكتابة a ≥ 0 تعني أن العدد a عدد موجب أو منعدم (a est positif ou nul)

👈 الكتابة a > 0 تعني أن العدد a عدد موجب قطعا (a est strictement positif)

أولا: الخاصية العامة لمقارنة وترتيب الأعداد والتعابير الرياضياتية

سنبدأ هنا بآخر ما تطرقنا إليه في المقال السابق حول مهارتي المقارنة والترتيب، وهي أنه لمقارنة عددين نقوم بحساب فرقهما (يمكن الرجوع إلى هذا المقال من هنا) ومن خلال هذا الفرق يمكن أن نحدد العدد الأكبر والعدد الأصغر، وللتوضيح أكثر نكتب بصيغة الرياضيات:

⇐ متى يتم توظيف هذه الخاصية؟؟

كما أشرنا إلى ذلك، فهذه الخاصية من بين الخصائص التي يمكن تطبيقها إذا طلب منا مقارنة عددين أو تعبيرين، كما توضح هذه الأمثلة:

⇐ تطبيق:

وللتمكن أكثر من التقنية وضبطها بشكل جيد، نقترح عليكم إنجاز هذا التطبيق، ولمعاينة الحلول سنضع هنا رابط الفيديو فور نشره.

ثانيا: خصائص الترتيب والجمع

👈إذا كانت لدينا متفاوتة، وأضفنا (أو طرحنا) نفس العدد إلى (أو من) طرفي هذه المتفاوتة فإننا سنحصل على متفاوتة من نفس الاتجاه، أي لن يتغير اتجاه رمز المتفاوتة. وبتعبير الرياضيات نكتب:

👈 ومن خلال هذه الخاصية نستنتج خاصية أخرى هي كالآتي:

إذا كانت لدينا متفاوتتان من نفس الاتجاه (لهما نفس اتجاه الرمز)، وقمنا بجمع المتفاوتين طرفا طرفا فإننا سنحصل على متفاوتة من نفس الاتجاه ( نفس اتجاه الرمز). وبتعبير الرياضيات نكتب:

⇚ملاحظات ونتائج:

← نشير هنا إلى أن هاتين الخاصيتين تبقيان صحيحتين إذا عوضنا الرمز ≥ بالرمز>

← الخاصية الثانية تبقى صالحة فقط في حالة الجمع، ولا يمكن استنتاج أي شيء في حالة الطرح.

← تبقى الخاصية الثانية صالحة رغم اختلاف الرمزين شرط أن يكونا في نفس الاتجاه، وللتوضيح أكثر نكتب بلغة الرياضيات:

⇐ متى يتم توظيف هذه الخصائص؟؟

يتم توظيف هذه الخصائص لمقارنة مجموع أو فرق عددين أو لتأطير عدد أو لحل المتراجحات (Les inéquations) (كما سيأتي)، كما توضح هذه الأمثلة:

--------------------------------

---------------------------------------

-----------------------------------------

⇐تطبيق:

من خلال تطبيق الخاصيات السابقة (الترتيب والجمع) بين أن:

ثالثا: خصائص الترتيب والضرب

👈إذا كانت لدينا متفاوتة، وضربنا ( أو قسمنا) طرفي المتفاوتة في ( أو على) نفس العدد الحقيقي الموجب قطعا فإننا سنحصل على متفاوتة من نفس الاتجاه، وبتعبير الرياضيات نكتب:

👈وعلى عكس الخاصية السابقة، فإننا إذا ضربنا (أو قسمنا) طرفي متفاوتة في (أو على) نفس العدد الحقيقي السالب قطعا سنحصل على متفاوتة من اتجاه مضاد، ونعبر عن ذلك رياضياتيا:

👈 نلاحظ أن الرمز يتغير إذا ضربنا كل طرف في عدد سالب، إذن يجب دائما الانتباه إلى هذا الأمر أثناء إنجاز الأنشطة المرتبطة بمقارنة أو ترتيب أعداد أثناء ضربها في أعداد سالبة.

ومن خلال ما سبق نستنتج الخصائص التالية:

👈 إذا كان لدينا متفاوتتان من نفس الاتجاه لأعداد حقيقية موجبة قطعا، وقمنا بضرب المتفاوتتين طرفا طرفا فإننا سنحصل على متفاوتة من نفس الاتجاه، ونكتب بتعبير الرياضيات:

👈 أما إذا كان لدينا متفاوتتان من نفس الاتجاه لأعداد حقيقية سالبة قطعا، وقمنا بضرب المتفاوتتين طرفا طرفا فإننا سنحصل على متفاوتة في الاتجاه المضاد:

👈وفي حالة عدم تحقق شرط نفس الاتجاه أو توجد أعداد مختلطة (موجبة وسالبة) وقمنا بضرب المتفاوتتين طرقا طرفا فإننا لا يمكننا استنتاج أي شيء.

⇐ متى يتم توظيف هذه الخصائص؟؟

يتم توظيف هذه الخصائص لمقارنة جداء عددين أو لتأطير عدد أو لحل المتراجحات (Les inéquations) (كما سيأتي)، وتوضح هذه الأمثلة بعض النماذج من هذه التطبيقات:

------------------------------------------------

-------------------------------------------

⇐تطبيق:

من خلال تطبيق الخصائص السابقة، حاول أن تجد حلا لهذه التمارين. (يمكن معاينة الحلول من خلال هذا الفيديو الذي سنضع رابطه هنا فور نشره)

رابعا: خصائص الترتيب والمقلوب (L’inverse) والمقابل (L’opposé)

👈المقلوب (L’inverse) والمقابل (L’opposé) اسمان مختلفان يدلان على أعداد في الرياضيات،

فمقلوب عدد هو عدد آخر بسطه هو مقام العدد الأول ومقامه هو بسط العدد الأول، أمثلة:

ومقابل عدد هو نفس العدد مع تغيير إشارته، أمثلة:

❋ملاحظات مهمة:

1↤ العدد ومقلوبه عددان مختلفان، فإذا تساوى العدد مع مقلوبه فإن هذا العدد هو 1 أو 1- :

2↤ إذا ضربنا العدد في مقلوبه سنحصل على 1:

3↤ العدد 0 ليس له مقلوب أبدا ( فهو تعبير غير معرف):

4↤ العدد ومقابله أيضا عددان مختلفان، فإذا تساوى العدد مع مقلوبه فإن هذا العدد هو 0:

5↤ إذا أضفنا عددا إلى مقابله سنحصل على 0:

👈الترتيب والمقابل

لمقارنة مقابلي عددين نحتفظ بمقابل كل عدد في مكانه ثم نضع عكس إشارة مقارنة هاذين العددين، وبلغة الرياضيات نكتب: (ص29)

وللبرهنة على هذه الخاصية، يتم الانطلاق من الخاصية رقم 5 السابقة:

👈الترتيب والمقلوب

لمقارنة مقلوبي عددين لهما نفس الإشارة (موجبين معا أو سالبين معا) نحتفظ بمقلوب كل عدد في مكانه ثم نضع أيضا عكس إشارة مقارنة هاذين العددين، وبلغة الرياضيات نكتب:

أما إذا كان لهما إشارة مختلفة (أحدهما موجب والآخر سالب) فإن العدد الموجب يكون دائما أكبر من العدد السالب.

⇐ متى يتم توظيف هذه الخصائص؟؟

يتم توظيفها لمقارنة أو ترتيب أو تأطير مقابلات أو مقلوبات أعداد أو تعابير معينة. أمثلة:

------------------------------

⇐ تطبيق:

بتطبيق لما سبق، قم بإنجاز ما يلي:( سنضع هنا رابط معاينة الحلول فور نشره)

خامسا: خصائص الترتيب والقوى

تعرفنا فيما سبق عن مفهوم القوى في الرياضيات وكل ما يتعلق به من خصائص ومميزات وأنشطة مختلفة، يمكن الرجوع إلى المقال بالنقر على الرابط من هنا.

في هذه الفقرة سنتحدث عن أهم خصائص ترتيب القوى في الرياضيات.

ويمكن تلخيص هذه الخصائص في حالتين أساسيتين: حالة الأعداد الموجبة، وحالة الأعداد السالبة:

في حالة عددين موجبين: يتم ترتيب عددين حقيقيين موجبين (أو أكثر) مرفوعين إلى نفس الأس الصحيح الموجب في نفس ترتيبهما بدون هذا الأس، وبلغة الرياضيات نكتب:

في حالة عددين سالبين: يتم ترتيب عددين حقيقيين سالبين (أو أكثر) مرفوعين إلى نفس الأس الصحيح الموجب في نفس ترتيبهما بدون هذا الأس في حالة إذا كان عددا فرديا، وفي عكس ترتيبهما بدون هذا الأس في حالة إذا كان عددا زوجيا. ونعبر عن ذلك بلغة الرياضيات على الشكل التالي:

✽ ملاحظات:

1↤ الخاصيتان السابقتان تبقيان صالحة فقط في حالة ما إذا كان الأس عدد صحيحا موجبا، أما إذا كان غير ذلك يتم تطبيق خصائص أخرى سنتطرق إليها في فرص أخرى إن شاء الله.

2↤ عند رفع العدد السالب إلى أس زوجي نحصل على عدد موجب، وإذا تم رفعه إلى أس فردي نحصل على عدد سالب، لذا يجب الانتباه أثناء مقارنة عددين مختلفي الإشارة مرفوعين إلى نفس الأس الصحيح الموجب.

3↤ في حالة مقارنة عددين مختلفي الإشارة مرفوعين إلى نفس الأس الصحيح الموجب، إذا كان هذا الأس عددا فرديا فإن العدد الموجب يكون دائما هو الأكبر، وإذا كان زوجيا سنحصل على عددين موجبين ونقارنهما بعد ذلك.

⇐ متى يتم توظيف هذه الخصائص؟؟

يتم توظيفها لمقارنة أو ترتيب أو تأطير أعداد تحتوى على الأس ( أعداد مرفوعة إلى أس معين)، أمثلة:

------------------------------------------

⇐ تطبيق:

بتطبيق لما سبق، قم بإنجاز مايلي:( سنضع هنا رابط معاينة الحلول فور نشره)

سادسا: خصائص الترتيب والجدور المربعة

تحدثنا أيضا في مقال سابق عن الجدر المربع يمكن الانتقال إليه عبر النقر على هذا الرابط للتعرف أكثر على كل ما يخص الجدور في الرياضيات، ولمقارنة الجدور المربعة نطبق هذه الخصائص:

⇐ متى يتم توظيف هذه الخاصية؟؟

نوظف هذه الخاصية لمقارنة تعبيرين يحتوي أحدهما أو كلاهما على الجدر المربع، أمثلة: (41 43 42)

-----------------------------------

------------------------------------

⇐ تطبيق:

بتطبيق لما سبق، قم بإنجاز ما يلي:( سنضع هنا رابط معاينة الحلول فور نشره)

خلاصة

تلكم أهم الخصائص التي من الضروري استحضارها وتطبيقها لإنجاز مختلف العمليات المرتبطة بترتيب أو تأطير أعداد أو تعابير رياضياتية، إذ يمكن تطبيق أكثر من خاصية واحدة لإنجاز تمرين واحد كما سنرى في الفقرة الموالية حول التأطير والعمليات.

التأطير والعمليات

👈 تأطير عدد أو تعبير رياضياتي يعني وضعه بين عددين أو تعبيرين آخرين أحدهما أصغر والأخر أكبر، وللتعبير عن تأطير عدد يتم استعمال الرمز أصغر (<) أو أصغر من أو يساوي (≤)، كما في الأمثلة التالية:

✽ ملاحظة هامة:

أحيانا عند إنجاز تمرين يمكن أن تتوصل في الأخير إلى تأطير بتوظيف الرمز أكبر (<) أو الرمز أكبر من أو يساوي (≤)، لكن يجب إعطاء النتيجة على الشكل السابق موظفا الرمز أصغر (>) أو أصغر من أو يساوي (≥):