تُعتبر مهارتا الترتيب (Ordering) والمقارنة (Comparing) من المهارات الأساسية في كل مجالات الحياة تقريبًا، فهي تساعد على التمييز بين القياسات وتفسير البيانات... وفي علم الرياضيات، تساعد المتعلمين والدارسين على فهم العلاقات بين الأعداد والكميات المختلفة.
👈سنتحدث في هذا المقال عن هاتين المهارتين في الرياضيات، من خلال التركيز على نقطتين:
𝟙⇐ تدرج بناء هذه المهارة لدى المتعلم منذ سنوات الابتدائي إلى غاية نهاية سنوات التعليم الإعدادي المتوسط، باختلاف الأعداد التي المبرمجة في كل مستوى أو في كل مرحلة.
𝟚⇐ التقنيات والطرق المتبعة لمقارنة أو ترتيب أعداد ومقادير كمية القابلة للقياس.
👈 لكن قبل ذلك، سنضع أولا تعريفا للمفهومين وأهم ما يميزهما:
فالمقارنة (La comparaison) في الرياضيات هي عملية تحديد العلاقة بين قيمتين أو أكثر لتوضيح ما إذا كانت هاتين القيمتين متساويتين أو غير متساويتين، والترتيب (Le classement / L'ordre) هو عملية وضع مجموعة من الأعداد أو الكميات في تسلسل منطقي بناءً على نتائج المقارنة، فهو يتطلب تطبيق المقارنة بشكل متكرر على جميع عناصر المجموعة لتحديد مكان كل عنصر بدقة داخل التسلسل، فالمقارنة، إذن، تكون بين شيئين (كميتين أو عددين)، والترتيب يكون بين أكثر من شيئين.
↤ ولمقارنة قيمين نستعمل رموز خاصة، فإذا كانت القيمتان متساويتين نستعمل الرمز يساوي (=)، وإذا كانتا غير ذلك نستعمل الرمز لا يساوي (ǂ)، وفي حالة عدم التساوي نستعمل رموز أخرى لتحديد القيمة الكبرى أو الصغرى هي كالآتي:
◄ الرمز أكبر (< ) للتعبير على أن القيمة الموجودة عن اليسار أكبر من القيمة الموجودة عن اليمين، مثل 4 < 7
◄ الرمز أصغر (>) للتعبير على أن القيمة الموجودة عن اليسار أصغر من القيمة الموجودة عن اليمين، مثل: 10 > 3
↤ وفي المستويات العلوية يتم دمج كل الرمزين السابقين مع التساوي:
◄ للتعبير على أن العبارة الموجودة على اليسار أكبر من أو تساوي القيمة الموجودة عن اليمين، نستعمل الرمز أكبر من أو تساوي (≤)، مثل: x ≥ 3 تعني أن قيمة x يمكن أن تكون أكبر من 3 ، كما يمكن أن تساوي 3
◄ للتعبير على أن العبارة الموجودة على اليسار أصغر من أو تساوي الموجودة عن اليمين، نستعمل الرمز أصغر من أو تساوي (≥)، مثل: x ≤ 5 تعني أن قيمة x يمكن أن تكون أصغر من 5 ، كما يمكن أن تساوي 5
↤ وباعتبار الترتيب يقوم على نتائج المقارنة، كما ذكرنا أعلاه، يمكن استخلاص نوعين من الترتيب:
◄الترتيب التصاعدي، أو الترتيب التزايدي، (Ordre croissant) وهو ترتيب القيم تدريجيا من الأصغر إلى الأكبر، وفي هذه الحالة نستعمل الرمز أصغر (>)، ويتم البدء من اليسار. مثل:
◄ الترتيب التنازلي، أو التناقصي، (Ordre décroissant) وهو عكس الترتيب التصاعدي، أي ترتيب القيم من الأكبر نحو الأصغر، وفي هذه الحالة يتم استعمال الرمز أكبر (<)، ويتم البدء أيضا من اليسار. مثل:
وطبعا، إذا كانت القيم التي نريد ترتيبها متساوية، فلا نحتاج إلى ترتيبها.
✸✸✸✸✸✸
1- تدرج بناء مهارتي المقارنة والترتيب
عندما يرى الطفل في سن مبكرة أشخاصا من محيطه يقومون بتصنيف أشياء وترتيبها (تصنيف الملابس، ترتيب الأواني... تصنيف مختلف الأدوات المنزلية في أماكن خاصة بها وترتيبها حسب أحجامها لتسهيل استعمالها)، تتولد لديه الرغبة في تقليد ما يقوم به الكبار فيقوم بتجميع أشياء وفرزها وتصنيفها من خلال القيام بمقارنة أحجامها أو أشكالها وتحديد المشترك بينها وأوجه الاختلاف ويضعها جنبا إلى جنب.
ويعتبر درس تصنيف الأشياء حسب خاصيات الشكل واللون والحجم والطول أول درس في المستوى الأول ابتدائي، من خلاله يتم تعزيز هذه المهارات بأنشطة متنوعة تهدف إلى جعل المتعلم يربط بين ما يعيشه في محيطه وما يتعلمه داخل الفصل الدراسي، من خلال القيام بتصنيفات منظمة واكتشاف علاقات جديدة، وتوظيف مفردات جديدة للتعبير عن المقارنة أو الترتيب أو التصنيف.
بعد ذلك، ينتقل المتعلم إلى مقارنة المجموعات (مجموعات أشياء) كأساس لبناء العدد من جهة، وأيضا، تنمية مهارة المقارنة من خلال توظيف أداة التواصل حد بحد كإجراء لمقارنة مجموعتين للتأكد من احتوائهما على نفس العناصر أو لمعرفة أيهما تحتوي على عناصر أكثر، أو أقل، وذلك من خلال تقنيات هي:
- الادراك البصري المباشر في حالة ما إذا كان عدد العناصر صغيرا،
- رسم خطوط تربط كل عنصر من كل مجموعة،
- توظيف تقنية تجزيء كل مجموعة إلى أجزاء صغيرة متقادرة، في حالة ما إذا كان عدد عناصر المجموعتين كبيرا.
وفي كل الحالات، الهدف من هذه الأنشطة، إضافة إلى بناء مفهوم العدد من خلال القيام بتعداد عناصر المجموعات، تنمي أيضا القدرة على المقارنة، لأن التمكن من هذه المهارة تساعد المتعلم على مقارنة الأعداد، والأطوال والكتل كما سيأتي...
بعد ذلك، يوظف المتعلم مهاراته في مقارنة وترتيب الأعداد التي تعرف عليها بشكل تدريجي، إلى أن يتمكن من ذلك في نطاق جميع الأعداد الصحيحة المبرمجة بالمستوى الأول (الأعداد من 0 إلى 99)، وذلك من خلال أنشطة نسرد منها:
- مقارنة الأعداد بدون استعمال الرموز،
- التعرف على الرمزين: (=) و (ǂ)كتابة وتعبيرا، وتوظيفها لمقارنة أعداد أو أشياء داخل مجموعات
- التعرف على الرمزين (<) و(>) كتابة وتعبيرا، وتوظيفهما لمقارنة أعداد أو أشياء داخل مجموعات.
- توظيف الأشرطة لمقارنة الأعداد وترتيبها
- توظيف الشريط العددي (المستقيم العددي) لمقارنة الأعداد، أو لتحديد مكان عدد ما، أو لترتيب أعداد
- العد بالوحدة تنازليا أو تصاعديا انطلاقا من عدد معين.
- تحديد عدد أو أعداد تقع بين عددين.
- التعرف على عدد ضمن سلسلة أعداد متتالية
- التعرف على تقنية مقارنة عددين بشكل سريع ومباشر دون اللجوء إلى وسائل مساعدة، وهي البدء أولا بمقارنة العشرات، وهذه التقنية سيتم اعتمادها أيضا لمقارنة الأعداد الكبيرة في المستويات الأخرى (البدء أولا بمقارنة أعلى رتبة).
ثم ينتقل المتعلم إلى توظيف هذه المهارات أيضا في مقارنة الأطوال والكتل من خلال ملاحظته المباشرة للأشياء أو بتوظيف أدوات مساعدة (المسطرة، الخيوط، الميزان، ...) وباستعمال المفردات المناسبة: أطول من، أقصر من، له نفس الطول بالنسبة لمقارنة الأطوال، وأثقل من، أخف من، له نفس ثقل، بالنسبة لمقارنة الكتل.
وبنفس النهج، يقوم المتعلم بمقارنة الأعداد الصحيحة الطبيعية في المستويات الأخرى حسب مجال الأعداد المبرمجة في كل مستوى (يمكن الانتقال إلى مقال حول تدرج دروس الرياضيات في مستويات الابتدائي من هنا)، ثم بعد ذلك يتعرف على التقنيات المعتمدة لمقارنة وترتيب الأعداد العشرية والأعداد الكسرية، وبعد تعرفه على الوحدات المستعملة لقياس مختلف المقادير القابلة للقياس (وحدات قياس الأطول، قياس الكتل، المساحات ...) يلجأ المتعلم إلى توظيف جداول التحويلات، كأداة مساعدة، للقيام بمقارنة أو ترتيب مختلف هذه المقادير. وسنتطرق بالتفصيل إلى التقنيات المعتمدة لمقارنة الأعداد حسب نوعيتها والمقادير حسب أنواعها في الفقرة الموالية.
وفي المستويات الإعدادية، يتعامل المتعلم مع نوع جديد من الأعداد وهو الأعداد السالبة في مقابل الأعداد الموجبة، حيث يتعرف على تقنيات أخرى جديدة لمقارنة هذه الأعداد وترتيبها. وبعد الانتقال من الحساب العددي نحو الحساب الحرفي، ينتقل المتعلم إلى مستوى أعلى من مستويات مهارة المقارنة، فيقوم بمقارنة التعابير الرياضياتية أو البرهنة على صحة مقارنة تعبيرين باعتماد خصائص وتعاريف ومبرهنات خاصة بالمقارنة، بعد ذلك، ينتقل المتعلم إلى التعرف على المتراجحات وطرق التوصل إلى حلولها... كل هذا سنتطرق إليه في الفقرة الموالية.
2- تقنيات المقارنة والترتيب
👈سنخصص هذه الفقرة للتقنيات الأساسية والاعتيادية المستعملة لمقارنة الأعداد والمقادير القابلة للقياس، مع ذكر بعض الأخطاء والمعيقات التي تحول دون اكتساب هاتين المهارتين من طرف المتعلم.
⏪ تقنيات تقريب المفاهيم
أولى هذه التقنيات هو تقريب مفهومي المقارنة والترتيب من خلال أنشطة مختلفة تساعد المتعلم على تنمية مهاراته في المقارنة والترتيب تدريجيا قبل التوظيف اللفظي أو استعمال الرموز مثل القيام بتصنيف أشياء وترتيبها حسب خاصيات معينة، الشيء الذي يساعده على إدراك مفهوم المقارنة من خلال تعامله مع الأحجام والأشكال المختلفة واكتشاف خاصياتها... وقد تطرقنا إلى ذلك في الفقرة السابقة عندما تحدثنا عن تدرج بناء المفهومين عبر المستويات الدراسية.
◂المعيق الذي يمكن ان يشكل مشكلا في إدراك المفهوم هنا هو نقص في المعجم اللغوي أو عدم التمكن من التعبير باللغة أو سوء فهم ما هو مطلوب، لكن ذلك يمكن تداركه بالممارسات المستمرة والمتتالية.
⏪مبادئ في مقارنة الأعداد
تحدثنا عنها في الفقرة السابقة، لذا نجد أنه كلما تعرف المتعلم على فئة محددة من الأعداد يأتي بعده مباشرة درس مقارنة وترتيب الأعداد الخاصة بهذه الفئة، وفي الأخير يتم تعميم المهارة على جميع الأعداد المبرمجة في هذا المستوى (من 0 إلى 99)، وكل ذلك وفق أنشطة مكثفة وباستعمال لأدوات خاصة تحدثنا عن بعضها في الفقرة السابقة.
◂المعيق الذي يمكن أن يشكل مشكلا لدى المتعلم في هذه الحالة هو عدم تمكنه من التمييز بين رمزي المقارنة (<) و(>)، إذ نجد أن أغلبية المتعلمين يملكون مهارة مقارنة عددين لكنهما لا يعرفان الرمز الذي يجب استعماله، ولتجاوز هذا المشكل نقترح بعض الحيل التي يمكن أن تساعد المتعلم على تذكر الرمز المناسب:
↤ تعليق رسم أو صورة على الحائط في مكان ما داخل الحجرة الدراسية، تتضمن الرمزين وما يدل عليه كل واحد منهما، حتى يلجأ إليها المتعلم عند الحاجة إليها.
↤ حيلة التمساح الجائع حيث يتم تمثيل الرمز واعتباره كفم تمساح مفتوح الذي يبحث دائما عن الكمية الأكبر ليأكلها كي يشبع، إذ نلاحظ أن فمه دائما يكون مفتوحا جهة العدد الأكبر.
↤حيلة توظيف النقط، بحيث يقوم المتعلم بوضع نقطتين (واحدة في الأسفل وأخرى في الأعلى) أمام العدد الذي يراه كبيرا، ونقطة واحدة أمام العدد الذي يراه صغيرا، وفي حالة التساوي يضع نقطتين امام كل عدد، ثم يربط بين النقط كما هو موضح في هذا المثال ليحصل على الرمز المناسب:
⏪تقنيات مقارنة وترتيب الأعداد الصحيحة الطبيعية
الأعداد الصحيحة الطبيعة هي الأعداد التي تبدأ من 0 إلى مالانهاية، وقد تم تقسيم هذه الأعداد إلى فئات كل فئة تدرس في مستوى معين، بالنسبة للمستوى الأول تم برمجة الأعداد من 0 إلى 99، وفي المستوى الثاني من 0 إلى 999، وفي المستوى الثالث من 0 إلى 9999، وفي المستوى الرابع من 0 إلى 999999، وفي المستويين الخامس والسادس تم برمجة الأعداد من 0 إلى الملايين والملايير ( يمكن الرجوع إلى درس تدرج للوقوف على ما يميز هذا التدرج من خلال الرابط من هنا). كما يمكن الانتقال إلى مقال سابق حول الأعداد الصحيحة الطبيعية تحدثنا فيه عن كل ما يخص هذه الأعداد وجميع العمليات المرتبطة بها من بينها المقارنة والترتيب، المقال من هنا.
👈ولمقارنة هذه الأعداد كيفما كانت فئة هذه الأعداد، يتم تتبع هذه التقنية:
نقوم بحساب عدد أرقام كل عدد من العددين الذي نريد مقارنتهما:
⇐ فإذا كان عدد الأرقام مختلفا، فإن العدد الأكبر هو الذي يضم أكبر عدد من الأرقام (والعدد الأصغر هو الذي يضم أصغر عدد من الأرقام)
⇐ أما إذا كان عدد الأرقام مساويا في كل عدد، نبدأ بمقارنة الرتبة الأعلى لكل عدد، ثم ننتقل إلى الرتبة الموالية في حالة التساوي وهكذا إلى أن أصل إلى الرتبة التي تضم رقمين مختلفين ونقارنهما...
👈 وبالنسبة الترتيب، نقارن كل عدد مع العدد الأخر بنفس التقنية السابقة. مثال:
◂ ولمعالجة مشكل عدم تمكن المتعلم من استيعاب هذه التقنية، يمكن توظيف جداول العد الخاص بكل فئة من الأعداد المبرمجة حسب كل مستوى، وللمزيد من المعلومات حول الجداول وكيفية استعمالها يمكن الانتقال إلى مقال حول الجداول من هنا،
⏪تقنيات مقارنة وترتيب الأعداد العشرية
الأعداد العشرية هي أعداد مكونة من جزأين، الجزء الصحيح والجزء العشري، وللمزيد من المعلومات حول هذه الأعداد والعمليات عليها يمكن الانتقال إلى مقال سابق حولها من هنا.
👈 ولمقارنة الأعداد العشرية نتبع الخطوات التالية:
نقوم أولا، بمقارنة الجزء الصحيح في كل عدد، بنفس الطريقة التي رأيناها في مقارنة الأعداد الصحيحة الطبيعية.
⇐ فإذا كان هناك اختلاف، فالعدد العشري الأكبر هو الذي جزؤه الصحيح أكبر(والعدد العشري الأصغر هو الذي جزؤه الصحيح أصغر)
⇐ وإذا كان هناك تساو، ننتقل مباشرة إلى مقارنة رقمي الأعشار في كل عدد، وإذا تساويا ننتقل إلى مقارنة رقمي أجزاء المائة، وإذا تساويا ننتقل إلى مقارنة رقمي أجزاء الآلاف وهكذا...
👈وبالنسبة للترتيب، نقارن كل عدد مع العدد الأخر بنفس التقنية.
◂ الأخطاء التي يمكن أن يرتكبها المتعلم أثناء مقارنة الأعداد العشرية، هي:
- يمكن اعتبار العدد الذي يضم أكبر عدد من الأرقام هو العدد الأكبر
- يمكن أيضا الانطلاق من الجزء العشري لمقارنة الأعداد
- عند مقارنة الجزأين الصحيحين لعددين ويجد أنهما متساويين، ينتقل إلى مقارنة الجزء العشري مباشرة.
لذا يجب تنبه المتعلم إلى تقنية القايم بالمقارنة الصحيحة لهذه الأعداد.
ويمكن أيضا الاستعانة بالجدول العددي الخاص بالأعداد العشرية، لمعالجة بعض المعيقات التي تحول دون استيعاب هذه التقنية. وللمزيد من المعلومات حول الجداول وكيفية استعمالها يمكن الانتقال إلى مقال حول الجداول من هنا.
⏪تقنيات مقارنة الأعداد الكسرية
الأعداد الكسرية هي الأعداد التي تكتب على شكل كسر (بسط ومقام)، وللمزيد من المعلومات حول الأعداد الكسرية وسبب كتابتها بهذا الشكل ومختلف العمليات عليها يرجى الانتقال إلى مقال حول هذه الأعداد بالنقر على الرابط من هنا.
👈ولمقارنة الأعداد الكسرية نتبع هذه التقنيات:
1⇐ التقنية الاعتيادية
● مقارنة عددين كسريين لهما نفس المقام ← العدد الكسري الأكبر هو الذي له أكبر بسط
●مقارنة عددين كسريين لهما نفس البسط ← العدد الكسري الأكبر هو الذي له أصغر مقام
●عددين كسريين ليس لهما لا نفس البسط ولا نفس المقام ← نقوم بتوحيد مقاميهما فنحصل على عددين لهما نفس المقام ثم نطبق الحالة الأولى.
2⇐ تقنية مقارنة جداء الوسطين وجداء الطرفين
توجد تقنية خاصة تعمم ما سبق، (يعني يمكن تطبيقها كيفما كان العددين الكسريين)، وهي:
حساب جداء بسط العدد الأول في مقام العدد الثاني بهذا الترتيب ومقارنته مع جداء بسط العدد الثاني في مقام العدد الأول، ونحتفظ بنفس الرمز المتوصل إليه ونضعه بين العددين الكسريين:
هذه التقنية يمكن تطبيقها ذهنيا أثناء مقارنة عددين كسريين دون اللجوء إلى توحيد المقام، لكن ما يجب الانتباه إليه هو الاحتفاظ بنفس ترتيب العددين (العدد الأول والعدد الثاني)
3⇐ تقنية مقارنة كل عدد كسري مع 1
وتوجد تقنية أخرى هي مقارنة كل عدد كسري مع الواحد (1)، لكنها توظف فقط في حالة ما إذا كان أحد العددين أكبر من 1 والآخر أصغر من 1، أما إذا كان كلاهما أكبر أو أصغر من 1 فلا يمكن توظيفها.
متى يكون العدد الكسري أكبر من1 ومتى يكون أصغر من 1؟؟
← إذا كان البسط أكبر من المقام فإن العدد الكسري يكون أكبر من 1، أمثلة:
.png "تقنيات مقارنة الأعداد الكسرية")
← إذا كان البسط أصغر من المقام فإن العدد الكسري يكون أصغر من 1، أمثلة:
عند مقارنة عددين كسرين، أحدهما بسطه أكبر من مقامه (يعني أن العدد الكسري أكبر من 1) والآخر بسطه أصغر من مقامه ( يعني أنه أصغر من 1) فإن العدد الذي بسطه أكبر من مقامه هو الأكبر... مثال:
👈وبالنسبة لترتيب مجموعة من الأعداد الكسرية، نطبق هذه التقنيات حسب نوعية الأعداد المراد ترتيبها:
الحالة الأولى: سلسلة أعداد لها نفس المقام← نطبق عليها التقنية السابقة التي رأيناه في مقارنة عددين لهما نفس المقام. مثال:
الحالة الثانية: سلسلة أعداد لها نفس البسط ← نطبق عليها أيضا التقنية السابقة التي رأيناه مقارنة عددين لهما نفس البسط. مثال:
الحالة الثالثة: سلسلة أعداد ليس لها نفس المقام لكن يمكن توحيد مقاماتها ← نقوم بتوحيد المقامات ثم نقارن البسوط
الحالة الرابعة: سلسلة أعداد ليس لها نفس المقام ويصعب توحيد مقاماتها ← نحول الأعداد الكسرية إلى أعداد عشرية ثم نقوم بترتيبها بتوظيف تقنية ترتيب الأعداد العشرية السابقة.
وتبقى هذه التقنية ( تحويل أعداد كسرية إلى أعداد عشرية) أكثر فعالية للحصول على ترتيب صحيح، وهذه التقنية هي التي يتم توظيفها عند مقارنة أعداد مختلطة (صحيحة وعشرية وكسرية) كما سيأتي.
⏪تقنيات مقارنة وترتيب المقادير القابلة للقياس (الأطوال، المساحات، الكتل، السعات، الحجوم)
تحدثنا في مقال سابق عن مختلف القياسات في الرياضيات، وكيفية التمييز بين بعضها البعض، وأيضا مختلف العمليات التي يمكن إجراؤها عليها، يمكن الانتقال إليه عبر النقر على الرابط من هنا.
ولمقارنة هذه القياسات أو ترتيبها، من الضروري توظيف جداول التحويلات الخاصة بكل نوع حتى لا نقع في الأخطاء، وبعد التمكن من هذه الجداول بشكل جيد، آنذاك يمكن الاستغناء عنها. وللمزيد من المعلومات حول هذه الجداول وأنواعها وطرق استعمالها يمكن الانتقال إلى مقال حولها من خلال النقر على الرابط من هنا.
ولمقارنة قياسات أو ترتيبها من الضروري أيضا تحويل كل القياسات إلى وحدة واحدة (من اختيارنا وغالبا ما نختار الأسهل ربحا للوقت والجهد)، إذ لا يمكن القيام بالمقارنة المباشرة أو الترتيب المباشر في حالة عدم وجود نفس الوحدات.
👈 مثال حول المقارنة
👈 مثال حول الترتيب
وإذا تم توظيف جدول التحويلات بشكل مباشر، سيظهر لنا الترتيب بشكل جيد:
◂ الأخطاء التي يمكن أن يرتكبها المتعلم هنا:
- إما أنه لم يتمكن بعد من استعمال جداول التحويلات.
- أو أنه يقارن القياسات بمقارنة الأعداد بغض النظر عن الوحدات.
⏪تقنيات ترتيب ومقارنة أعداد مختلطة (صحيحة، عشرية، كسرية)
يعتبر ترتيب ومقارنة أعداد مختلطة من بين الأنشطة الشاملة التي تهدف مدى تمكن المتعلم من ضبط مفهوم العدد بأنواعه الثلاثة في المرحلة الابتدائية، لذا نجدها كثيرا في الامتحانات الإشهادية للمستوى السادس ابتدائي، فطريقة التعامل مع أمثلة هذا النشاط هو ما يلي:
👈عند مقارنة عددين مختلفين:
↤ صحيح مع عشري: نحول العدد الصحيح إلى عشري بإضافة الفاصلة والأصفار، ثم نطبق تقنية مقارنة الأعداد العشرية. أمثلة:
↤ صحيح مع كسري: نحول الصحيح إلى عدد كسري، ثم نطبق تقنية مقارنة الأعداد الكسرية. أمثلة:
.png "تقنيات المقارنة")
↤عشري مع كسري: إما أن نحول العدد العشري إلى كسري ثم نطبق تقنية مقارنة الأعداد الكسرية، أو نكتب القيمة المقربة للعدد الكسري على شكل عدد عشري ثم نطبق تقنية مقارنة الأعداد العشرية. مثال:
👈 وعند ترتيب أعداد مختلطة، نحول الأعداد الصحيحة إلى أعداد عشرية، ونحول الأعداد الكسرية إلى القيمة التقريبية لها على شكل عدد عشري، فنحصل على أعداد كلها أعداد عشرية ونطبق عليها تقنية الأعداد العشرية. مثال:
⏪تقنيات مقارنة وترتيب الأعداد النسبية (الموجية والسالبة)
الأعداد النسبية هي الأعداد التي تضم الأعداد الموجبة والأعداد السالبة صحيحة كانت أو عشرية، وقد تحدثنا أيضا عن هذه الأعداد واستعمالاتها في الحياة اليومية وكيفية التعامل معها وإجراء مختلف العمليات عليها، يمكن الرجوع إليها عبر النقر على الرابط من هنا.
👈ولمقارنة الأعداد النسبية نستعمل عدة تقنيات، يمكن تلخيصها عبر الحالات التالية:
الحالة الأولى: مقارنة أعداد موجبة ← توظيف التقنيات التي رأيناه أعلاه، في مقارنة وترتيب الأعداد الصحيحة الطبيعية والأعداد العشرية.
الحالة الثانية: مقارنة عددين أحدهما موجب والأخر سالب ← العدد الموجب يكون دائما أكبر من العدد السالب.
الحالة الثالثة: مقارنة عددين سالبين. ← نقارن مقابليهما الموجبين ثم نضع عكس الإشارة التي وضعناها في مقارنة مقابليهما.
👈ولترتيب مجموعة الأعداد النسبية، نطبق التقنيات السالفة الذكر، فنقوم بترتيب الأعداد الموجبة أولا، ثم ترتيب الأعداد السالبة،
ويبقى تقنية تمثيل الأعداد على المستقيم المدرج وسيلة أخرى جيدة توضح ترتيب الأعداد النسبية:
نحن نعلم أن الأعداد النسبية تضم أعدادا موجبة وأعدادا سالبة وبينهما العدد 0
الأعداد الممثلة على اليمين هي أعداد سالبة وكلما انتقلنا من 0 إلى اليمين تزداد قيمة الأعداد (ننتقل من الأصغر إلى الأكبر)
والأعداد الممثلة على اليسار هي أعداد سالبة وكلما انتقلنا إلى اليسار تتناقص قيمة الأعداد (ننتقل من الأكبر نحو الأصغر)
وبتمثيل الأعداد على المستقيم المدرج يتضح لنا الترتيب بشكل جيد. مثال:
⏪تقنيات مقارنة وترتيب الأعداد الجذرية
العدد الجذري هو كل عدد يمكن كتابته على شكل كسر بسطه عدد نسبي ومقامه عدد نسبي آخر مخالف للصفر، وهذا يعني أن العدد الجذري أيضا يمكن أن يكون موجبا أو سالبا... للمزيد من المعلومات حول الأعداد الجذرية يرجى الانتقال إلى مقال سابق حولها بالنقر على الرابط من هنا.
👈 ولمقارنة الأعداد الجذرية نوظف التقنيات التي رأيناه في مقارنة الأعداد الكسرية، ونظيف إليها تقنيات مقارنة الأعداد الموجبة والسالبة التي رأيناها في الفقرة السابقة وذلك على الشكل التالي:
مقارنة عددين موجبين ← توظيف التقنيات التي رأيناها في مقارنة الأعداد الكسرية
مقارنة عددين أحدهما موجب والآخر سالب ← العدد الموجب يكون دائما أكبر من العدد السالب
مقارنة عددين سالبين، ← نقارن مقابليها ثم نعكس الإشارة.
👈ولترتيب الأعداد الجذرية، نرتب أولا الأعداد الموجبة باتباع التقنيات السالفة الذكر ثم الأعداد السالبة من خلال مقارنة مقابلاتها، وذلك في حالة ما إذا كان نفس البسط أو نفس المقام أو إمكانية توحيد مقاماتها وإلا فيتم كتابتها على شكل اعداد عشرية ثم مقارنتها كما رأينا في فقرة تقنيات مقارنة وترتيب الأعداد الكسرية، كما يمكن أيضا توظيف تقنية المستقيم المدرج التي رأيناها في مقارنة الأعداد النسبية.
⏪الترتيب في نطاق الأعداد الحقيقية
تتطلب هذه الفقرة الحديث عن كل ما يخص الترتيب في المجموعة R من خصائص وتعاريف وتقنيات الترتيب والتأطير وغيرها، ونظرا لطول هذا الموضوع، سنخصص مقالا آخر سنتحدث فيه عن مختلف هذه العمليات في نطاق الأعداد الحقيقية، وسنضع رابطه هنا فور نشره.
✸✸✸✸✸✸
خلاصة
كما تلاحظون توجد إذن تقنيات خاصة بكل نوع من الأعداد بدءا بالأعداد الصحيحة الطبيعية ثم الأعداد العشرية والأعداد الكسرية فالأعداد النسبية وأخيرا الأعداد الجذرية... إلا أنه توجد طريقة عامة مشتركة يمكن تطبيقها لمقارنة عددين على جميع أنواع هذه الأعداد، من خلالها سنتمكن من تحديد العدد الأصغر أو العدد الأكبر بتوظيف لعملية الطرح..
↤ نقوم بحساب فرق العددين، ومن خلال هذا الفرق نستطيع معرفة العدد الأكبر والعدد الأصغر:
المرجو عدم نشر تعليقات غير مناسبة للمحتوى