من المعادلات نحو المتراجحات

 تحدثنا في موضوع سابق عن المعادلات وأنواعها والتقنيات والمراحل المتبعة للوصول إلى حلولها وأيضا تحدثنا عن طرق  صياغة المعادلات وتحويل المسائل والوضعيات من نصوص لغوية إلى رموز وأعداد بصيغة المعادلات (يمكن الرجوع إلى هذا المقال بالنقر على الرابط من هنا)، وفي تدوينة اليوم سنرى نوعا آخر شبيه بالمعادلات هو ما يسمى بـالمتراجحات(les inéquations)، فما هي المتراجحات وما الفرق بينها وبين المعادلات، وما هي المراحل والتقنيات التي نتبعها للوصول إلى حلها؟؟ كل هذا وأكثر،  ستتعرفون عليه بعد قراءتكم لهذا الموضوع... 

وقبل الدخول إلى صلب الموضوع، لابد من معرفة بعض الخصائص الهامة والتي يتم توظيفها لحل المتراجحات والتي تطرقنا إليها في مقال خاص حول موضوع الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية، يمكن أيضا الرجوع إليه من خلال النقر على هذا الرابط.

وأول سؤال نطرحه هنا هو: 

ما هي المتراجحة، وما الفرق بينها وبين المعادلة؟؟

👈اتفقنا فيما سبق على أن المعادلة هي تعبير يتضمن تعبيرين جبريين بينهما علامة التساوي (=)،

 أي أنه عند كتابة معادلة يكون لدينا تعبيرين: تعبير على الطرف الأيسر وآخر على الطرف الأيمن وتكون بينهما علامة يساوي (=)، لأن التعبيرين يجب أن يكونا مساويين لبعضهما البعض: (الجانب الأيسر = الجانب الأيمن)، وحل المعادلة يعني البحث عن قيمة (او قيم) المجهول التي بفعلها يتحقق هذا التساوي. أمثلة: 

👈ولحل المعادلات نتبع طرق ومراحل تحدثنا عنها في المقال  المذكور وللتعرف عليها يمكن الانتقال إليه عبر النقر هنا.

👈الفرق إذن بين المعادلة والمتراجحة من حيث شكلها وطريقة كتابتها هي أن المتراجحة تتضمن هي الأخرى تعبيرين، تعبير عن اليمين وتعبير عن اليسار لكن بينهما رمز من رموز المقارنة التي تعرفنا عليها في الدرس السابق (ترتيب ومقارنة الأعداد)، أمثلة: 

↤ تلاحظون أن المتراجحات تتضمن نفس العناصر التي تتكون منها المعادلات وهي: الحدود، العوامل، المتغيرات، الثوابت 

👈وحل المتراجحات يعني إيجاد قيم العدد المجهول ( المتغير) التي تحقق المتراجحة، وللقيام بذلك نتبع طرق خاصة لكنها غير بعيدة عن طرق حل المعادلات، سوف نراها في الفقرات الموالية.

استعمالات المتراجحات في الحياة وفي العلوم الأخرى

👈حل المتراجحات يساعدنا كثيرا في فهم وحل مجموعة من المسائل في حياتنا اليومية وأيضا في كثير من العلوم الأخرى، فهي تساعدنا:

✻- في الاقتصاد، لتحديد حدود الأسعار والأرباح والخسائر

✻- في الهندسة، لضبط الأبعاد والتصاميم وضمان سلامة المباني.

✻- في المعلوميات، لاستخدام المقارنات في الخوارزميات.

✻- في الفيزياء، للتعبير عن العلاقات بين مختلف العناصر الفزيائية كالقوة والسرعة والطاقة.

✻- في الإدارة، لتحليل البيانات وتقدير الحدود القصوى والدنيا لاتخاذ القرارات.

👈ونقترح عليكم هذه المسألة التي يتطلب حلها توظيف المتراجحة، والهدف منها هو اتخاذ قرار مالي من بين عرضين:

" عرضت قاعة ألعاب رياضية خيارين للاشتراك:

العرض الأول: دفع 50 درهماً كرسوم ثابتة شهرياً زائد 10 دراهم عن كل حصة.

العرض الثاني: دفع 30 درهماً عن كل حصة بدون رسوم ثابتة

. ما هو عدد الحصص الذي يصبح ابتداءً منه العرض الأول أرخص من العرض الثاني؟ "

للوصول إلى حل هذه المسألة، نقوم بتحويل المعطيات إلى متراجحة ونكتبها ثم نقوم بحلها. وهذا ما سنتعرف عليه لاحقا.

 

أنواع المتراجحات:

تحدثنا أيضا، في المقال المشار إليه سابقا، عن أنواع المعادلات وقلنا إن المعادلات تتنوع حسب أعلى درجة المتغير وحسب عدد المجاهيل المضمنة للمعادلة، نفس الأمر يتعلق بالمتراجحات، فهناك:

◄متراجحات خطية وهي المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد أو بمجهولين، وهي التي تكون فيها أعلى قوة للمتغير دائمًا هو 1، أمثلة: 

◄متراجحات تربيعية وهي المتراجحات من الدرجة الثانية بمجهول واحد، وهي التي يكون فيها المجهول مرفوعا إلى الأس 2، أمثلة: 

طريقة حل هذا النوع من المتراجحات يتطلب تقنيات خاصة، سنتطرق إليها في موضوع آخر إن شاء الله وسنضع رابطه هنا فور نشره، كما أنه توجد أنواع أخرى من المتراجحات سنتطرق إليها لاحقا. وسنكتفي في هذا المقال بالمتراجحات الخطية وطريقة حلها وتمثيل حلولها. (وضعنا في نهاية المقال مثالا واحدا للاستئناس وأخذ الفكرة حول طريقة التعامل مع نوع خاص من المتراجحات التربيعية)

 تقنيات حل المتراجحات

👈 أشرنا إلى أن حل المتراجحات يعني البحث بطرق معينة وممنهجة عن الأعداد أو القيم التي تحقق المتراجحة. مثال: 

↤ وهنا سنطرح هذا السؤال: هل 3 فقط هو الحل الوحيد لهذه المتراجحة؟؟ وكيف سنتوصل إلى حلول أخرى؟؟

👈حل المتراجحة يعني أن نقوم بعزل المجهول وحيدا، ونكتبه على شكل: x<a  أو x≤a أو x>a أو x≥a حيث a عدد حقيقي معلوم.  فكيف نقوم بذلك؟؟ 

👈 نقوم باتباع نفس المراحل التي رأيناها في درس المعادلات وهي كالآتي: (للمزيد من التفاصيل يمكن الرجوع إلى المقال بالنقر هنا)

المرحلة الأولى: عزل الحدود التي تضم المجاهيل في جانب والحدود التي تضم الأعداد المعلومة (الثوابت) في جانب آخر، وذلك من خلال تطبيق الخاصية رقم 2 التي رأيناها في الدرس السابق حول الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية ( يمكن الرجوع إليه من هنا) وهي: 

↤لنأخذ المتراجحة السابقة: 2x+1≤8 

👈هذه المتراجحة تتكون من ثلاث حدود: حدان يضمان الثوابت وحد واحد يضم المجهول ( وستأتي أمثلة أخرى لمتراجحات تضم أكثر من ثلاث حدود)  

👈 نقوم بعزل الحدين اللذين يضمان الثوابت في جهة واحدة، بتطبيق الخاصية رقم 2  السابقة دون أن يتغير رمز المقارنة: 

المرحلة الثانية: التخلص من المعامل المرافق للمجهول، وذلك بضرب كل طرف من طرفي المتراجحة في مقلوبه وذلك بتطبيق إحدى الخاصيتين رقم  4 أو 5 التي رأيناهما في درس الترتيب وهما: 

ملاحظة هامة: عند ضرب متفاوتة في عدد سالب فإن رمز المقارنة يتغير ( > يصبح < ، و<  يصبح > )، وهذا هو الفرق الوحيد الموجود بين طريقة حل المعادلات وطريقة حل المتراجحات. 

↤ لنرجع إلى المتراجحة التي كنا بصددها، وقد توصلنا إلى أن:  2x ≤ 7

👈المعامل المرافق للمجهول في هذه المتراجحة هو 2، إذن نضرب كل طرف المتراجحة في مقلوبه الذي هو 1/2 دون أن يتغير رمز المقارنة لأنه عدد موجب 

👈وأخيرا قمنا بعزل المجهول وتوصلنا إلى أن:  x≤7/2

👈وهذا يعني أن جميع الأعداد التي هي أصغر من 7/2 ( يعني  أصغر من 3,5) هي حل لهذه المتراجحة، ومن بينها العدد 3 الذي قمنا بتجربته في المتراجحة سابقا.

المرحلة الثالثة: مرحلة التأكد من صحة الحل، هنا نقوم باختيار عدد ضمن مجال الأعداد الذي هو حل للمتراجحة، ونرى هل فعلا يحقق المتراجحة أم لا، (يمكن تجربة أكثر من عدد). في المثال السابق توصلنا إلى أن حلول المتراجحة هي جميع الأعداد التي هي أصغر من 3,5، نأخذ مثلا العدد 0 ونعوض  به المجهول x، لنرى هل المتفاوتة ستكون صحيحة أم لا:

تمثيل حلول المتراجحة:

👈رأينا في درس المعادلات، أن المعادلات يمكن أن تقبل حلا وحيدا أو تقبل حلين أو لا تقبل أي حل أو أنها تقبل جميع الأعداد حلولا لها، يمكن الرجوع إلى الدرس للمزيد من المعلومات. 

👈 فالمتراجحات أيضا يمكن أن تقبل جميع الأعداد حلولا لها أو لا تقبل أي حل، لكن الفرق بين حلولها وبين حلول المعادلات أن حلولها تكون على شكل مجال أعداد عكس المعادلات التي حلولها تكون على شكل أعداد محددة.

👈 ففي المثال السابق توصلنا إلى أن حل المتراجحة 2x+1≤8 هي جميع الأعداد التي هي أصغر من أو تساوي 3,5، وهذه الأعداد كثيرة جدا ولا نهاية لها منها 3 و 2 و 1 و 0 و 1- و 2- و... وأيضا الأعداد العشرية والجذرية وغير الجذرية الأصغر من 3,5، لذا لا يمكن تعيين عدد واحد مثلا كما هو الشأن في المعادلات.

👈لذلك، نلجأ أحيانا إلى  تمثيل حلول المتراجحات على مستقيم مدرج، أي أننا نحدد عليه جميع الأعداد التي تحقق المتراجحة، فكيف نقوم بذلك؟؟

↤لنأخذ المثال السابق، توصلنا إلى أن حل المتراجحة هي الأعداد:   x≤7/2

👈 نقوم برسم مستقيم مدرج ونحدد عليه تدريجات وبعض الأعداد الأساسية وهي الصفر و1 و2 و 3 و 1- و 2- و 3- ...، ثم نضع الرمز ∞+ في الطرف على اليمين  والرمز ∞- على اليسار واللذان يدلان على  المالانهاية  على الطرفين:

👈 نحدد العدد الذي توصلنا إليه عند حل المتراجحة على المستقيم المدرج، في المثال السابق توصلنا إلى العدد  7/2 ( الذي يساوي 3,5) 

👈 نحدد الأعداد التي تحقق المتراجحة على المستقيم المدرج بتلوينها أو زركشتها، توصلنا في المثال السابق إلى الأعداد التي هي أصغر من أو تساوي 3,5، وهي جميع الأعداد التي يوضحها الجزء المزركش على المستقيم العددي: 

بعد ذلك نطرح السؤال، هل العدد المتوصل إليه سيدخل ضمن هذه الأعداد المحددة؟؟ إذا كان لدينا الرمز ( ≤ أو ≥ ) فإن هذا العدد يصنف ضمن بقية الأعداد، وإذا كان لدينا الرمز أكبر قطعا (<) أو أصغر قطعا (>)، فإن هذا العدد منفصل عن بقية الأعداد المحددة. في مثالنا السابق توصلنا إلى أن x≤7/2 يعني أن العدد 7/2 يوجد هو أيضا ضمن الأعداد المحددة فنقوم بإدخاله على الشكل التالي: 

↤وستأتي أمثلة أخرى نوضح فيها كيفية التعامل مع العدد الذي لا يدخل ضمن الأعداد المحددة.

أمثلة أخرى حول المتراجحات

نقترح عليكم الأمثلة الموالية من المتراجحات للتمكن أكثر من تقنيات الحل وأخذ فكرة حول طريقة التعامل مع مختلف أنماط المتراجحات، وستلاحظون أننا قمنا بتطبيق المراحل السابقة (وتوجد مراحل أخرى بالنسبة للمتراجحات التي تتوفر على كسور). هذه المراحل يمكن اعتيادها واختصارها مستقبلا مع مرور الوقت وتكثيف إنجاز التمارين المتعلقة بالمتراجحات.  

المثال الأول: في هذا المثال توجد أكثر أربعة حدود: حدان بهما أعداد معلومة (الثوابت) وحدان يوجد بهما المجهول x. لحل أمثال هذه المتراجحة نتبع المراحل التالية: 

المثال الثاني: الجديد في هذا المثال هو وجود الكسر، فكيف نقوم بحل أمثال هذه المتراجحة؟ 

المثال الثالث: في هذا المثال سنرى إحدى التقنيات لحل المتراجحات من الدرجة الثانية، طبعا هذا النوع غير مبرمج في مستويات التعليم الإعدادي لكن فقط لأخذ فكرة عنها، ما دمنا تحدثنا عن المعادلات من الدرجة الثانية التي يؤول حلها إلى معادلة من الدرجة  الأولى والمعروفة بمعادلة الجداء المنعدم ( يمكن الانتقال إلى درس المعادلات للتعرف أكثر على طريقة حل هذه المعادلات)، ما دمنا تحدثنا عن هذا النوع من المعادلات فلا بأس أن نقوم  بربطها مع المتراجحات من الدرجة الثانية على أساس أننا سنخصص مقالا آخر مستقبلا نتحدث فيه عن  مختلف المتراجحات الأخرى وطرق حلها، وسنضع رابطه هنا فور نشره.

↤أولا هل فعلا هذه متراجحة من الدرجة الثانية؟

👈نعم، لأننا إذا قمنا بنشر سنحصل على أن المجهول مرفوع إلى القوة 2:

↤ فكيف نقوم بحل مثل هذا النوع من المتراجحات؟؟

تذكير: لو عدنا بكم إلى درس المعادلات، ستلاحظون أن هذا النوع من المعادلات، هو المعادلة من الدرجة الثانية التي يمكن تأويلها إلى معادلة من الدرجة الأولى ( تطبيقا لمبدأ معادلة الجداء المنعدم) وذلك على الشكل الموالي فنكتشف أن للمعادلة حلين:  

👈ولحل المتراجحة من هذا النوع نقوم بدراسة إشارة كل عامل من عامليها: 

ملاحظة:  دراسة الإشارة يعني تحديد متى يمكن أن يكون موجبا ومتى يمكن أن يكون سالبا.

👈نقوم أولا بدراسة إشارة التعبير A.

← يكون التعبير A موجبا في الحالة التالية: 

← يكون التعبير A سالبا في الحالة التالية: 

← فنحصل إذن على جدول الإشارة التالي الخاص بالتعبير A

👈وبالنسبة للتعبير B:

← يكون التعبير B موجبا في الحالة التالية: 

← يكون التعبير B سالبا في الحالة التالية: 

← فنحصل إذن على جدول الإشارة التالي الخاص بالتعبير B 

👈 الآن نقوم بدمج الجدولين السابقين في جدول واحد، فنحصل على ما يلي: 

👈 لنعود الآن إلى المتراجحة، المطلوب منا هو تحديد متى يمكن أن يكون جداء التعبيرين A×B أكبر من أو يساوي 0.

← نرجع مرة أخرى إلى الجدول، ونبحث عن هذا الأمر (متى يمكن أن يكون جداء التعبيرين A×B أكبر من أو يساوي 0) 

← ومن خلال الجدول أعلاه نستنتج إشارة الجداء A×B: 

👈وللتأكد من أن الحل صحيح، نختار عددا محصور بين 1/2- و3/4، مثلا العدد 0 ونعوض به المجهول لنرى هل سنحصل على متفاوتة صحيحة أم لا. 

👈ولتمثيل حلول المتراجحة على المستقيم المدرج نقوم بنفس الطريقة السابقة:

كتابة المتراجحة

👈نقصد بكتابة المتراجحة (أو كتابة معادلة) تحويل نص مسألة من أسلوبه اللغوي إلى لغة الرياضيات المبني على الأعداد والرموز، وقد تطرقنا إلى هذه الطريقة في درس المعادلات، وبالأخص في مقال حول موضوع الانتقال من الحساب العددي نحو الحساب الحرفي، تطرقنا فيه إلى مجموعة من التعاريف والخصائص التي تميز الحساب الحرفي وأيضا دواعي الانتقال إلى الحساب الحرفي، كما رأينا في نفس المقال مراحل صياغة التعبير الحرفي، أي تحويل نص مسألة بصيغته اللغوية إلى تعبير بصيغة الرياضيات، 

لذا للتعرف على مراحل كتابة المعادلة (أو كتابة متراجحة)، يمكن الرجوع إلى هذا المقال بالنقر هنا (الفقرة الخامسة)، فلا داعي لإعادة ذكرها مرة أخرى هنا. 

👈وسنرى هنا مثالين  لتطبيقات هذه المراحل سنحاول خلالها حل مسائل بطرق بسيطة حتى يتمكن الجميع من فهمها واستيعابها.

المثال الأول: 

نأخذ المسألة التي رأيناها في الفقرة أعلاه (تطبيقات المتراجحات في الحياة وفي العلوم الأخرى)

المسألة تقول:

"عرضت قاعة ألعاب الرياضة خيارين للاشتراك:

العرض الأول: دفع 50 درهماً كرسوم ثابتة شهرياً إضافة إلى  10 دراهم عن كل حصة.

العرض الثاني: دفع 30 درهماً عن كل حصة بدون رسوم ثابتة.

. ما هو عدد الحصص الذي يصبح ابتداءً منه العرض الأول أرخص من العرض الثاني؟"

بعد قراءتنا للمسألة بشكل جيد وفهم مضمونها ومعطياتها وما طلب منا، ننتقل إلى خطوات الحل: 

المثال الثاني:

كثيرا ما يلجأ المتعلمون إلى معرفة النقطة التي يجب أن يحصل عليها في الفرض الثالث للحصول على معدل ما في المادة، إذا قمت بذلك فيما سبق فأنت قد قمت بحل متراجحة في الرياضيات، كيف ذلك؟؟ لنأخذ هذه المسألة:

"حصل متعلم  في اختبارين للرياضيات على النقطتين  12 و 15 على 20. ما هي النقطة التي يجب أن يحصل عليها في الاختبار الثالث ليكون معدله العام  في المادة لا يقل عن 14؟"

المطلوب منا في هذه المسألة هو تحديد أكبر نقطة ممكنة يمكن الحصول عليها في الفرض الثالث كي يفوق المعدل العام 14 على 20 في مادة الرياضيات، وتوضح الصور التالية طريقة حل هذه المسألة:

خلاصة:

تلك أهم ما يمكن ذكره بخصوص المتراجحات في الرياضيات، نتمنى أن نكون قد قمنا بتوصيل فكرة التعامل معها خاصة تلك المبرمجة في المرحلة الإعدادية، ونتمنى أن تكونوا قد استوعبتم هذه الفكرة،  ولا تنسوا أن تقوموا بنشر الموضوع إذا استفدتم منه.

تمارين تطبيقية

نقترح عليكم هنا بعض التمارين التطبيقية حول المتراجحات، حاولوا إنجازها، وإذا واجهتكم مشاكل في الفهم أو في تقنيات الحل، يمكن طلب ذلك من خلال تعليقاتكم هنا أو عبر وسائل التواصل الاجتماعية الأخرى.