قبل الحديث عن المعادلة المختصرة لمستقيم، من الضروري أخذ فكرة عامة حول الإحداثيات في المستوى (Les coordonnées) وقد تطرقنا إليه في درس سابق ، وأشرنا فيه إلى أنواع الاحداثيات وما يميزها وكيفية توظيف الأحداثيات في إنجاز أنشطة مختلفة مرتبطة بها في الرياضيات...
للمزيد حول هذا الموضوع يرجى الانتقال إلى الدرس من خلال النقر على الرابط من هنا.
في درس اليوم، سنتحدث عن المعادلة المختصرة للمستقيم: تعريفها، طريقة تحديدها وتمثيلها على المعلم ومختلف التقنيات والمهارات التي ستساهم لا محالة في بناء المفهوم الرياضياتي المرتبط بمعادلة المستقيم، وذلك وفق العناوين الأساسية التالية (يمكن النقر على العنوان للانتقال مباشرة إلى الفقرة):
❇❇ المقصود بالمعادلة المختصرة للمستقيم ومكوناتها ( المعامل الموجه + الأرتوب عند الاصل)
❇❇ التقنيات والمهارات المرتبطة بمعادلة مستقيم :
↩ التقنية الأولى: تحديد المعادلة المختصرة لمستقيم انطلاقا من وضعيات مختلفة (5 وضعيات)
↩ التقنية الثانية: التأكد من انتماء نقطة إلى مستقيم من خلال معادلته المختصرة
↩ التقنية الثالثة: تمثيل مستقيم انطلاقا من معادلته المختصرة
↩ التقنية الرابعة: تحديد نقطة تقاطع مستقيمين من خلال معادلتيهما المختصرة
↩ التقنية الخامسة: التحقق من توازي أو تعامد مستقيمين انطلاقا من معادلتيهما المختصرة
ما المقصود بمعادلة مستقيم ومماذا تتكون؟؟
👈 كما تعرفون فلكل نقطة في المستوى إحداثيات خاصة بها أي موقعها في المستوى ويكون ذلك من خلال تحديد أفصولها (l’abscisse) وأرتوبها (l’ordonnée) المرتبط بها:
↤ النقطة A أفصولها 4 وأرتوبها 3، نكتب A(4 ; 3 )
↤ النقطة B أفصولها 2- وأرتوبها 2، نكتب B(-2 ; 2)
↤ النقطة C أفصولها 3,5 وأرتوبها 2- ، نكتب C( 3,5 ; -2)
👈 ونحن نعرف أن المستقيم هو مجموعة من النقط المستقيمية
فالمستقيم إذن له أيضا مكانة وموقع داخل المَعْلَم (le repère)، وهذه المكانة أو الموقع نعبر به هنا بالمعادلة المختصرة للمستقيم.
👈 فلنفترض هذه المجموعات من النقط:
المجموعة الأولى:
.png "معادلة مستقيم"){kind=small}
← نلاحظ ان كل هذه النقط لها نفس الأفصول الذي هو 5 وتختلف في الأرتوب،
نقوم بتمثيل هذه النقط على معلم متعامد ممنظم (un repère orthonormé)
.png "معادلة مستقيم")
← نلاحظ أن كل هذه النقط تقع على نفس الاستقامة يعني أنها تتواجد على نفس المستقيم:
.png "معادلة مستقيم")
هذا المستقيم يوازي محور الأراتيب Axe des ordonnées (OY) ويمر من الأفصول 5، وكل النقط التي تتواجد عليه ( أو تنتمي إليه) لها نفس الأفصول الذي هو 5
← لذا معادلته المختصرة تكتب على شكل : x = 5
↩ ومن هنا نستنتج أن كل مستقيم يوازي محو الأراتيب(Axe des ordonnées) تكون معادلته المختصرة على شكل: x=a حيث a هو الأفصول الذي يمر منه هذا المستقيم، وفي حالتنا السابقة : x = 5.
المجموعة الثانية
.png "معادلة مستقيم")
← نلاحظ أن كل هذه النقط لها نفس الأرتوب هو 3 وتختلف في الأفصول،
نقوم بتمثيل هذه النقط في معلم متعامد ممنظم
.png "équation d'une droite")
← نلاحظ أيضا أن كل هذه النقط تقع على استقامة واحدة أي أنها تنتمي إلى نفس المستقيم:
.png "l'équation d'une droite")
هذا المستقيم يوازي محور الأفاصيل (OX) Axe des abscisses ويمر من الأرتوب 3، وكل النقط التي تنتمي إليه لها نفس الأرتوب الذي هو 3
← لذا تكتب معادلته المختصرة على شكل: y = 3
↩ ومن هنا نستنتج أيضا أن كل مستقيم يوازي محور الأفاصيل Axe des abscisses تكون معادلته المختصرة على شكل : y = a حيث a هو الأرتوب الذي يمر منه هذا المستقيم ، وفي حالتنا السابقة y = 3.
استنتاجات أخرى:
⇦ نستنتج أيضا مما سبق ما يلي:
◈ بما أن محور الأفاصيل Axe des abscisses (OX) يمر عبر النقطة O(0 ;0) فإن معادلته المختصرة هي : x = 0، لأن جميع النقط التي تقع على هذا المستقيم لها أفصول 0 ويختلف أرتوبها من نقطة إلى أخرى.
◈ وبما أن محور الأراتيب (OY) Axe des ordonnées يمر أيضا عبر النقطة O(0 ;0) فإن معادلته المختصرة هو الآخر هي : y = 0 ، لأن جميع النقط الني تقع على هذا المستقيم لها نفس الأرتوب 0 وتختلف أفاصيلها من نقطة على أخرى.
المجموعة الثالثة:
.png "معادلة مستقيم"){kind=small}
← نلاحظ أن هذه النقط تختلف من حيث أفاصيلها وأراتيبها،
سنقوم بتمثيلها في معلم متعامد ممنظم.
.png "luh$g, lsjrdl")
← نلاحظ أيضا أن هذه النقط تنتمي إلى نفس المستقيم
هذا المستقيم مائل، لا يوازي محور الأراتيب ولا يوازي محور الأفاصيل
.png "l'équation d'une droite")
نختار نقطتين من هذه النقط، ونقوم بحساب النسبة التالية: فرق الأرتوبين مقسوم على فرق الأفصولين،
◂نختار مثلا النقطتين L و M:
.png)
◂ نختار النقطتين M و N :
.png)
◂ نختار النقطتين P و L :
.png)
← نلاحظ أن هذه النسبة تبقى ثابتة تساوي 3 رغم اختلاف النقط المختارة
يمكنك تجربتها بالنسبة للنقط الأخرى، ستجد دائما أن هذه النسبة ثابتة وتساوي 3.
👈 هذه النسبة هي الأساس في المعادلة المختصرة للمستقيم، تسمى المعامل الموجه للمستقيم (Le coefficient directeur) وتسمى أيضا ميل المستقيم (La pente ) ونرمز لها كثيرا بالحرف m.
دور هذا المعامل الموجه، هو الذي يتحكم في درجة ميلان المستقيم، ويُستخدم لتحديد اتجاه انحدار المستقيم؛ أي معرفة ما إذا كان المستقيم يصعد أم ينزل، وكذلك قياس قوة الميل (ما إذا كان شديد الانحدار أم خفيف الانحدار).
◂ فإذا كان الميل عددا موجبا فإن المستقيم يصعد من اليسار نحو اليمين
◂ وإذا كان سالبا فإن المستقيم ينزل من اليسار نحو اليمين
◂ وإذا كان منعدما (يساوي 0) فإن المستقيم يكون أفقيا
ويمكن الانتقال إلى هذا الموقع الخاص ببرنامج جيوجبرا لمعاينة أوضاع المستقيم عند تغيير معامله الموجه:
👈 ويبقى السؤال المطروح: هل لكل مستقيم ميله الخاص به أم توجد مستقيمات لها نفس الميل ؟؟
الجواب هو أنه يمكن لعدة مستقيمات أن تكون لها نفس المعامل الموجه (أو نفس الميل).
(فإذا كان لها نفس الميل تكون هذه المستقيمات متوازية كما سنرى في الفقرات الموالية)
👈 فما الذي يختلف إذن في هذه المستقيمات إذا كان لهما نفس الميل؟؟
يوجد عنصر آخر لا يقل أهمية في المعادلة المختصرة للمستقيم هو ما يسمى بالأرتوب عند الأصل (L'ordonnée à l'origine) وهو الأرتوب الذي يقطع فيه المستقيم محور الأراتيب (OY)،
هذا العنصر أيضا كثيرا ما نرمز له بالحرف p
وفي حالتنا السابقة، الأرتوب عند الأصل يساوي : p = 2
.png "معادلة مستقيم")
👈 دور هذا العنصر هو أنه يحدد موضع المستقيم داخل المعلم ( أو المستوى)، يمكن معاينة ذلك من خلال تغيير قيمته في النموذج التالي:
-----------------------👇 استنتاجات وإضافات👇 ---------------------
◈ من خلال ما سبق توصلنا إلى أن لكل مستقيم معادلة تسمى المعادلة المختصرة،
◈ هذه المعادلة ترتبط بعنصرين أساسيين هما:
↤ المعامل الموجه m، ( أو الميل) الذي يحدد درجة ميلان المستقيم
↤ الأرتوب عند الأصل p، الذي يحدد موضع المستقيم داخل المعلم
↩ وانطلاقا من هذين العنصرين نكتب معادلة المستقيم على الشكل التالي: y = mx + p،
حالة خاصة أولى : إذا كان p = 0 (الارتوب عند الأصل يساوي 0)،
↤ في هذه الحالة نحصل على مستقيم مائل ويمر من أصل المَعلم (Origine du repère) ودرجة ميلانه حسب معاملة الموجه.
.png "معادلة مستقيم")
حالة خاصة ثانية: إذا كان m=0 ( المعامل الموجه يساوي 0)،
↤ في هذه الحالة تكون معادلة المستقيم على شكل y = b وتدل على أن المستقيم أفقي ويوازي محور الأفاصيل (OX).
.png "معادلة مستقيم")
حالة خاصة ثالثة: إذا كان m = 0 و p = 0 ،
↤ في هذه الحالة سنحصل على المعادلة y = 0 وهي معادلة محور الأراتيب (OY)، كما يدل عليه المستقيم الأسود في الشكل أعلاه.
حالة خاصة رابعة:
كما نلاحظ في التمثيلات السابقة:
- إما أن يكون المستقيم مائلا على الشكل (/) ← في حالة إذا كان المعامل الموجه موجبا ( 0 < a)
- إما أن يكون المستقيم مائلا على الشكل (\) ← في حالة إذا كان المعامل الموجه سالبا ( 0 > a)
- إما أن يكون المستقيم أفقيا (ـــــ) ← في حالة إذا كان المعامل الموجه منعدما ( 0 = a)
⇐ فأين إذن المعامل الموجه إذا كان المستقيم عموديا (|) ويوازي محور الأراتيب؟؟
في هذه الحالة يكون المعامل الموجه غير محدد وتكون المعادلة المختصرة لهذا المستقيم هي: x = a ، حيث a نقطة تقاطع المستقيم مع محور الأفاصيل. وتكون معادلة محور الأراتيب هي: x = 0 ، وقد تطرقنا إلى ذلك في بداية الفقرة.
.png "معادلة مستقيم")
ويمكن أيضا الانتقال إلى هذا الرابط لاخذ فكرة أحسن حول الأوضاع المختلفة للمستقيم حسب معادلته المختصرة.
التقنيات والمهارات المرتبطة بمعادلة المستقيم
بعدما تعرفنا على المعادلة المختصرة للمستقيم وعنصرها ، سننتقل الآن إلى التعرف على مختلف المهارات والتقنيات التي نعتمدها للبحث عن كل ما له علاقة بمعادلة مستقيم
✽✽ تقنية تحديد المعادلة المختصرة لمستقيم ✽✽
كثيرا ما يطلب منا تحديد معادلة مستقيم بشكل مباشر انطلاقا من معطيات معينة، أو بشكل غير مباشر كي يتم توظيفها لإثبات أشياء أخرى لها علاقة بالمعادلة المختصرة للمستقيم، مثلا، كإثبات توازي أو تعامد مستقيمين كما سنرى.
ومن بين المعطيات التي ننطلق منها لكتابة معادلة مستقيم:
① انطلاقا من التمثيل المبياني للمستقيم في معلم متعامد ممنظم
👈 إذا طلب منا تحديد معادلة مستقيم انطلاقا من تمثيله المبياني في معلم متعامد ممنظم نقوم بما يلي:
◈ في حالة إذا كان المستقيم عموديا ( | ) ويوازي محو الأراتيب (OY)
في هذه الحالة فإن معادلته هي : x = a ، حيث a نقطة تقاطع المستقيم مع محور الأفاصيل. 👇
◈ في حالة إذا كان المستقيم أفقيا (ــــ) ويوازي محور الأفاصيل (OX)،
في هذه الحالة أيضا تكون معادلته هي: y = a حيث a نقطة تقاطع المستقيم مع محور الأراتيب. 👇
◈ في حالة إذا كان المستقيم مائلا:
في هذه الحالة يتم تحديد m المعامل الموجه أو الميل (le coefficient directeur/ ou la pente ) وأيضا p الأرتوب عند الأصل (l’ordonnée à l’origine)
⇐ بالنسبة للأرتوب عند الأصل فهو نقطة تقاطع المستقيم مع محور الأراتيب.
⇐ وبالنسبة للمعامل الموجه، نحدد أولا إن كان موجبا أو ساليا حسب جهة ميلان المستقيم :
- على الشكل / يعني أن الميل موجب
- على الشكل \ يعني أن الميل سالب
ثم نبحث عن أقرب نقط تقاطع المستقيم مع رؤوس الشبكة التربيعية وأقوم بقسمة عدد التربيعات العمودية على عدد التربيعات الأفقية،
وسيتضح ذلك أكثر من خلال الأمثلة الموالية :
مثال 1
.png "معادلة مستقيم")
مثال 2
.png "معادلة مستقيم")
② انطلاقا من نقطتين ذات إحداثيات معلومة
👈 إذا طلب منا تحديد معادلة مستقيم انطلاقا من نقطتين، نتبع ما يلي:
◈ في حالة ما إذا كان للنقطتين نفس الأرتوب،
فهذا يعني أن هاتين النقطتين تنتميان إلى مستقيم يمر عبر هذا الأرتوب ويوازي محور الأفاصيل (OX) ،
وبالتالي فإن معادلته هي y = a حيث a هو هذا الأرتوب.
← وللتوضيح أكثر نقترح هذه الأمثلة:
مثال1 ( باللغة العربية):
اكتب المعادلة المختصرة لمستقيم (D) الذي يمر عبر النقطتين A(3 ;5) و B(1 ;5).
-----------------------------------
الحل:
نلاحظ أن للنقطتين A و B نفس الأرتوب الذي هو 5
إذن المعادلة المختصرة للمستقيم (D) هي: y = 5.
مثال 2 (باللغة الفرنسية):
Déterminer l’équation de la droite qui passe par les points A(-3 ;2) et B(1 ;2).
----------------------------------
Solution :
On remarque que les points A et B ont la même ordonnée égale à 2
Alors l’équation réduite de la droite (AB) est : y = 2
◈ في حالة ما إذا كان للنقطتين نفس الأفصول،
فهذا يعني أن هاتين النقطتين تنتميان إلى مستقيم يمر عبر هذا الأفصول ويوازي محور الأراتيب (OY)
وبالتالي فإن معادلته هي x = a حيث a هو هذا الأفصول.
← نقترح هذه الأمثلة:
مثال 1 (باللغة العربية):
ما هي المعادلة المختصرة للمستقيم الذي يمر عبر النقطتين C(4 ;5) و D(4 ;-3) ؟
------------------------------------
الحل:
نلاحظ أن للنقطتين C و D نفس الأفصول الذي هو 4
إذن المعادلة المختصرة لهذا المستقيم هي x = 4
مثال 2 ( باللغة الفرنسية):
Déterminer l’équation de la droite qui passe par les points C(7 ;-5) et D(7 ;1).
----------------------------------
Solution:
On remarque que les points A et B ont la même abscisse qui est égale à 7
Alors l’équation réduite de la droite (CD) est : x = 7
◈ في حالة اختلاف الأفصولين والأرتوبين،
👈 نقوم بما يلي:
↤ نكتب معادلة المستقيم على شكل: y = mx + b
↤ نحدد أولا (m) المعامل الموجه باتباع الطريقة التالية:
.png "معادلة مستقيم")
↤ ثم نعوض x و y بقيمتهما من إحدى النقطتين
↤ ثم نحل المعادلة كي نحصل على قيمة p (الأرتوب عند الأصل)
↤ وأخيرا نقوم بإعادة كتابة المعادلة بتعويض كل من m و p بقيمتيهما.
والأمثلة الموالية توضح أكثر هذه المراحل:
مثال 1 (باللغة العربية):
حدد معادلة المستقيم المار من النقطتين E(3 ;2) و F(2 ;4).
-----------------------------------
الحل:
بما أن للنقطتين أفصولان وأرتوبان مختلفان، فإن معادلة هذا المستقيم ستكتب على شكل : y = mx + p
نحدد m ( المعامل الموجه أو الميل):
.png "معادلة مستقيم")
نقوم الآن بتحديد العدد p (الأرتوب عند الأصل)
[نختار إحدى النقطتين E أو F ونعوض إحداثياتها في المعادلة الأخيرة المتوصل إليها]
بما أن النقطة E تنتمي إلى هذا المستقيم فإن:
.png)
يعني:
.png)
[نقوم بحل المعادلة كي نتوصل إلى العدد p]
.png)
[أخيرا توصلنا إلى قيمتي كل من m و p]
إذن معادلة هذا المستقيم هي: y = -2x + 8
مثال 2 (باللغة الفرنسية)
Déterminer l’équation de la droite qui passe par les points E(2 ;-1) et F(-3 ;4).
---------------------------
Solution:
Les points E et F n’ont pas la même abscisse,
Alors l’équation réduite de la droite est du type : y = mx + p
Calcul de m (Le coefficient directeur ou la pente):
.png "l'équation d'une droite")
Donc cette équation est de la forme : y = -1x + p
C’est-à-dire : y = -x + p
Calcul de p (l'ordonnée à l'origine) :
Comme le point F appartient à cette droite
Donc :
.png)
Par suite :
.png)
D’où :
.png)
Donc :
.png)
Conclusion :
L’équation de la droite est : y = -x + 1
③ انطلاقا من نقطة واحدة وميل محدد
👈 يمكن أن يطلب منك في تمرين تحديد معادلة مستقيم انطلاقا من نقطة واحدة معرفة بإحداثياتها والمعامل الموجه لهذا المستقيم وذلك من خلال ثلاث حالات:
◉ الحالة الأولى، بشكل مباشر،
يعني انطلاقا من نقطة وميل معطى بشكل مباشر
↤ وهذه الأمثلة توضح ذلك:
مثال 1 ( باللغة العربية):
اكتب معادلة مستقيم المار من النقطة A(2 ;3) ، ومعامله الموجه هو 2.
------------------------------
الحل
[في هذه الحالة يمكن أن نقول بأن التمرين قدم لنا مساعدة، فبدل البحث عن الميل بالطريقة التي قمنا بها في السابق، فهو موجود أمامنا وبالتالي نقدم فقط الجزء الثاني للبرهان السابق نحدد فيه العدد p ( الأرتوب عند الأصل)]
بما أن ميل هذا المستقيم هو 2
فإن معادلته المختصرة تكتب على شكل: y = 2x + p
لنحدد إذن العدد p:
بما أن هذا المستقيم يمر عبر النقطة A(2 ;3) فإن
.png)
وهذا يعني:
.png)
يعني:
.png)
يعني:
.png)
إذن المعادلة المختصرة لهذا المستقيم هي: y = 2x -1
مثال 2 ( باللغة الفرنسية)
Déterminer l’équation de la droite passant par B(2 ;2) et de coefficient directeur -1/2.
----------------------------------
Solution:
Puisque le coefficient directeur de cette droite est -1/2
Alors son équation réduite s'écrit sous la forme : y = -1/2x + p
Déterminons maintenant le nombre p (l'ordonnée à l'origine) :
Puisque cette droite passe par le point B(2 ; 2), alors ses coordonnées vérifient l'équation :
.png)
D’où, l'équation réduite de cette droite est : y = -1/2x + 3
الحالة الثانية، انطلاقا من نقطة معلومة ومعادلة مستقيم مواز
ونحن نعرف، وهذه قاعدة في معادلة المستقيم، أن كل مستقيمين متوازيين يكون لهما نفس الميل ( نفس المعامل الموجه)
إذن، عندما يطلب منك تحديد معادلة مستقيم يمر من نقطة معينة ويوازي مستقيما آخر مُعرَّف بمعادلته المختصرة،
فكأنك تبحث عن هذه المعادلة انطلاقا من النقطة والميل ( نفس الحالة الأول)، لماذا؟؟
لأن النقطة معروفة بإحداثياتها والميل هو نفس ميل المستقيم الذي يوازيه.
وسنرى ذلك من خلال المثالين المواليين:
مثال 1 ( باللغة العربية)
حدد معادلة المستقيم (d) المار من النقطة A(-2 ;3) ويوازي المستقيم (d’) ذا المعادلة المختصرة: y=-3x+4.
هنا أكتب هذا البرهان التالي:
معادلة المستقيم (d) تكتب على شكل: y=mx+p
لدينا المستقيم (d) يوازي المستقيم (d’)
إذن للمستقيمين نفس الميل
ومنه: m=-3
الآن حصلت على الميل، وللحصول على p ( الأرتوب عند الأصل) نستخدم نفس الطريقة التي رأينا في الحالات السابقة، فنكتب:
إذن معادلة المستقيم (d) تكتب على شكل: y= -3x+p
لنحدد العدد p:
بما أن المستقيم (d) يمر عبر النقطة A ، فإن إحداثياتها تحقق معادلة المستقيم (d)
يعني أن : (ص)
ومنه معادلة المستقيم (d) هي: y=-3x-3
مثال 2 ( باللغة الفرنسية)
On donne la droite (L) d’équation y= -x+4, et le point B(3 ;5). Déterminer l’équation de la droite (L’) parallèle à la droite (L) et passant par le point B.
Solution :
Calculons m :
La droite (L’) a une équation de forme de : y=mx+p
Et puisque les droites (L) et (L’) sont parallèles
Alors elles ont le même coefficient directeur
Donc : m=-1
D’où l’équation de la droite (L’) est de type : y=-x+p
Calculons p :
D’une autre part , la droite (L’) passe par le point B
Alors, les coordonnées (3 ;5) de B vérifient l’équation de (L’) (im)
Donc l’équation réduite de la droite (L’) est : y=-x+8
ملاحظات وتنبيهات
قبل إنهاء هذه الحالة الثانية، أريد أن أشير إلى حالتين من الحالات الخاصة المرتبطة بالتوازي، وهما:
الأولى، إذا طلب منك مثلا تحديد معادلة مستقيم (d)انطلاقا من نقطة معينة ( مثلا A(1 ;2) ) ويوازي مستقيما آخر(d’) ذا المعادلة y=a، مثلا (y=3)،
فما العمل في هذه الحالة؟؟ نلاحظ عدم وجود المعامل الموجه، أليس كذلك؟؟
هنا نكتب:
بما أن معادلة المستقيم (d’) هي y= 3،
إذن هذا المستقيم يوازي محور الأفاصيل ( وقد تطرقنا إلى ذلك في الفقرة الأولى أعلاه)
وانطلاقا من القاعدة التي تقول: إذا كان لدينا مستقيمين متوازيين، فكل مستقيم آخر يوازي أحدهما فهو يوازي الآخر
نستنتج أن المستقيم (d) يوازي هو أيضا محور الأفاصيل
إذن فمعادلته المختصرة هو الآخر ستكتب على شكل: y=a حيث a أرتوب أي نقطة تنتمي إليه
وبما أنه يمر عبر النقطة A(1 ;2) والتي أرتوبها يساوي 2
فإن معادلته المختصرة هي: y=2
الحالة الثانية، إذا طلب منك مثلا تحديد معادلة مستقيم (d)انطلاقا من نقطة معينة ( مثلا A(1 ;2) ) ويوازي مستقيما آخر(d’) ذا المعادلة x=a، مثلا (x=3)،
وبنفس الطريقة، المعادلة x=3 تعني أن المستقيم يوازي هنا محور الأراتيب
ومنه نستنتج أيضا أن المستقيم (d) هو الآخر يوازي محور الأراتيب
وهذا يعني أن معادلته هو الآخر ستكتب على شكل x=a ، حيث a هنا أفصول أي نقطة تتواجد على المستقيم
وبما أن النقطة A(1 ;2) تنتمي إلى هذا المستقيم والتي أفصولها يساوي 1
فإن المعادلة المختصرة للمستقيم (d) هي x=1.
الحالة الثالثة: انطلاقا من نقطة ومعلومة ومعادلة مستقيم عمودي
بنفس النهج تقريبا، أي أننا سنحاول استخراج الميل من معادلة المستقيم العمودي
طبعا هنا ليس لهما نفس الميل وإنما القاعدة تقول: إذا كان مستقيمين متعامدين فإن جداء ميليهما يساوي 1-.
فكيف إذن نحدد معادلة مستقيم انطلاقا من نقطة ومعادلة مستقيم عمودي؟؟ هذا ما سنراه في المثالين المواليين:
المثال 1 (باللغة العربية)
حدد معادلة المستقيم (D) المار من النقطة A(4 ;-1) والعمودي على المستقيم (D’) ذي المعادلة: y= 3/2x+15/2
الحل:
معادلة المستقيم (D) تكتب على شكل: y=mx+p
لنحدد m المعامل الموجه ( أو الميل):
بما أن (D) و (D’) مستقيمان متعامدان فإن جداء ميليهما يساوي 1-
يعني أن : (ص)
ومنه نستنتج: (ص)
وهذا يعني أن المعادلة ستكتب على شكل: y=-2/3x+p
لنحدد p الأرتوب عند الأصل:
بما أن النقطة A تنتمي إلى المستقيم (D) فإن إحداثياتها (4 ;-1) تحقق المعادلة
يعني أن:
ومنه نستنتج المعادلة المختصرة للمستقيم (D)، وهي: (ص)
المثال 2 ( باللغة الفرنسية)
On donne la droite (L) d’équation y= -2/3x-1, et le point B(1 ;7). Déterminer l’équation de la droite (L’) qui passe par B et qui perpendiculaire à (L).
Solution :
Calculons m :
La droite (L’) a une équation de forme de : y=mx+p
Et puisque les droites (L) et (L’) sont perpendiculaires, donc le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.
Cela veut dire que : (im)
On sait que le coefficient de la droite (L) est -2/3 , alors : (im)
D’où l’équation de la droite (L’) est de type : y=3/2x+p
Calculons p :
D’une autre part, la droite (L’) passe par le point B
Alors, les coordonnées (1 ;7) de B vérifient l’équation de (L’) (im)
Donc l’équation réduite de la droite (L’) est : (im)
ملاحظات وتنبيهات
وأيضا قبل إنهاء هذه الحالة الثالثة، أريد أن أشير إلى حالتين من الحالات الخاصة المرتبطة التعامد، وهما:
الأولى، إذا طلب منك مثلا تحديد معادلة مستقيم (d)انطلاقا من نقطة معينة ( مثلا A(1 ;2) ) وعمودي على مستقيما آخر(d’) ذي المعادلة y=a، مثلا (y=3)،
المستقيم (d’) في هذه الحالة يوازي محور الأفاصيل،
و تطبيقا للقاعدة التي تقول : إذا كان لدينا مستقيمين متوازيين، فكل مستقيم آخر عمودي على أحدهما يكون عموديا على الآخر
وهذا يعني أن المستقيم (d) عمودي على محور الافاصيل،
وإذا كان عموديا على محور الأفاصيل فإنه يكون موازيا لمحور الأراتيب
ومنه تكون معادلته على شكل x=a حيث a أفصول جميع النقط الموجودة على هذا المستقيم
وبما أن النقطة A(1 ;2) تنتمي إلى هذا المستقيم وأفصولها يساوي 1
إذن معادلة المستقيم (d) هي x=1
الثانية، إذا طلب منك مثلا تحديد معادلة مستقيم (d)انطلاقا من نقطة معينة ( مثلا A(1 ;2) ) وعمودي على مستقيما آخر(d’) ذي المعادلة x=a، مثلا (x=3)،
معادلة المستقيم (d’) هي x=3
إذن المستقيم (d’) يوازي المستقيم محور الأراتيب
وبما أن (d) عمودي على (d’)
فإن (d) يوازي محور الاراتيب
ومنه معادلته ستكتب على شكل: y=a حيث a أرتوب كل نقطة تقع على هذا المستقيم
ولدينا النقطة A(1 ;2) تنتمي إلى هذا المستقيم
إذن فمعادلته المختصرة هي: y=2
ملاحظة أخرى:
أحيانا يطلب منك تحديد معادلة واسط قطعة ( La médiatrice) طرفاها نقطتان محددتان بإحداثيات
نحن نعرف أن واسط قطعة هو كل مستقيم يمر من منتصف هذه القطعة وعمودي عليها
إذن لتحديد المعادلة المختصرة لواسط قطعة
نحدد أولا: إحداثيات المنتصف انطلاقا من إحداثيات طرفي القطعة
وقد تطرقنا إلى ذلك في درس الإحداثيات ( يمكن الرجوع إليه بالنقر هنا)
وهذه القاعدة هي: (ص)
بعد ذلك نحدد معادلة المستقيم المار من طرفي هذه القطعة
الآن يمكن تحديد معادلة واسط القطعة انطلاقا من إحداثيات النقطة التي هي منتصف القطعة والمعامل الموجه للمستقيم العمودي عليه.
وللتوضيح أكثر نقترح هذا المثال:
نعتبر النقطتين التاليتين: A(-3 ;1) و B(1 ;5)، ما هي المعادلة المختصرة للواسط القطعة [AB]؟
نحدد أولا إحداثيات النقطة Mمنتصف القطعة [AB]، لأن الواسط يمر من المنتصف.
إذن إحداثيات M هي: (ص)
نحدد معادلة المستقيم (AB) حامل القطعة [AB]،
وذلك باتباع الطريقة التي رأيناها في الفقرة الثانية : انطلاقا من نقطتين ذات إحداثيات معلومة.
وبشكل مختصر سنحصل على أن معادلة المستقيم (AB) هي: y=x+4. (يمكن التحقق من ذلك)
إذن ميل المستقيم (AB) يساوي 1
بعد أن حددنا هذه المعطيات ( إحداثيات النقطة، ميل المستقيم المتعامد)
نمر إلى كتابة معادلة واسط القطعة
بما أن واسط القطعة عمودي على (AB) فإن جداء ميليهما يساوي 1-
إذن ميل معادلة واسط القطعة يساوي: (ص)
نعرف أن الواسط يمر عبر منصف القطعة يعني عبر النقطة M(-1 ;3)
إذن: (ص)
ومنه المعادلة المختصرة لواسط القطعة [AB] هي: y= -x+2
انطلاقا من نقطة واحدة وأرتوب عن الأصل
كما نجد في بعض الأحيان أسئلة تطلب منا كتابة المعادلة المختصرة لمستقيم أرتوبه عند الأصل معروف ويمر من نقطة محددة بإحداثيات.
وعندما نتحدث عن الأرتوب عند الأصل فإننا طبعا نقصد العدد p في المعادلة المختصرة
وإذا علمنا هذا العدد نقوم بتعويض x و y داخل المعادلة بإحداثيات النقطة التي تنتمي إلى المستقيم
ثم نحل المعادلة لنصل إلى قيمة العدد m ( المعامل الموجه)
وهكذا حصلت على المعادلة المختصرة كاملة.
وللتوضيح أكثر نقترح هاذين المثالين:
مثال 1 ( باللغة العربية)
حدد المعادلة المختصرة لمستقيم(d) يمر من النقطة H(3 ;-1) وأرتوبه عند الأصل يساوي 5.
الحل:
معادلة المستقيم (d) تكتب على شكل: y=mx+p
نعلم أن p=5 (انطلاقا من المعطيات)
إذن هذه المعادلة ستصبح على شكل: y=mx+5
من جهة أخرى، نعلم أن النقطة H(3 ;-1) تنتمي إلى هذا المستقيم
إذن: (ص)
يعني: (ص)
إذن المعادلة المختصرة للمستقيم (d) هي: y=-2x+5
مثال 2 (باللغة الفرنسية)
Déterminer l’équation réduite de la droite (d’) passant par le point G(-1 ;2) et dont l'ordonnée à l’origine est -3.
Solution
L'équation réduite est de la forme y=mx+p
Puisque l'ordonnée à l'origine est -3, alors b = -3.
L'équation devient : y=mx-3
Comme G(-1 ; 2) appartient à (d'), ses coordonnées vérifient l'équation : (im)
D’où l’équation de la droite (d’) est : y=-5x-3
انطلاقا من المعادلة الديكارتية للمستقيم
والمعادلة الديكارتية تختلف طريقة كتابتها عن المعادلة المختصرة للمستقيم، فهي لا يبدو منها المعامل الموجه ولا الأرتوب عند الأصل كما يبدو ذلك في المعادلة المختصرة.
والمعادلة الديكارتية للمستقيم تكتب على شكل معادلة عادية من الدرجة الأولى بمجهولين: ax+by+c=0
وأحيانا تعطى المعادلة الديكارتية فنضطر إلى إعادة صياغتها على شكل المعادلة المختصرة كي نظهر لنا المعامل الموجه (الميل) وأيضا الأرتوب عند الأصل ويتم بعد ذلك توظيفه في أشياء أخرى كالتوازي أو التعامد مثلا.
فكيف إذن يتم تحويل المعادلة الديكارتية إلى المعادلة المختصرة؟؟ (ص)
لنتأمل الأمثلة التالية:
مثال 1: (ص)
مثال2: (ص)
طريقة معرفة إن كانت نقط معينة تنتمي إلى مستقيم أم لا انطلاقا من معادلة المستقيم
في بعض التمارين يطلب منا التأكد من إن كانت نقطة أو عدة نقط مُعرَّفة بإحداثياتها تنتمي إلى مستقيم معطى بمعادلة مختصرة،
وللقيام بذلك نتأكد من أن إحداثيات النقطة تحقق المعادلة المختصرة.
وكأمثلة على ذلك:
المثال 1 ( باللغة العربية)
نعتبر المستقيم (d) ذا المعادلة المختصرة التالية: y=-6x+4
تحقق إن كانت النقط التالية تنتمي إلى المستقيم (d): A(5 ;3) و B(-1 ;10)
بالنسبة للنقطة A(5 ;3) (ص)
ومنه نستنتج أن النقطة A لا تنتمي إلى المستقيم (d).
بالنسبة للنقطة B(-1 ;10) (ص)
ومنه نستنتج أن النقطة B تنتمي إلى المستقيم (d).
المثال 2 ( باللغة الفرنسية)
Dire si le point D(4 ;6) appartient à la droite (d’) d’équation : y=-3x+6
Solution : (im)
Alors le point D(4 ;6) n’appartient pas à la droite (d’).
ملاحظات وإضافات هامة
بنفس النهج تقريبا، يطلب منا أحيانا في بعض التمارين، تحديد أرتوب أو أفصول نقطة تنتمي إلى مستقيم معطى بمعادلة مختصرة، وللتوضيح أكثر نقترح هذه الأمثلة:
مثال 1 (باللغة العربية)
حدد العدد a بحيث تكون النقطة M(2 ; a) تنتمي إلى المستقيم (d) ذي المعادلة المختصرة: y=-2x+4 (ص)
مثال 2 (باللغة الفرنسية)
Trouver le réel a tel que le point N(a ; 1) appartienne à la droite d’équation : y=2x-1 (im)
طريقة تمثيل مستقيم على معلم متعامد ممنظم انطلاقا من معادلته المختصرة
نجد أيضا في بعض التمارين أسئلة تطلب منا رسم التمثيل المبياني لمستقيم انطلاقا من المعادلة المختصرة له.
وللقيام بذلك نحدد فقط نقطتين من هذا المستقيم من اختيارك وذلك بإعطاء قيمتين مختلفتين للعدد x ثم نحدد قيمتي العدد y (ودائما نبحث عن القيم السهلة مثل 0 أو 1 ...)
وكأمثلة على ذلك:
مثال 1 (باللغة العربية)
مثل مبيانيا المستقيم (d) معادلته المختصرة هي: y=2x+1
نعطي قيمة للعدد x، مثلا 0
فنحصل على: y=2×0+1
أي أن: y= 1
ومنه نستنتج أن النقطة ذات الإحداثيات (0 ;1) تنتمي إلى المستقيم (d)
نبحث عن نقطة أخرى ( نقطتان كافيتان لرسم مستقيم)
مثلا نعطي x= 1
إذن y= 2×1+1
يعني: y= 2+1=3
إذن النقطة ذات الإحداثيات (1 ;3) هي أيضا تنمي إلى المستقيم (d)
الآن نرسم معلما ونحدد فيه النقطتين السابقتين ثم نرسم مستقيما يمر عبرهما (ص)
مثال 2 ( باللغة الفرنسية)
Représenter dans un repère orthonormé la droite (d’) dont l’équation réduite est: y= x-1.
Solution :
Pour représenter la droite (d'), il suffit de déterminer les coordonnées de deux points distincts appartenant à cette droite.
Choix des points :
Si x = 0 :
On remplace x par 0 dans l'équation : y = 0 - 1 = -1
On obtient le premier point : (0 ; -1).
Si x = 2
On remplace x par 2 dans l'équation : $y = 2 - 1 = 1.
On obtient le deuxième point : (2 ;1)
On place les point (0 ; -1) et B(2 ; 1) dans le repère.
On trace la droite passant par ces deux points
Cette droite représente graphiquement (d') (im)
طريقة تحديد نقطة تقاطع مستقيمين من خلال معادلتيهما المختصرتين
كما نجد أسئلة أخرى تطلب منا تحديد نقطة تقاطع مستقيمين (point d'intersection de deux droites)
فإذا طلب منا ذلك هندسيا يعني مباشرة من خلال تمثيلهما في معلم متعامد ممنظم
في هذه الحالة تظهر لنا نقطة التقاطع ( إن كان المستقيمان متقاطعين فعلا) ويمكن تحديد إحداثياتها.
مثال:
مثل في معلم متعامد ممنظم المستقيمين (D) و (D’) بحيث: (D) :y=2x+1 و (D’) :y=x+3
حدد مبيانيا نقطة تقاطع هاذين المستقيمين.
الحل:
( رأينا مسبقا طريقة إنشاء التمثيل المبياني لمستقيم انطلاقا من معادلته، يمكن الرجوع إليها)
صورة)
من خلال التمثيل المبياني للمستقيمين فإن نقطة تقاطعها هي: A(2 ;5)
أما إذا طلب منا تحديد نقطة التقاطع دون اللجوء إلى التمثيل المبياني فإننا نتبع هذه الخطوات:
الخطوة الأولى: التأكد فعلا من أن المستقيمين غير متوازيين أو غير منطبقين ( طبعا إن كانا كذلك فإنهما لن يتقاطعا في نقطة وحيدة)
وقد تطرقنا مسبقا إلى أن المستقيمين المتوازيين يكون لهما نفس الميل ( نفس المعامل الموجه)
أما إذا كانا منطبقين تكون لهما نفس المعادلة المختصرة
الخطوة الثانية: إعادة كتابة المعادلتين على شكل نظمة (Le système): (ص)
الخطوة الثالثة: حل النظمة (Résoudre le système) وذلك بتعويض y في إحدى المعادلتين بقيمته في المعادلة الأخرى.
الخطوة الرابعة: التوصل إلى الحل الذي هو عبارة عن زوج (Couple) إحداثيات نقطة التقاطع.
وستتضح هذه الخطوات في الأمثلة الموالية:
المثال 1 (باللغة العربية)
حدد إحداثيات نقطة تقاطع المستقيمين: (D) :y=2x+1 و (D’) :y=x+3 [تعمدت نفس المستقيمين السابقين للتأكد من نفس إحداثيات نقطة التقاطع هندسيا وجبريا]
الحل:
ميل المستقيم (D) هو 2 ، وميل المستقيم (D’) هو 1
إذن المستقيمين غير متوازيين ويقبلان نقطة تقاطعهما.
ولتحديد هذه النقطة نقوم بحل النظمة: (ص)
ومنه نستنتج أن النقطة ذات الإحداثيات (2 ;5) هي نقطة تقاطع المستقيمين (D) و (D’) ( وهي نفسها التي وجدناها خلال تمثيل المستقيمين في المعلم)
المثال 2 (باللغة الفرنسية)
Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites suivantes :
(𝑑) : 𝑦=𝑥+4 et (𝑑’) : 𝑦=3𝑥+2
Solution :
Le coefficient directeur de la droite (d) est 1 et celui de la droite (d’) est 3
Alors ces deux droites ne sont pas parallèles. Elles sont sécantes et admettent un point d'intersection.
Les coordonnées du point d’intersection vérifient le système suivant : (im)
D’où les coordonnées du point d’intersection de (d’) et (d) sont (2 ;3)
ملاحظات وإضافات
سنضيف في هذه الفقرة ثلاث حالات أخرى خاصة بالتقاطع:
تحديد نقطة تقاطع مستقيم معطى بمعادلته المختصرة مع محور الأفاصيل (y=0) أو مستقيم يوازي محو الأفاصيل (y=a )
نحتفظ بالمعادلة y=a ونعوض y في المعادلة الثانية بـ a ونحل المعادلة.
مثال: نقطة تقاطع المستقيم معادلته المختصرة y=-2x+1 مع المستقيم معادلته المختصرة y=3.
سنقوم بحل النظمة التالية (ص)
ومنه نستنتج أن النقطة (-1 ;3) هي نقطة تقاطع هاذين المستقيمين.
تحديد نقطة تقاطع مستقيم معطى بمعادلته المختصرة مع محور الأراتيب (x=0) أو مستقيم يوازي محو الأراتيب (x=a )
بنفس الطريقة نحتفظ بالمعادلة x=a ونقوم بتعويض x بقيمته a في المعادلة الأخرى.
مثال: نقطة تقاطع المستقيم معادلته المختصرة y=4x+3 مع محور الأراتيب (x=0).
سنقوم بحل النظمة: (ص)
ومنه نستنتج نقطة التقاطع التي هي: (0 ;3)
تحديد نقطة تقاطع مستقيمين أحدهما يوازي محور الأفاصيل (y=a) والآخر يوازي محور الأراتيب (x=b)
إحداثيات هذه النقطة في هذه الحالة هي (b ;a).
مثال: نقطة تقاطع المستقيم معادلته المختصرة هي y=5 ومستقيم معادلته المختصرة هي x=2
هنا لا نحتاج إلى نظمة وإنما إحداثيات نقطة التقاطع واضحة هي (2 ;3)
طريقة معرفة إن كان المستقيمان متوازيان أو متعامدان انطلاقا من معادلتهما المختصرة
قبل التعرف على المعادلة المختصرة للمستقيم، كنا نستعمل أدوات خاصة ( الكوس، البركار..) للتأكد من تعامد أو تواز مستقيمين، لكن بعد التعرف على المعادلة المختصرة وأجزائها لم نعد نحتاج إلى هذه الأدوات بل توجد طق أخرى جديدة وسريعة.
إذ بمجرد النظر إلى المعادلة المختصرة لمستقيمين تعرف إن كانا متوازيين أو غير متوازيين، وإن كانا متعامدين أو غير متعامدين.
فكيف نعرف ذلك؟؟
قد تطرقنا إلى هذه الخصائص في فقرة طريقة تحديد معادلة مستقيم انطلاقا من نقطة محددة بإحداثيات وميل هذا المستقيم ( يمكن الرجوع إليها):
وقلنا أننا يمكن استخراج الميل من المستقيم الموازي لأن كل مستقيمين متوازيين لهما نفس الميل
وأيضا كل مستقيمين متعامدين جداء ميلهما يساوي 1-.
ولمعرفة ما إذا كان المستقيمان متوازيين أو متعامدين نستعمل الخاصية العكسية لما سبق:
الخاصة بالتوازي: إذا كان للمستقيمين نفس الميل فإنهما متوازيان
الخاصة بالتعامد: إذا كان جداء ميل مستقيمين يساوي 1- فإنهما متعامدان.
يعني إذا طلب مني في نمرين البرهنة على تواز أو تعامد مستقيمين نبحث عن ميليهما.
والأمثلة الموالية توضح ذلك.
المثال 1 (باللغة العربية)
نعتبر النقط التالية: A(-4 ;4) و B(5 ;-1) و C(2 ;4) وD(11 ;-1)
حدد المعادلة المختصرة للمستقيم (AB) والمعادلة المختصرة للمستقيم (CD).
برهن على أن المستقيمين (AB) و (CD) متوازيان؟
الحل:
بالنسبة لطريقة تحديد المعادلة المختصرة مستقيم انطلاقا من نقطتين فقد تطرقنا إليها في إحدى الفقرات السابقة فلا داعي لتكرار الطريقة ربحا للوقت
باتباع هذه الطريقة سنتوصل إلى أن معادلة المستقيم (AB) هي: y=-5/9x+16/9
وأن معادلة المستقيم (CD) هي: y=-5/9x+49/9
وبما أن ميل المستقيم (AB) يساوي ميل المستقيم (CD) فإن هاذين المستقيمين متوازييان.
المثال 2 (باللغة الفرنسية)
On considère le point A(3 ;-1) et la droite (d) d’équation : y=3x+9
Démontrer que les droites (d) et (OA) sont perpendiculaires.
Solution :
Les coordonnées des points sont O(0 ; 0) et A(3 ;-1)
Alors, Le coefficient directeur de (OA) est : (im)
Le coefficient directeur de la droite (d) est 3
On calcule le produit : (im)
Et puisque le produit des pentes est égal à -1, alors les droites (d) et (OA) sont perpendiculaires.
أدوات رقمية مساعدة للتحقق من النتائج
إيماناً منا بأن التجربة والخطأ جزء لا يتجزأ من تعلم الرياضيات، وإضافةً إلى الشروحات السابقة، قمنا بتزويد هذا المقال ببعض الأدوات الرقمية التفاعلية المساعدة الخاصة بالمعادلة المختصرة للمستقيم. الهدف الأساسي من هذه الأدوات هو تمكينك من التأكد من صحة النتائج التي تتوصل إليها أثناء حل التمارين بشكل ذاتي.
تتيح هذه الأدوات إمكانية:
تحديد المعادلة المختصرة بمجرد إدخال إحداثيات نقطتين مختلفتين.
استنتاج معادلة مستقيم انطلاقاً من ميله ونقطة يمر منها.
استنتاج معادلة مستقيم انطلاقاً من نقطة يمر منها ومعادلة مستقيم يوازيه
استنتاج معادلة مستقيم انطلاقاً من نقطة يمر منها ومعادلة مستقيم عمودي عليه
التعرف إن كانت نقطة تنتمي إلى مستقيم
التحقق من شرطي التوازي والتعامد بين مستقيمين
تحديد نقطة تقاطع مستقيمين
تمثيل مستقيم في معلم
نحن نشجعك على محاولة حل المسائل أولا بالاعتماد على قدراتك وباستخدام القواعد الرياضياتية التي شرحناها، ثم استخدام هذه الأدوات كمرجع تأكيدي لتعزيز ثقتك في فهمك للدرس.
انقر هنا للولوج إلى هذه الأدوات
تمارين مقترحة
التمرين الأول (ص)
التمرين الثاني (ص)
التمرين الثالث (ص)
التمرين الرابع (ص)
المرجو عدم نشر تعليقات غير مناسبة للمحتوى