نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين

النظمات، حل النظمات، تقنيات حل النظمات، تقنية التعويض، تقنية التأليفات الخطية، حل مسائل، Système de deux équations à deux inconnues، Systèmes et méthodes de résolution، Méthodes de résolution، Méthode de substitution، Méthode de combinaison linéaire

قبل البدء في تقديم درس النظمات، لا بد من التمكن من تقنيات الحساب المختلفة على الأعداد وأخذ فكرة عامة حول طرق التعامل مع المعادلات وحل مختلف المسائل والوضعيات من خلال تأويلها إلى معادلات... ولتحقيق ذلك نقترح عليكم الرجوع إلى المقالات التالية:

￩ من الحساب العددي نحو الحساب الحرفي

￩ تبسيط التعابير الجبرية

 ￩ النشر والتعميل

￩ المعادلات في الرياضيات

 سنتعرف في هذا الدرس على النظمات، ولماذا نحتاج إليها في حل بعض المسائل والوضعيات في الرياضيات وفي حياتنا اليومية؟؟ وأيضا سنتعرف على مختلف طرق حل هذه النظمات، كما تجدون في آخر الدرس بعض الأدوات التفاعلية المساعدة في حل النظمات.

🙏 ولا تنسوا إن أعجبكم هذا المقال أو استفدتم منه أن تقوموا بنشره كي تعم الفائدة الجميع🙏

وكما يعرف الجميع وما نقوله دائما  فإن درس النظمات، وغيرها من دروس الرياضيات،  ليس مجرد قواعد جافة، بل هو أداة لحل مشكلات واقعية معقدة.  وهذا ما سنراه لاحقا في هذا المقال.

⇐ لكن قبل الحديث عن النظمات سنتعرف أولا عن المعادلات من الدرجة الأولى بمجهولين والفرق بينها وبين المعادلات بمجهول واحد.

-------------✹-------------

① ماذا نقصد بالمعادلة من الدرجة الأولى بمجهولين؟

في مقال سابق تحدثنا عن المعادلات وتطرقنا إلى بعض أنواعها، من بينها المعادلات الخطية (L'équation linéaire) أو ما يسمى بالمعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد، هذا النوع من المعادلات يكون حلها عبارة عن قيمة واحدة. 

أمثلة:

ونفس الأمر يتعلق بحل المسائل والوضعيات، أي أنه يتم تحويل مسألة إلى معادلة وفي الأخير نتوصل إلى قيمة واحدة هي حل لهذه المسألة.

مثال:

👈 وفي مقابل ذلك توجد معادلات من الدرجة الأولى بمجهولين غالبا ما يرمز لهما بـ x و y، لذلك فإن حل هذا النوع من المعادلات يقدم على شكل زوج  قيمتين (x ,y) un couple de deux  valeurs بدل قيمة واحدة كما رأينا في المعادلات  بمجهول واحد.

مثال:

👈 والفرق الآخر بين المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد والمعادلات من الدرجة الأولى بمجهولين، أن النوع الأول تقبل حلا وحيدا أو لا تقبل حلا نهائيا في حين أن النوع الثاني يقبل العديد من الحلول.

↤ فبمجرد تغيير  قيمة لأحد المجهولين ( مثلا العدد x) نحصل على قيمة أخرى للمجهول الأخر

لنأخذ المعالدة السابقة: 

↤ تلاحظون إذن أن للمعادلة من الدرجة الأولى بمجهولين عدة حلول إذ بمجرد تغيير قيمة لأخد المجاهيل تحصل على حل آخر

⚠  وللحصول على الحلول  في أسرع وقت نقوم  بتعويض المجهول  بالقيم البسيطة كـ 0 أو 1  كما قمنا بذلك أعلاه.

↤ وللتأكد من أن زوج قيمتين حل للمعادلة نقوم بتعويض x  بقيمته و y بقيمته ثم ننجز العمليات  لنرى في الأخير هل تحققت المعادلة أم لا 

-------------✹-------------

② ما هي نظمة معادلات؟؟ Qu’est qu’un système des équations 

👈 النظمة (System) في الرياضيات هي عبارة عن مجموعة من المعادلات التي يجب تحقيقها في آن واحد. 

وعندما نتحدث عن نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين، فنحن نقصد كتابة تضم معادلتين، كل واحدة منهما تحتوي على مجهولين، وتكون من الدرجة الأولى أي أن أس هاذين المجهولين هو 1.

👈 وحل هذه النظمة يعني البحث عن زوج قيمتين الذي يحقق المعادلتين معا

ولفهم أكثر نقترح هذه الوضعية:

يحتوي صندوق أحد الموزعين على نوعين فقط من زجاجات العصير: 

-  زجاجات عصير البرتقال ثمن الواحدة منها 8 دراهيم، 

- وزجاجات عصير الليمون ثمن الواحدة منها 12 درهما.

عند عودته إلى المتجر، سأله رئيسه عن عدد الزجاجات من كل نوع التي قام بتسليمها، لكن الموزع لم يعد يتذكر العدد بالضبط. فهو يتذكر فقط أن الزبون دفع له ما مجموعه 120 درهماً.

سنقوم بمساعدة هذا الموزع للوصول إلى ما طلبه منه رئيسه.

 👈إذا أردنا تحويل هذه الوضعية إلى معادلة فإننا سنحصل على معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين:

↤   نضع  x هو عدد زجاجات عصير البرتقال، و y هو عدد زجاجات عصير الليمون

↤  نعرف أن ثمن كل زجاجة عصير البرتقال هو 8 دراهيم إذن ثمن جميع الزجاجات هو 8x 

↤  وأن ثمن كل زجاجة عصير الليمون هو 12 درهما إذن ثمن جميع الزجاجات هو 12y

↤ كما نعرف أن مجموع ما دفعه الزبون هو 120 درهما

↤ يعني أن:   8x + 12y = 120

👈 وهذه معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين

لكن، كما قلنا سابقا،  تقبل العديد من الحلول (هنا نقبل فقط الأعداد الصحيحة الطبيعية، لأنه لا يمكن منطقياً أن يبيع الموزع 2,5 زجاجة أو 4,75 زجاجة  مثلا....)

👈 يوضح الجدول التالي الاحتمالات الممكنة للحصول على مبلغ 120 درهم :

👈 كما تلاحظون، هناك ست احتمالات 

يمكن استبعاد الاحتمالين الأول والأخير لأن، كما جاء في نص الوضعية، الصندوق يحتوي على الزجاجات من نوعين مختلفين، وفي الاحتمال الأول افترضنا غياب زجاجات عصير البرتقال وفي الأخير افترضنا غياب زجاجات عصير الليمون.

👈 بقي لدينا إذن 4 احتمالات ممكنة

إذن، في نظرك هل سيتمكن الموزع من معرفة عدد القنينات من كل نوع؟؟

↤ ربما 3 زجاجات عصير البرتقال و8 زجاجات عصير الليمون

↤ ربما 6 زجاجات من كل نوع

↤ ربما 9 زجاجات عصير البرتقال ز 4 زجاجات عصير الليمون

↤ ربما 12 زجاجة عصير البرتقال وزجاجتين من عصير الليمون

👈 إذن لن يستطيع الموزع معرفة العدد بالضبط لكل زجاجة، وبالتالي فلن يتوصل إلى الحل.

ماذا لو أخبره مديره قائلا: " ألم تتذكر أنك وضعت 13 قنينة في الصندوق قبل خروجك من المتجر؟!"

👈 هل سيتمكن الموزع الآن من معرفة عدد الزجاجات من كل نوع؟؟

بالطبع، لأنه سيبحث في الاحتمالات السابقة عن الاحتمال الذي يمكن استخراج منه مجموع الزجاجات يساوي 13

وهذا يتحقق فقط في الاحتمال الرابع من الجدول،

❋❋استنتاج❋❋

👈 استنتجنا من الوضعية السابقة أنه توجد بعض المسائل والوضعيات من حياتنا اليومية، لكي نقوم بحلها نحتاج إلى معادلتين، هاتين المعادلتين تجمعان في ما يسمى بالنظمة

👈 وفي مثالنا السابق:

↤ المعادلة الأولى هي ما استنتجناه في البداية: 8x + 12y = 120 ( حيث x عدد زجاجات عصير البرتقال و y عدد زجاجات عصير الليمون)

↤ وقلنا أن حلولها كثيرة ولا يمكن تحديد الاصح منها إلا إذا توفرت المعادلة الثانية وهي عندما ذكر المدير الموزع بأن مجموع الزجاجات هو 13، يعني: x+y =13

ومن هنا نحصل على نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين: 

👈 وحل هذه النظمة هو تحديد جميع احتمالات المعادلة الأولى ثم نبحث من بين الاحتمالات عن الذي يحقق المعادلة الثانية كما قمنا بذلك فتوصلنا إلى أن الحل الأخير هو الزوج (9 ;4)

لكن هل هذه هي الطريقة التي نتبعها لحل النظمات؟؟

👈 بالطبع لا، توجد طرق سهلة توفر الجهد والوقت للوصول إلى الحل وهذا ما سنراه في الفقرة الموالية.

-------------✹-------------

③ طرق حل النظمات Méthodes de résolution d’un système 

◀◀ الطريقة التقليدية:  جدول القيم Table de valeurs

قبل الحديث عن الطرق المعروفة لحل النظمات، سنتعرف  على  الطريقة التقليدية  لحل النظمات والتي تعتمد على البحث عن الزوج المشتركة بين معادلتين من خلال جدول يسمى جدول القيم. (هذه الطريقة هي تقريبا نفس الأسلوب التي اعتمدناه في إيجاد حل الوضعية السابقة)

👈 لنفترض النظمة التالية: 

← لنبحث عن حلول كل معادلة على حدة بالطريقة التي رأيناها في فقرة المعادلات من الدرجة الأول بمجهولين ( نعني نعطي قيمة لـ x ونبحث عن y أو العكس) 

← نحدد الزوج المشترك في حلول كل معادلة 

← وبالتالي فإن حل هذه النظمة هو الزوج (2 ;-3)

❋❋ ملاحظات وإضافات ❋❋

👈 تذكرنا هذه الطريقة بطريقة البحث عن المضاعفات المشتركة لعددين

👈 الهدف من هذه الطريقة هو فهم واستيعاب معنى البحث عن حلول النظمة يعني البحث عن الزوج الذي يحقق المعادلتين معا.

👈 لكن العيب فيها هي أنها تحتاج إلى وقت طويل وجهد كبير للوصول إلى الحل، أو ربما لن تصل إليه إذا كانت الحلول عبارة عن أعداد عشرية أو كسور

👈 لذا يجب القيام بطرق أخرى أكثر فعالية وأكثر سرعة ودقة.

◀◀ الطريقة الثانية: طريقة التعويض Méthode de substitution

👈 تعتمد هذه الطريقة على عزل أحد المجهولين في إحدى المعادلتين، ثم تعويض قيمته في المعادلة الأخرى. 

La méthode de substitution consiste à isoler une inconnue dans l’une des équations, puis à substituer cette expression dans l’ autre équation.

👈 ويفضل تطبيق هذه الطريقة في حالة إذا كان معامل أحد المجاهيل يساوي 1 أو 1- في أي معادلة.

On utilise de préférence la méthode de substitution lorsque l’une des inconnues a pour coefficient 1 ou -1.

↤ لنأخذ النظمة السابقة: 

↤ نلاحظ أن معامل المجهول x في المعادلة الثانية يساوي 1 

↤ إذن من الأفضل تطبيق طريقة التعويض وذلك عبر المراحل التالية:

◈ عزل أحد المجهولين في إحدى المعادلتين: يعني كتابته بدلالة الآخر

وفي النظمة السابقة اخترنا عزل المجهول x في المعادلة الثانية ( لأن معامله يساوي 1 كما رأينا) 

◈ الاحتفاظ بنفس الصيغة وتعويض المجهول بقيمته في المعادلة الأخرى

نحتفظ بالمعادلة الثانية كما توصلنا إليها، ونعوض المجهول x بقيمته في المعادلة الأولى 

◈ القيام بنشر وتبسيط التعبير المتوصل إليه في المعادلة الأخرى

نحتفظ دائما بالمعادلة الثانية ونقوم بنشر وتبسيط التعبير الأول للحصول على المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد 

◈ حل المعادلة التي تحتوي على مجهول واحد

نحتفظ دائما بالمعادلة الثانية ونقوم بحل المعادلة الأولى التي تتكون من مجهول واحد (y) 

◈ تعويض الحل المتوصل إليه بقيمته في المعادلة المحتفظ بها

توصلنا إلى حل المعادلة الأولى، سنقوم بتعويضه بقيمته في المعادلة الثانية حتى نتوصل إلى الحل الآخر 

◈ حساب التعبير المتوصل إليه للوصول إلى قيمة المجهول الثاني

نقوم بحساب قيمة المجهول x: 

◈ كتابة الحل

نقوم بكتابة الحل على الشكل التالي:

- حل النظمة هو الزوج (3- ;2)

وبالفرنسية نكتب:

La solution du système est le couple (2 ; -3) 

◈مرحلة التحقق

نتحقق هل فعلا ما توصلنا إليه هو حل للمعادلتين معا 

◀◀ الطريقة الثالثة: الطريقة التأليفية الخطية Méthode de combinaison linéaire

👈 تعتمد هذه الطريقة القيام بجمع (أو طرح) المعادلتين (طرفا بطرف) من أجل التخلص من أحد المجهولين والحصول على معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

Cette méthode consiste à additionner ou à soustraire les équations du système de manière à éliminer une des inconnues pour avoir une équation du premier degré à une inconnue.

👈 وهذه الطريقة يمكن توظيفها في جميع الحالات، لكن يجب التركيز أكثر لمعرفة المجهول الذي يسهل التخلص منه، بهذه الحالة ستتمكن من حل النظمة بسهولة وبدون عناء.

لنأخذ المثال السابق: 

👈هذا المثال تسهل فيه طريقة التعويض، لكن إذا طلب منا توظيف طريقة التأليفية الخطية ما علينا إلا أن نطبقها.

وللقيام بذلك نتبع الخطوات التالية:

◈ البحث عن المجهول الذي يسهل التخلص منه

في هذه النظمة يسهل التخلص من المجهول x، لأننا سنحتفظ بالمعادلة العلوية كما هي ونقوم بضرب طرفا المعادلة السفلية في 3. 

◈ النشر والتبسيط والحساب

نقوم بالنشر وتبسيط المعادلة الثانية :

◈ الاحتفاظ بإحدى المعادلتين في السطر الأول وطرح المعادلة الأولى من الثانية طرف بطرف في السطر الثاني

نقوم بالاحتفاظ بالمعادلة الأولى في مكانها ثم نقوم بطرح الطرف الأيسر للمعادلة الأولى من الطرف الأيسر للمعادلة الثانية وأيضا الطرف الأيمن للمعادلة الأولى من الطرف الأيمن للمعادلة الثانية 

◈ التبسيط والحساب  للتخلص من أحد المجهولين

نزيل الأقواس ونقوم بتبسيط التعبير للتخلص من 3x  ( هنا يجب الانتباه إلى الإشارات)

◈ حل المعادلة المتوصل إليها ( معادلة بمجهول واحد)

حصلنا على معادلة بمجهول واحد هو y، نقوم بحلها للوصول إلى الحل الأول 

◈ تعويض الحل المتوصل إليه في المعادلة المحتفظ 

نقوم بتعويض y في المعادلة الأولى بقيمته 3- :

◈ التبسيط والحساب للوصول إلى الحل الثاني

نقوم بتبسيط العملية للوصول إلى قيمة المجهول x 

◈ كتابة الحل

نقوم بكتابة الحل على الشكل التالي:

حل النظمة هو الزوج (3-;2)

وبالفرنسية نكتب:

La solution du système est le couple (2 ; -3) 

◈ مرحلة التحقق

حيث نقوم بتعويض x وy بقيمتيهما في كل معادلة. (قمنا بذلك في الطريقة السابقة يمكن الرجوع إليها)

❋❋ ملاحظات وإضافات ❋❋

👈 الأصعب في هذه الطريقة هو تحدد المجهول الذي يسهل التخلص منه، 

وللتمكن من ذلك نقترح هنا بعض النظمات ولنحدد فيها المجهول الذي يسهل التخلص منه كي تتكون لدينا فكرة حول طريقة التعامل مع هذه التقنية.

◉المثال الأول:

↤ نلاحظ أن في المعادلة الثانية (x-3y=7) معامل المجهول x يساوي 1، فمن الأحسن إذن تطبيق طريقة التعويض لأنها هي السهلة هنا، لكن إذا طلب منك تطبيق طريقة التأليفية الخطية ؟؟

 الأسهل في هذه الحالة ليس أن نضرب المعادلة الثانية في 7 للتخلص من 7x، 

↤ نلاحظ أن هناك عددين متقابلين في المعادلتين: في المعادلة الأولى 3y وفي المعادلة الثانية 3y-

يعني بمجرد القيام بجمع المعادلتين طرفا بطرف سنتخلص من 3y دون الضرب في أي عدد 

الحل إذن:

◉المثال الثاني: 

 معاملي x في المعادلتين هما 5 و 3 

ومعاملي y في المعادلتين هما 4 و 2-

↤ نلاحظ أن 4 مضاعف لـ 2

إذن المجهول الأسهل التخلص منه هنا هو y وذلك بضرب المعادلة الثانية في 2 ونترك الأولى كما هي  ثم نقوم بجمع المعادلتين:

◉المثال الثالث: 

↤ نلاحظ في هذا المثال عدم إمكانية التخلص من أي مجهول بشكل مباشر

لذا يمكن اختيار أي مجهول ونطبق عليه الطريقة العامة: 

أي أننا نضرب المعادلة الأولى في معامل المجهول في المعادلة الثانية  

ونضرب المعادلة الثانية في معامل المجهول في المعادلة الأولى

وذلك للحصول على نفس معامل المجهول من أجل التخلص منه

في المثال السابق:

إذا أردنا التخلص من المجهول x  نضرب المعادلة الأولى في 5 والمعادلة الثانية في 3

وإذا أردنا التخلص من المجهول y نضرب المعادلة الأولى في 3 والثانية في 2 

← في الاختيار الأول حصلنا على 15x في المعادلة الأولى  و15x في المعادلة الثانية 

إذن سنقوم بطرح إحدى المعادلتين من الأخرى طرفا بطرف (Soustraire deux équations membre à membre) للتخلص من 15x

← ونفس الشيء في الاختيار الثاني، حصلنا على 6y-  في المعادلة الأولى و -6y- في المعادلة الثانية

سنقوم بعملية الطرح للتخلص من 6y-

← في الاختيار الأول وجدنا المجهول y ويساوي 25- ، نختار إحدى المعادلتين السابقتين ونعوض فيها y بـ 25- للوصول إلى x

← وفي الاختيار الثاني وجدنا المجهول x ويساوي 16- ، نختار إحدى المعادلتين السابقتين ونعوض فيها x بـ 16- للوصول إلى y

↤ تلاحظون إذن أننا حصلنا على نفس الحل سواء اخترنا الاختيار الأول أو الاختيار الثاني الذي هو: (25- ; 16-)

⚠ ملاحظة أخرى يجب الانتباه إليها

هي أثناء كتابة الحل (الزوج) يجب وضع قيمة المجهول x على اليسار وقيمة المجهول y على اليمين على الشكل التالي: (x ;y) 

◀◀ الطريقة الرابعة: طريقة المقارنة Méthode de comparaison

👈 طريقة المقارنة تشبه إلى حد كبير طريقة التعويض. وتعتمد هذه الطريقة على عزل المجهول نفسه في كلتا المعادلتين، ثم المساواة بين القيمتين المحصل عليهما.

La méthode de comparaison est très similaire à la méthode de substitution. Elle consiste à isoler la même inconnue des deux équations et à égaler les deux valeurs obtenues.

👈هذه الطريقة يتم توظيفها أكثر عندما تعطى النظمة على الشكل التالي: 

كما هو الشأن مثلا في معادلة مستقيم ( في الحالة الثانية من الصورة أعلاه) عندما نريد تحديد نقطة تقاطع مستقيمين انطلاقا من معادلتيهما المختصرتين (يمكن الرجوع إلى الدرس للمزيد من التفاصيل بالنقر على الرابط من هنا)

👈 لكن إذا طلب منك حل نظمة باستعمال طريقة المقارنة ما عليك إلا أن تطبقها.

لنأخذ المثال التالي: 

لحل النظمة باستعمال طريقة المقارنة نتبع الخطوات التالية:

◈ عزل أحد المجهولين في كل معادلة

نختار المجهول x ونقوم بعزله في كلتي المعادلتين

◈ الحفاظ على إحدى المعادلتين في الأعلى والتساوي بين القيميتين المحصل عليهما في السطر الثاني مشكلا معادلة بمجهول واحد

نحتفظ بالمعادلة x=5-10y في الأعلى ونكتب القيمتين المتساويتين في السطر الثاني، فنحصل على معادلة بمجهول واحد 

◈ حل المعادلة

نحتفظ بالمعادلة x=5-10y في الأعلى  ونقوم بحل المعادلة المحصل عليها:

◈ تعويض القيمة المحصل عليها في إحدى المعادلتين

حصلنا على أن y=1/3 ، نقوم بتعويضه بهذه القيمة في المعادلة الموجودة في الأعلى (x=5-10y) ثم نقوم تبسيط العملية وحسابها:

◈ كتابة الحل

حل النظمة هو الزوج (1/3 ;5/3)

وبالفرنسية نكتب:

La solution du système est le couple (5/3 ; 1/3) 

◈ التحقق من النتائج

وذلك بتعويض x و y بقيمتيهما في معادلتي النظمة. 

◀◀ الطريقة الخامسة: طريقة التأويل الهندسي Interprétation graphique

👈 تعتمد هذه الطريقة على تحويل معادلتي النظمة إلى المعادلة  المختصرة للمستقيم التي تكتب على شكل: y=ax+b 

ثم تمثيل كل مستقيم انطلاقا من معادلته المختصرة

ثم تحديد نقطة تقاطع المستقيمين

وزوج إحداثيات هذه النقطة هو بالضبط حل النظمة

(وللمزيد من التوضيحات حول طريقة تمثيل المستقيم انطلاقا من معادلته المختصرة يمكن الانتقال إلى الدرس بالنقر على الرابط من هنا)

👈وللقيام بذلك نتبع الخطوات التالية

لنأخذ هذا المثال:

◈ إعادة كتابة المعادلتين على شكل المعادلة المختصرة للمستقيم

نقوم بإعادة صياغة النظمة على شكل صيغة معادلتين مستقيم، على الشكل التالي.

◈ تمثيل المستقيمين في معلم متعامد ممنظم انطلاقا من معادلتيهما المختصرة

نقوم برسم مَعلم متعامد ممنظم (Un repère orthonormé)  ثم نمثل عليه المستقيمين ذي المعادلتين: y=2x و  y=4x-4 

◈ تحديد إحداثيات نقطة التقاطع

نقوم بتحديد إحداثيان نقطة تقاطع المستقيمين ذي المعادلتين: y=2x و  y=4x-4

◈ كتابة الحل

← نكتب  الحل على الشكل التالي:

حل النظمة هو زوج إحداثيات نقطة تقاطع المستقيمين 

ومن خلال التمثيل المبياني فإن  الزوج (2 ;4) هو حل النظمة

← وبالفرنسية نكتب:

La solution du système est donc le couple (𝑥 ; 𝑦) coordonnées du point d’intersection des deux droites.

Par lecture graphique, on trouve le couple (2 ; 4) comme solution du système.

◈ التحقق

نقوم بتعويض قيمتي كل من x وy في معادلتي النظمة لنتحقق هل تحققان المعادلتين معا 

❋❋ إضــافـــة ❋❋

 تجدر الإشارة إلى أن هناك طرقاً متقدمة لم نتطرق إليها هنا نظراً لأنها تتطلب مكتسبات رياضياتية معمقة تُدرس في مراحل لاحقة، مثال ذلك  طريقة غاوس (Méthode de Gauss) التي تمكن من حل النظمات التي تتجاوز مجهولين، أو طريقة المصفوفات (Calcul Matriciel)  التي تعتمد عليها الحواسيب والبرامج الهندسية لحل المشكلات المعقدة.

-------------✹-------------

④ هل جميع النظمات لها حلول؟

👈 من خلال الإجابة عن هذا السؤال سنكتشف أن هناك ثلاثة أنوع من النظمات :

✦ النظمات التي تقبل حلا واحدا وهو عبارة عن زوج قيمتين (x ;y) وهذا النوع هو الذي رأيناه في الفقرات السابقة

✦ النظمات التي لا تقبل أي حل ( ليس لها حل نهائيا) وهي النظمات التي تضم معادلتين لهما نفس الميل، وقد رأينا في درس المعادلة المختصرة للمستقيم، أن المستقيمين اللذين لهما نفس الميل يكونان متوازيين وبالتالي لن يتقاطعا أبدا أي ليس لهما نقطة تقاطع.

وللمزيد من التوضيحات حول هذا الموضوع نقترح عليكم الرجوع إلى درس معادلة مستقيم بالنقر على الرابط من هنا

 ← وللتوضيح أكثر نقترح هذا المثال:

لحل هذه النظمة نطبق طريقة التعويض  لأن معامل y في المعادلة الأولى يساوي 1

↩ توصلنا في المعادلة إلى أن 2- = 6 وهذا غير ممكن، يعني أن المعادلة ليس لها حل 

وبالتالي فالنظمة أيضا ليس لها حل

وإذا قمنا بإعادة كتابة معادلتي النظمة السابقة على شكل معادلة مستقيم سنحصل على:

↤ نلاحظ أن للمعادلتين نفس الميل (نفس المعامل الموجه) وهذا يعني أن المستقيمين  متوازيان ولا يتقاطعان أبدا

وهذا يفسر أن النظمة ليس لها حل.

✦ النظمات التي تقبل جميع حلول  المعادلتين : وهي النظمات التي معادلاتها منطبقة  ( أي أن لها نفس الميل ونفس الأرتوب عند الأصل) يمكن الرجوع إلى درس معادلة مستقيم بالنقر هنا.

←  وللتوضيح أكثر نقترح هذه النظمة 

مرة أخرى نطبق طريقة التعويض لأن معامل y في المعادلة الثانية يساوي 1

توصلنا في المعادلة إلى أن 6-=6- ، وهذا صحيح،  ويعني أن أي زوج الذي هو حل لإحدى المعادلتين فهو حل للنظمة، 

مثلا: (0 ;2) ،  (1 ;0) ، (2 ;-2) ، (-2 ;4) ...

ةإذا قمنا بكتابة معادلتي النظمة على شكل معادلة مستقيم سنحصل على:

نلاحظ أننا حصلنا على نفس المعادلة ( نفس الميل ونفس الأرتوب عند الأصل) وهذا يعني أن المستقيمين منطبقان ويقبلان ما لا نهاية له من النقط كنقط تقاطع. 

❋❋ اســتــنــتــاج ❋❋

👈 حل النظمة جبريا توافق في الهندسة البحث عن نقطة التقاء مستقيمين، فكل معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين فهي في الحقيقة توافق مستقيما في المستوى وبالتالي كل نظمة معادلتين يتم تأويلها هندسيا إلى مستقيمين:  

◄ فإذا كان المستقيمان متقاطعين فإن النظمة تقبل حلا وحيدا هو نقطة تقاطعهما

◄ وإذا كان المستقيمان متوازيين فإن النظمة لا تقبل أي حل

◄ وإذا كان المستقيمان منطبقين فإن النظمة تقبل العديد من الحلول التي هي زوج إحداثيات أي نقطة تقع على المستقيمين.

-------------✹-------------

⑤ ما هي الطريقة الفعالة؟

تطرقنا في الفقرة الثالثة إلى طرق حل النظمات، فإذا طلب منا حل نظمة معينة باتباع طريقة معينة فمن الواجب اتباع تلك الطريقة لحل النظمة، وأما إذا طلب منا فقط حل النظمة بأي طريقة، في هذه الحالة نختار الطريقة المناسبة التي تمكننا من الوصول إلى الحل بمجهود أقل وفي وقت أسرع.

👈 إليك بعض الخلاصات التي استنتجناها بعد دراسة طرق الحل:

◂ نستعمل طريقة التعويض في حالة ما إذا يساوي معامل أحد المجهولين 1 أو 1- ، أمثلة: 

◂ نستعمل طريقة المقارنة في حالة ما إذا كانت النظمة تضم معادلتين على شكل معادلة مستقيم، مثال:

 ◂ ونستعمل طريقة التأليفية الخطية في جميع الحالات لكن يجب معرفة الجهول الذي يستحق التخلص منه أولا.

-------------✹-------------

⑥ من المسائل نحو النظمات

👈 تعرفنا على النظمات ورأينا مختلف الطرق للوصول إلى حلها، فما الجدوى إذن من ذلك إن لم يتم توظيفها في الحياة اليومية ؟؟

فالمسألة أو الوضعية المشكلة هي "القلب النابض" للرياضيات؛ وهي الجسر الذي يربط بين الأرقام المجردة والواقع المعاش. وبدونها، تبقى القواعد الرياضياتية مجرد رموز صماء لا حياة فيها.

وقد تطرقنا إلى المسائل في الرياضيات في أكثر من مناسبة رأينا فيها مختلف التقنيات والاستراتيجيات التي تحل بها المسائل في الرياضيات، ومن بين هذه المواضيع ما يلي ( يمكن النقر عليها للانتقال إلى المقال):

استراتيجيات حل المسائل الرياضياتية في المدرسة الابتدائية

من المسائل نحو المعادلات/ تمارين وحلول

👈 النظمات هي الأخرى ترتبط ارتباطا وثيقا بالمسائل، فهي الأداة التي تمكننا من فك ارتباك الواقع. ففي حياتنا اليومية، نادراً ما نصادف مشكلات بمجهول واحد أو شرط وحيد؛ بل نواجه وضعيات تتداخل فيها المتغيرات وتتشابك فيها القيود. وهنا يأتي دور النظمة كجسر عبور، حيث نقوم بترجمة الوضعية من سياقها اللغوي إلى لغة الرياضيات والمعادلات.

👈رأينا في الفقرة الثانية نموذجا لمسألة في الرياضيات يتطلب حلها توظيف نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين، إذ قمنا بتحويل العبارات اللغوية إلى معادلات الرياضيات بتوظيف للمجهولين x و y. 

👈 وللقيام بذلك نتبع الخطوات التالية:

◈- اختيار المجاهيل (Choix des inconnues):  مثلا، ليكن x  ثمن القلم و y  ثمن الدفتر...

◈- صياغة النظمة (Mise en système): تحويل نص المسألة إلى معادلتين.

◈- حل النظمة (Résolution du système) :اختيار إحدى الطرق الجبرية السابقة.

◈- صياغة الجواب (Rédaction de la réponse): كتابة الجواب عن أسئلة المسألة حسب النتيجة المتوصل إليها

◈- التحقق (Vérification): التأكد من أن القيم المحصل عليها تحقق شروط المسألة

👈 ونقترح هنا بعض المسائل لأخذ فكرة عامة حول هذه الخطوات:

المسألة1: 

◈- اختيار المجاهيل (Choix des inconnues):

ليكن xهو العدد الأصغر وy  هو العدد الأكبر

◈- صياغة النظمة (Mise en système):

←استخراج المعادلة الأولى:  الفرق بين العددين هو 15 يعني: y - x = 15     (لأن y هو الأكبر)

← استخراج المعادلة الثانية: إذا أضفنا 10 إلى كلٍّ منهما، يصبح العدد الأكبر ضعف العدد الأصغر 

يعني أن:  العدد الأصغر  +  10  =  (العدد الأكبر + 10) مضروب في 2

وباستعمال الرموز نحصل على المعادلة الثانية: x+10 = (y+10)×2 

↩ النتيجة: توصلنا إلى النظمة التالية: 

◈- حل النظمة (Résolution du système)

الاسهل هنا هي طريقة التأليفية الخطية حيث يسهل التخلص من المجهول x 

حل النظمة هو الزوج (25- ;40-)

◈- صياغة الجواب (Rédaction de la réponse)

العدد الأصغر هو 40- ، والعدد الأكبر هو 25-

◈- التحقق (Vérification):

هذه المرحلة اختيارية نقوم بها بيننا وبين أنفسنا (على المسودة مثلاً) للتأكد من صحة النتائج قبل تقديم الجواب النهائي. فهي ليست جزءاً إلزامياً من الجواب الرسمي، ولكنها فقط مهارة ذاتية تهدف إلى قطع الشك باليقين ومطابقة الأرقام مع واقع المسألة.

← هل فعلا 40- أصغر من 25- ؟ الجواب نعم

← هل فعلا الفرق بين العددين يساوي 15؟ الجواب نعم: 15=25 - 40 = 40 + 25 - = (40-) - 25 -

← هل فعلا العدد الأكبر سيصبح ضعف العدد الأصغر إذا أضفنا لكل واحد 10؟؟ الجواب نعم

   العدد الأكبر : 15- = 10 + 25 -

   العدد الأصغر: 30- = 10 + 40-

   نلاحظ أن 30- ضعف 15- 

المسألة 2 

◈-Choix des inconnues

- Soit x le prix d’un croissant,

- Et y le prix d'un pain au chocolat.

◈-Mise en système

D'après les données de l'énoncé, nous pouvons établir les deux équations suivantes :

- Pour l'achat d'Ahmed :  Ahmed a acheté deux croissants et un pain au chocolat pour 11 DH

c.-à-d. : 2x + y = 11

- Pour l'achat de Brahim : Brahim a acheté un croissant et trois pains au chocolat pour 18 DH

c.-à-d. :  x + 3y = 18

Le système est donc : 

◈-Résolution du système

Utilisons la méthode de substitution (en isolant y dans la première équation) :

De l'équation (1), on tire : y = 11 - 2x

Remplaçons y par sa valeur dans l'équation (2) :

                x + 3y = 18  ↔  x + 3(11 - 2x) = 18  

                                  ↔ x + 33 - 6x = 18

                                   ↔ -5x = 18 - 33

                                    ↔ -5x = -15

                                    ↔ x = -15/-5

                                    ↔ x= 15/5

                                    ↔ x= 3

Maintenant, calculons y  en remplaçant x par 3 :

y = 11 - 2x  ↔   y = 11 - 2×3 

                   ↔ y=11-6

                    ↔ y=5

Donc, le couple solution du système est (3 ; 5).

◈-Rédaction de la réponse

Le prix d'un croissant est 3 DH.

Le prix d'un pain au chocolat est 5 DH.

◈-Vérification

-------------✹-------------

⑦ أدوات مساعدة في النظمات

👈 نقترح عليكم هنا أداتين مساعدتين:

⬪ الأولى تقوم بتوليد النظمات من أجل التدريب

⬪ والثانية من أجل التأكد من صحة نظمة قمت بإنجازها

 إن الهدف الأساسي من هذه الأدوات الرقمية هو أن تكون مرشداً ذكياً يساعدك على التأكد من صحة نتائجك النهائية بعد بذل الجهد الشخصي في الحل. تذكر دائماً أن الرياضيات مهارة تُبنى بالممارسة والخطأ؛ لذا، لا تجعل هذه الأدوات وسيلة للغش أو للاعتماد الكلي الذي يعطل قدراتك الذهنية على التحليل والنمذجة.

إن استخدامك لهذه الأداة لتصحيح أخطائك الذاتية هو قمة الوعي، أما استخدامها كبديل عن التفكير فهو يحرمك من فهم منطق الحل الذي هو جوهر التميز في الرياضيات. تعلم كيف تحل بيدك أولاً، ثم استعن بالتقنية لتكون الحَكَمَ الذي يؤكد لك أنك على الطريق الصحيح.

الأداة الأولى: مولد النظمات

قم بالنقر على زر 'إنشاء نظمة جديدة' وستظهر النظمة

(يمكن إظهار حل النظمة بالنقر على زر 'إظهار الحل')

{

الأداة الثانية: حل النظمات

قم بكتابة الأعداد داخل الخانات ثم انقر على زر "حل النظمة"

(تأكد من معامل كل مجهول في كل معادلة)

{

x + y =
x + y =

-------------✹-------------

⑧ تمارين  وأنشطة  (مختارة من نماذج امتحانات سابقة)

التمرين 1

التمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

التمرين 5

التمرين 6

التمرين 7

التمرين 8

التمرين 9

يمكن معاينة حلول هذه التمارين وأخرى متعلقة بدروس أخرى من خلال الرجوع إلى مقال سابق حول مختلف التمارين التي يمكن إيجادها في الامتحان الجهوي في الرياضيات عبر النقر على الرابط من هنا