كثيرا ما نجد متعلمين ومتعلمات متمكنين من إنجاز عملية الضرب، لكنهم غير قادرين على توظيفها في إيجاد حلول لمسائل رياضياتية متعلقة بها، هذا مثال واحد فقط من بين أمثلة عديدة تبين أن المتعلم عاجز عن توظيف تعلماته في الرياضيات في البحث عن حلول لمختلف المسائل داخل المدرسة أو خارجها.
فالمسائل الرياضياتية طالما تشكل شبحا مخيفا بالنسبة للمتعلم وأيضا للمدرس، فالأول يعتقد أنه من المستحيل حل مسالة لكونه غير مهيأ لها فيتراجع إلى الوراء ويستسلم قبل البدء والثاني يتهرب من تقديمها للمتعلم لأنه يراها بدون نتيجة، فقط تنهك قواه وجهوده، من هنا يطرح التساؤل: ما السبب الذي جعل المتعلم عاجز عن حل المسائل الرياضياتية؟؟
سنقوم في هذا المقال بالإجابة عن هذا التساؤل والحوض في ذكر بعض هذه الأسباب والاستراتيجيات الممكن اتباعها لتحسين مستوى المتعلم وجعله قادرا على مواجهة المسألة الرياضياتية، لكن قبل ذلك سنقوم بعرض لأهم الجوانب المحاطة بمفهوم المسألة في الرياضيات.
فيما مضى كان درس المسائل يقدم مستقلا عن الدروس الأخرى في الرياضيات، لكن بعد تبنى مقاربة التدريس بالكفايات، أصبح مجال حل المسائل مدمجا ويقدم بشكل مستعرض داخل المجالات الأخرى للرياضيات ( الأعداد والحساب، الهندسة، القياس، تنظيم البيانات)، ولعل السبب في ذلك هو توظيف هذه المسائل (والتي سيتغير اسمها فيما بعد إلى ما يطلق عليها وضعيات مسائل أو وضعيات مشكلات) كجزء لا يتجزأ في بناء التعلمات وأداة ديداكتيكية في كل الأنشطة المتعلقة بدرس في الرياضيات سواء من أجل:
- التحفيز على تعلم مفاهيم أو تقنيات جديدة ( أنشطة ما يسمى بمرحلة البناء والترييض)
- أو مراقية التحكم في التعلمات الرياضياتية من خلال وضعيات الاستثمار والدعم.
- أو تعلم البحث، بمعنى تجميع المعطيات وصياغة الأسئلة، ومعالجة المعلومات وتقييم طرق الحل.
إضافة إلى ذلك، فإن المكتسبات الرياضياتية لا تأخذ دلالتها ومعناها إلا في مناسبات استعمالاها وتوظيفها بطريقة فعالة وناجعة في حل مشكلات تعترض المتعلم، أي أن معيار اكتساب الرياضيات مرتبط أساسا بتمكن المتعلم من توظيف مكتسباته في حل المشكلات التي تعترضه في أية مرحلة من مراحل بناء الدرس وأيضا في حياته اليومية، وليس فقط في تمكنه من هذه المفاهيم بصورة تجريدية لا تفسير لها في الواقع. فالمتعلم الذي لا يحفظ جدول الضرب لكن يستطيع توظيف الضرب في حل مسألة رياضياتية أفضل من متعلم يحفظ جدول الضرب عن ظهر قلب لكن لا يدري متى يستعمله ولماذا يحفظه.
المتعلم الذي لا يحفظ جدول الضرب لكن يستطيع توظيف الضرب في حل مسألة رياضياتية أفضل من متعلم يحفظ جدول الضرب عن ظهر قلب لكن لا يدري متى يستعمله ولماذا يحفظه.
أولا: تعاريف وفروقات: المسألة - وضعية مسألة - وضعية مشكلة
👈المسألة في الرياضيات هي وضعية تواجه المتعلم، وتحتم عليه التفكير من أجل وضع خطة منهجية يوظف فيها مكتسباته ومهاراته الحسابية للوصول إلى الحل بأقل جهد وأسرع وقت ممكن.
👈 الفرق بين المسألة والتمرين في الرياضيات هو أن التمارين الرياضياتية تستهدف المفاهيم الرياضياتية من خلال تطبيق قواعد ومبادئ وتعميمات معينة، مثلا: إنجاز عملية حسابية، رسم مستقيمين متعامدين، حساب مساحة مستطيل، تحويل قياس معين إلى وحدة معينة ...
👈 أما المسألة فغايتها تزيد عن غاية التمرين من خلال انتقاء هذه المفاهيم وتوظيفها وتطبيقها على أرض الواقع لمحاولة إيجاد حل لها. مثلا: مسألة يتطلب حلها توظيف عمليات الجمع، أو توظيف مفهوم التعامد، أو توظيف قواعد حساب المساحات، أو إنجاز تحويلات على قياسات معينة ويمكن لمسألة واحدة أن تتضمن أكثر من مفهوم.
👈 الوضعية المسألة هو المصطلح الجديد الذي يطلق على المسألة في الرياضيات في إطار المقاربة بالكفايات، لاعتبار الوضعية المسألة تضع المتعلم أمام موقف يخصه هو بنفسه لا غير، يشعر فيه أنه أمام مشكل وعائق معرفي يحاول تجاوزه من خلال مجموعة من العمليات المعينة للتوصل إلى الحل المطلوب، أما المسألة فيتم اعتبارها عامة لا يحس المتعلم أنه هو المستهدف فيها. وتختلف المسألة عن الوضعية المسألة في طريقة الصياغة والتعبير عما هو مطلوب إنجازه من المتعلم وأيضا ما يرافقها من صور أو تمثيلات أو نماذج. فمثلا بدل ما تقول:
" ذهب طفل إلى السوق ومعه ورقة نقدية من فئة كذا وكذا ... اشترى ... كم يتبقى لديه ؟؟"
يتم تعويضها بقولنا:
" طلبت منك أمك الذهاب إلى السوق وشراء ... منحتك ورقة نقدية من فئة ... اشتريت... لاحظ أثمنة المشتريات المبينة في الصورة ثم قم بحساب ما تبقى لديك ..."
↤ هذا مثال فقط لفهم أن الوضعية المسألة يحس فيها المتعلم أنه جزء منها على عكس المسألة التي يرى المتعلم أنه لا تخصه فلا يبالي بها، فطريقة الصياغة لا يجب الاستهانة بها، إذ لها دور مهم في جلب اهتمام المتعلم ودخوله في الوضعية الشيء الذي يساعد المتعلم في إبراز مؤهلاته ومهاراته لمحاولة البحث عن الحل مهما كان الأمر.
👈 هناك من يطلق اسم الوضعية المشكلة على الوضعية المسألة لاعتبارهما تدلان على نفس المعنى، وهناك من يعتبر الوضعية المشكلة أعم من الوضعية المسألة لكون هذه الأخيرة تتعلق بجزء معين من درس معين، مثلا تقديم مفهوم الطرح، في حين أن الوضعية المشكلة تعمل على إدماج مجموعة من المعارف التي تم اكتسابها ويترك للمتعلم حق التصرف واختيار الملائم منها للبحث عن الحلول. فالوضعية المشكلة تشمل مجموعة من المشكلات تعتبر أكثر عمقا وأكثر شمولية في حين الوضعية المسألة تهتم بجزء معين من الدرس.
👈 لكن هذا الاختلاف لم نجده إلا في اللغة العربية لكون الوضعية المسألة والوضعية المشكلة لهما نفس الترجمة باللغة الفرنسية (situation-problème) والإنجليزية (situation problem)
والذي يهمنا نحن في هذا المقال ليس هو الاختلاف في الأسماء أو التعاريف، بقدر ما يهمنا جرد لأهم الأسباب التي دفعت بالمتعلمين إلى عدم إبراز قدراتهم ومهاراتهم لحل مسألة في الرياضيات.
✤✤✤✤✤✤
ثانيا: أنواع المسائل الرياضياتية
👈 تنقسم الوضعية المسألة حسب تنوع طرق حلها إلى: وضعية مسألة مفتوحة إذا توفرت عدة إجراءات وطرق حلها، ووضعية مغلقة إذا توفرت لحلها طريقة واحدة لا أكثر.
👈 كما يمكن تقسيم الوضعية المسألة حسب زمن توظيفها في مراحل الدرس في الرياضيات إلى:
- وضعية مسألة التي تستثمر في خلخلة معارف المتعلم ← وضعية الاستكشاف
- وضعية مسألة تستثمر في بناء التعلمات ← وضعية ديداكتيكية
- وضعية مسألة تستثمر في الربط والتوليف ← وضعية للهيكلة
- وضعية مسألة تستثمر في تعلم دمج الموارد ← وضعية إدماجية
- وضعية مسالة تستثمر في تقويم درجة نماء الكفاية ← وضعية تقويمية
وتمثل هذه الخطاطة أنواع هذه الوضعيات (دليل المفيد في الرياضيات المستوى الأول صفحة 21)
✤✤✤✤✤✤
ثالثا: أهمية المسائل الرياضياتية
👈 الكثير منا له من المعلومات والمعارف المخزنة في ذهنه يستعملها عند الحاجة إليها، وحل المسائل في الرياضيات لا يحتاج إلى هذه المعارف فحسب، وإنما أيضا إلى طريقة التفكير في كيفية تطبيقها في الزمان والمكان المناسبين للوصول إلى الحل، من هنا يتضح لنا أن المسائل الرياضياتية تنمي فينا طريقة التفكير كأداة نستخدمها لفك غموض المسائل.
👈 المسائل الرياضياتية تجعل تعلم واكتساب المفاهيم والقواعد الرياضياتية ذات معنى، لكونها تطبق في الحياة اليومية للمتعلم وتساعده على ممارسة حياته الاجتماعية في تعاملاته مع الآخرين خاصة فيما يتعلق بالمعاملات الشرائية.
👈 المسائل الرياضياتية تنمي لدى المتعلم مهارة حل المشكلات.
👈 المسائل الرياضياتية تساعد المتعلم على تعلم المهارات والمفاهيم الرياضياتية الجديدة.
👈 المسائل الرياضياتية تكسب المتعلم استراتيجيات متنوعة لحل المسائل وتطبيقها
👈 حل المسائل الرياضياتية تنمي لدى المتعلم الثقة بالنفس والاعتماد عليها والرغبة في التعلم واكتساب معارف جديدة.
✤✤✤✤✤✤
رابعا: أسباب ضعف المتعلم في التعامل مع المسائل الرياضياتية
ترجع أسباب عجز المتعلم أمام حل المسائل الرياضياتية إلى طبيعة العلاقة القائمة بين المدرس والمتعلم والمعرفة في إطار التعاقد الديداكتيكي فكل خلل في هذا التعاقد يؤدي إلى إحداث تأثيرات سلبية على التعاقد وبالتالي إلى فشل المتعلم وعجزه. ومن أمثلة لهذه التأثيرات السلبية فيما يتعلق بالمسائل الرياضياتية:
1 ◀ تقديم الحل المباشر لمسألة في الرياضيات دون ترك فرص للمتعلم للقيام بجهد وإنجاز ما طلب منهم بالاعتماد على ذاته، لظروف معينة كضيق الوقت وكثرة المواد الدراسية مثلا... وهذا ينتج متعلم اتكالي لا يستطيع إنجاز أية مهمة دون تدخل من مدرِّسه، وبالتالي لا يستطيع القيام بأي شيء في حياته إلا بتقديم المساعدة إليه من طرف الأب، الأم ، الأخ...
2 ◀ عدم تمكن المتعلم من فهم نص المسألة لكونها مقدمة بلغة غير لغته أو بها مفردات صعبة الفهم، أو مركبة تركيبا يصعب على المتعلم فكه وفهم المضمون، هنا طبعا يصعب، إن لم نقل يستحيل على المتعلم أن يقوم بحل المسألة الرياضياتية.
3 ◀عدم تمكن المتعلم من إدراك حقيقي للمفاهيم الرياضياتية، فتراه مثلا يستطيع إنجاز عملية الضرب دون خطأ، لكنه عاجز عن توظيف لهذه العملية في حل مسألة مرتبطة بها، فاستيعاب المفاهيم الرياضية ودلالاتها تنمي في المتعلم القدرة على تحويل نص المسألة من تعابير لغوية إلى تعابير رياضياتية ملائمة وتحديد العمليات الحسابية المناسبة، وكل خلل في إدراك لأحدى هذه المفاهيم يكون عائقا أمام حل المتعلم لهذه المسائل الرياضياتية.
4 ◀ عدم قدرة المتعلم على استخراج المعطيات من نص المسألة والتمييز بينها وتحديد العلاقة بينها، واعتبار جميع المعطيات الموجودة في نص المسألة أساسية، ويرجع ذلك إلى تعود المتعلم على ذلك من خلال إنجازه لمسائل أخرى في السابق.
5 ◀ الاعتماد على خطط عشوائية وتتبع مراحل غير منهجية لإنجاز مسألة رياضياتية، وذلك بسبب عدم الاطلاع على الخطوات الأساسية لحل مسألة رياضياتية وتطبيقها على نطاق واسع كي تسهل توظيفها في الحل.
6 ◀ ضعف قدرة المتعلم على التخمين والتقدير بسبب تقزيم ذاكرته ومعارفه وجعلها ترتكز على أشياء معينة دون أخرى، السبب الذي يجعل المتعلم غير قادر على الانفتاح حول معارف أخرى جديدة واعتماده على معارف سابقة بشكل تكراري واللجوء إلى الآلية والاتكالية.
7 ◀ إسراع المتعلم في تقديم الحل، بصورة مقصودة أو غير مقصودة، وإجراء العمليات الحسابية التي يتقنها فقط دون أن يدرك العلاقة بينها وبين المسألة أو ربط الحل مع آخر عملية حسابية تعلمها.
8 ◀ الخوف من الخطأ، (أو العقاب عند الخطأ) من بين أسباب الفشل الدراسي، ليس فقط في الرياضيات.
9 ◀ عدم تنويع طرق الاشتغال داخل الفصل الدراسي، الشيء الذي يؤدي إلى الشعور بالملل وبالتالي وضع حاجز أمام الإبداع والتعبير وإبداء الرأي والدفاع عن الأفكار وتأكيد الذات والإحساس بالأمان الذي هو أساس التعلم.
✤✤✤✤✤✤
رابعا: سبل معالجة الأسباب
يتضح مما سبق أن المتعلم وهو يحل المسألة الرياضياتية يمكن أن تواجهه صعوبات، وأغلبها متمركز حول قراءة المسألة وفهمها واستيعابها، وبذلك يجب العمل على تحسين قدرات المتعلمين على استيعاب المشكلة، والبحث في كيفية الحل أكثر من الوصول للحل.
في هذه الفقرة سنتحدث عن سبل معالجة هذه الأسباب بنفس الترتيب الذي ذكرت به في الفقرة السابقة:
السبب الأول ← لا يجب تقديم حل أو أي مساعدة إلا عند الضرورة القصوى التي تستدعي ذلك، كالتدخل لشرح مفردة أو عبارة في نص المسألة.
السبب الثاني ← من شروط صياغة الوضعية المسألة أن تكون مصاغة صياغة واضحة ومحفزة ليس بها أي لبس لغوي ولا تحتوي على عبارات تحتمل تأويلات كثيرة حتى يتسنى للمتعلم فهمها، لأن الهدف هنا، طبعا، غير متعلق بتمكن المتعلم من فهم نص المسألة وإنما هو متعلق بمدى قدرة المتعلم على حلها. كما من الضروري مد المتعلم بمختلف الدعامات الديداكتيكية الميسرة.
السبب الثالث ← عند تقديم المفاهيم الرياضياتية، يجب تتبع المراحل الحديثة لتقديم الدروس وفق بيداغوجيا الكفايات ( يمكن الولوج إلى مقال حول مراحل درس الرياضيات من هنا)، حيث يتم الانطلاق من وضعية مشكلة تتناول موضوع المفهوم الرياضياتي المقدم حيث يحاول المتعلم حل المسألة بما يتوفر عليه من معارف ومهارات سابقة فيصل إلى أن هذه المعارف غير كافية لحل المسألة ولابد من التعرف على المفهوم الجديد لحل هذه المسألة... وبهذه الطريقة يتعرف المتعلم على هذا المفهوم ويدرك تمام الإدراك متى يوظفه لحل مسائل أخرى تتطلب توظيف ذاك المفهوم.
السبب الرابع ← يجب تنويع طرق عرض المسائل وتنويع الأسئلة المطروحة حولها، مثلا:
• تقديم مسائل تحتوي على معطيات رئيسية وأخرى ثانوية وطلب من المتعلم استخراج الأساسية قبل حل المسألة.
• تقديم مسألة ناقصة المعطيات وطلب المتعلم حلها.
• بدل تقديم سؤال واحد مباشر، يمكن تقديم أسئلة أخرى قبله للتوصل إلى الجواب النهائي، أو العكس.
• طلب من المتعلم تركيب مسألة انطلاقا من سؤال حولها ويحاول حلها، أو العكس، أي وضع أسئلة لمسألة معينة...
السبب الخامس ← إمداد المتعلم بالخطوات المنهجية والاستراتيجيات المختلفة المتبعة في حل المسألة الرياضياتية وتدريبه عليها. (سنتحدث عن هذه الخطوات والاستراتيجيات في الفقرات الموالية)
السبب السادس ← هذا مشكل عام ولا يخص الرياضيات فقط، ولمعالجته يجب تنويع أشكال وأساليب التعلم وتوظيف المعينات الديداكتيكة المختلفة وتنويع أشكال الاشتغال داخل الفصل وخارجه (الأنشطة الموازية: مسابقات، خرجات، ندوات...)
السبب السابع ← تنبيه المتعلم إلى عدم الإسراع في اتخاد أي قرار قبل التفكير العميق، كما يمكن هنا طلب المتعلم من التحقق من جوابه قبل تقديم الحل (وهي مرحلة أساسية من المراحل المنهجية لحل مسألة في الرياضيات) حتى يدرك أن كل عملية حسابية يقوم بها لها دلالة خاصة مختلفة عن الأخرى. كما يجب مناقشة الحلول المقدمة وتنويع الاختيارات والاستراتيجيات.
السبب الثامن ← تقبل الأخطاء عند الاشتغال على حل المسائل، على اعتبار أن الخطأ يندرج ضمن سيرورة التعلم ويلازمها، لذلك، بدل ما نوبخ المتعلم الخاطئ، يجب الانطلاق من خطئه للبدء من جديد والبحث عن الحلول وربما يكون ذاك الخطأ الذي ارتكبه في البداية قد منحه نهجا آخر يتبعه للوصول إلى الحل.
السبب التاسع ← تنظيم العمل داخل الفصل وتنويعه حسب ما تمليه الوضعية المسألة المقترحة وحسب مراحل الدرس:
• في مرحلة بناء التعلمات من الأحسن العمل في ثنائيات أو مجموعات
• في مرحلة الاستثمار يستحسن العمل بشكل فردي أو ثنائي
• وفي مرحلة التقويم والدعم يجب العمل على شكل فردي لكون المرحلة تستدعي التعرف على إمكانيات كل متعلم على حدة.
✤✤✤✤✤✤
خامسا: الخطوات المنهجية لحل مسألة رياضياتية:
لتحسين قدرات المتعلم في حل المسألة الرياضياتية، أوصت العديد من الأبحاث إلى اعتماد استراتيجيات ممنهجة لحل المسائل في الرياضيات، ومن بين هذه الاستراتيجيات التي عرفت قبولا في الرياضيات ما ذكره عالم الرياضات جورج بوليا في كتابه (البحث عن الحل) حيث اقترح أربع خطوات منهجية لحل المسألة الرياضياتية.
⇚الخطوة الأولى: قراءة المسألة وفهمها. يجب عرض المسألة بلغة واضحة ومفهومة لأن فهم السؤال يعتبر نصف الإجابة. ولا يمكن الإجابة عن سؤال لا تفهمه. ففهم المسألة ووضوحها شرط ضروري قبل التفكير في الحل. ويمكن للمدرس التأكد من فهم المتعلم لها من خلال توجيه أسئلة لها علاقة بالمسألة.
⇚الخطوة الثانية: ابتكار خطة الحل. هي أهم مرحلة من مراحل حل المسألة لأن الجزء الرئيسي في حل مسألة رياضياتية هو الوصول إلى فكرة أو خطة الحل، وفي نفس الوقت هي أصعب المراحل على المتعلم، لذا ينبغي للمدرس أن يساعده ليتوصل إلى فكرة الحل بنفسه دون أن يفرض عليه خطة لا يفهمها من خلال الاعتماد على بعض الأساليب الخاصة التي يمكن استخدامها لحل مسألة (سنتحدث عن هذه الأساليب في الفقرة الموالية)
⇚الخطوة الثالثة: تنفيذ خطة الحل. تعد هذه المرحلة أسهل من سابقتها، لأن إدراك الحل ليس بالأمر السهل وعند بلورة فكرة الحل يسهل تنفيذها شرط أن يتم التأكد من تنفيذها بشكل صحيح من خلال إنجاز كل العمليات الحسابية بصورة سليمة.
⇚الخطوة الرابعة: التحقق أو مراجعة الحل. يتم خلالها التأكد من صحة الحل. هذه المرحلة كثيرا ما يهملها المتعلمون، لأنهم يعتقدون أن حل المسألة ينتهي بمجرد الوصول إلى الحل، وهذا يفقد جوانب مهمة وأكثر فائدة في حل المسألة، لذا ينبغي على المدرس تشجيع المتعلم على إعادة النظر في النتيجة التي توصلوا إليها وفحصها والتمعن في الخطوات التي مرت منها، بهذه الطريقة يستفيد المتعلم من طريقة التعامل مع المسائل وتزداد قدرته على حل المسائل الأخرى. ويتم التحقق من الحل بطرق متنوعة منها مراجعة خطوات الحل، أو السير بخطوات عكسية لها، أو اعتماد طريقة التعويض...
✤✤✤✤✤✤
سادسا: معايير تقييم التحكم في حل المسألة الرياضياتية
لا شك أن معايير تقييم التحكم في حل المسألة الرياضياتية من شأنها أن تمكن المدرس من تقييم المتعلم، وبصيغة أخرى معرفة مدى تحكمه في حل المسألة الرياضياتية؟ ولعل أهم معايير تقييم التحكم في حل المسألة الرياضية هي:
- التفسير السليم للوضعية: ويقصد به أن يبين التلميذ أنه فهم المسألة كأن يختار المعطيات المفيدة ويختار العمليات المناسبة.
- الاستعمال السليم للأدوات في الوضعية: والمقصود بها هو الإنجاز السليم للعمليات.
- انسجام الإجابة: ويعني الجواب عن السؤال بجملة مفيدة وكتابة الوحدة المناسبة (الدرهم، الغرام، المتر...).
✤✤✤✤✤✤
سابعا: بعض الأساليب الخاصة لحل مسألة في الرياضيات.
من أهم مراحل جورج بوليا التي تحدثنا عنها في الفقرة السابقة، هي مرحلة ابتكار أو وضع خطة، خلالها يبحث المتعلم عن طريقة وأسلوب ما للوصول إلى الحل، وتختلف هذه الأساليب من متعلم لآخر حسب القدرات الذهنية لكل متعلم وأيضا من مسألة إلى أخرى حسب طبيعة المسألة وطريقة طرح الأسئلة.
ومن بين أساليب حل مسألة في الرياضيات والتي غالبا ما يتم توظيفها من طرف الكثير من المدرسين والمتعلمين، نقترح ما يلي مع أمثلة توضيحية:
-----------------------------
✺أسلوب التخمين والتحقق: ويطلق عليها أيضا المحاولة والخطأ المنظّمة، ويتم من خلالها تخمين الإجابة الصحيحة، لكن ليس بطريقة عشوائية، بل إنه تخمين ذكي يعتمد على المنطق، حيث تتم الاستفادة من كل محاولة من المحاولات التي تسبقها: فالمحاولة التالية يجب أن تكون أقرب إلى الحل من المحاولة السابقة إلى أن يتم التوصل إلى الحل. فمجرد المحاولات العشوائية غير المرتبطة ببعضها تؤدي إلى إطالة الزمن المستغرق في الحل، وقد لا تؤدي إلى الحل نهائياً.
👈المثال التالي يوضح ذلك:
"تتوفر سلمى على 28 كرة حمراء وزقاء، إذا علمت أن عدد الكرات الحمراء هو ثلاثة أضعاف الكرات الزرقاء، فاحسب عدد الكرات الحمراء وعدد الكرات الزرقاء التي تتوفر عليها سلمى؟"
1- قراءة وفهم المسألة: تحديد المعطيات وفهم المطلوب.
2-ابتكار خطة الحل: سنختار هنا كما أشرنا إلى ذلك، طريقة التخمين والتحقق.
3- تنفيذ خطة الحل:
↤ نخمن عددا أصغر طبعا من 28 ونعتبره عدد الكرات الزرقاء (لأنه هو الأصغر)
↤ مثلا، نأخذ 10 هو عدد الكرات الزرقاء
↤ إذن، عدد الكرات الحمراء هو 30=3×10
↤ ويكون مجموع الكرات هو 40=30+10
↤ نلاحظ أنه أكبر بكثير من عدد الكرات الحقيقي الذي هو 28
↤ إذن، نختار عدد أصغر من 10، مثلا 6 (هو عدد الكرات الزرقاء)
↤ فسيكون عدد الكرات الحمراء هو 18=3×6
↤ ومجموع الكرات هو 24=6+18
↤ نلاحظ أن أصغر بقليل من عدد الكرات الحقيقي الذي هو 28
↤ إذن نستنتج أن عدد الكرات الزرقاء يكون بين 10 و6
↤ نجرب 7 (عدد الكرات الزرقاء)
↤ فيكون عدد الكرات الحمراء هو 21=3×7
↤ ومجموع الكرات هو 28=7+21
↤ وهو المجموع الحقيقي لعدد الكرات
↤ وبالتالي يكون الجواب النهائي، عدد الكرات الحمراء 21 وعدد الكرات الزرقاء 7.
👈 تلاحظون أننا انطلقنا من عدد ثم في كل مرحلة نتحقق من كونه يحقق المسألة، وكل مرحلة نستفيد منها هل نزيد أم ننقص حتى نتوصل إلى الحل.
4- التحقق من الحل، نقوم هنا مثلا بمراجعة لخطوات الحل حتى نتأكد من صحة العمليات وما قمنا بإنجازه.
-----------------------------
✺أسلوب الرجوع للخلف (الحل العكسي). يتم في هذا الأسلوب البدء من نهاية المشكلة، والسير نحو مقدمتها، ومن الحالات التي يفضل فيها استخدام هذا الأسلوب الحالة التي يكون فيها ناتج المسألة معروفاً، ولكن طريقة الوصول إليه ليست معروفة، فيتم بذلك عكس العمليات التي تُجرى عندما يتم البدء من مقدمة المسألة.
👈 المثال التالي يوضح ذلك:
" ذهب فلاح إلى السوق وفي حقيبته مبلغا من المال، بعد أن باع مجموعة من الخرفان بمبلغ 48600 درهم ومجموعة من الماعز بمبلغ 3775 درهما، واشترى بقرتين بمبلغ 44125 درهما ومواد العلف بمبلغ 785,75 درهما، بقي لديه مبلغا قدره 9607,50 درهما. ما هو المبلغ الذي كان لديه عند ذهابه إلى السوق؟"
1- قراءة وفهم المسألة، تحديد المعطيات (ما يدل عليه كل عدد من أعداد المسألة) والمطلوب:
2- ابتكار خطة الحل: سنختار في حل هذه المسألة طريقة الرجوع للخلف.
3- تنفيذ خطة الحل:
↤ نبدأ من نهاية المسألة: " بقي لديه 9607,50 درهما"
↤ نحن نعرف أن المصاريف تطرح من المبلغ، لكن هنا نقوم بالعكس، أي نضيفها إلى المبلغ الباقي (هذا ما تدل عليه هذه الطريقة)
↤ أي: 10393,25 = 785,75 + 9607,50 (إضافة مصاريف شراء العلف)
↤ ثم: 54518,25= 44125+10393,25 (إضافة مصاريف شراء البقرتين)
↤ ونحن نعرف أيضا أن المداخيل تضاف إلى المبلغ، لكن هنا نقوم بعكس العملية أي نطرحها من المبلغ الذي حصلنا عليه.
↤ أي: 50743,25 = 3775 – 54518,25 (طرح مداخيل بيع الماعز)
↤ ثم: 2143,25 = 48600 – 50518,25 (طرح مداخيل بيع الخرفان)
↤ فيكون الحل هو : المبلغ الذي كان لدى الفلاح عند ذهابه إلى السوق هو 2143,25 درهما.
ويمكن فهم الطريقة أكثر من خلال هذه الخطاطة:
4-التحقق من الحل، نقوم هنا بتعويض المبلغ الذي كان لدى الفلاح بما حصلنا عليه (2143,25 درهما)، ثم نضيف إليه المداخيل (ثمن بيع الخرفان والماعز) ثم نطرح منه المصاريف (ثمن شراء البقرتين والعلف) ونتأكد هل العدد الذي حصلنا عليه هو نفسه الباقي في المسألة (9607,50 درهما).
-----------------------------
✺ أسلوب البحث عن نمط: الأنماط عبارة عن تكرارات منتظمة، يعتمد هذا الأسلوب على تحليل المسألة للحصول على نمط أو علاقة تربط المعطيات فيما بينها ومن ثم الوصول إلى تعميم.
👈 المثال التالي يوضح طريقة استعمال هذا الأسلوب في حل المسائل:
" لاحظ الأشكال الثلاثة المبينة في الصورة:
- في المربع الأول عدد التربيعات المكونة للضلع هو 3 وعدد التربيعات الملونة هو 8
- في المربع الثاني، عدد التربيعات المكونة للضلع هو 4 وعدد التربيعات الملونة هو 12
- في المربع الثالث، عدد التربيعات المكونة للضلع هو 5 وعدد التربيعات الملونة هو 16
◀ ما هو عدد التربيعات التي سنلونها في مربع يحتوي ضلعه على 40 تربيعة ؟ "
1- قراءة وفهم المسألة:
- ملاحظة الصورة وربطها بمعطيات المسألة: هل فعلا ما تدل المعطيات مطابق لما هو مبين في كل مربع؟؟
- تحديد المطلوب: باتباع نفس النهج وبدون القيام برسم الشكل ما هو عدد التربيعات التي يمكن تلوينها في مربع يحتوي ضلعه على 40 تربيعة؟؟
2- ابتكار خطة الحل: سنختار في حل هذه المسألة البحث عن النمط وتعميمه في بقية المربعات.
3- تنفيذ خطة الحل:
↤ نحول المعطيات السابقة إلى الخطاطة التالية:
↤ نلاحظ أنه عند الانتقال من سطر إلى سطر على اليسار نضيف 1 وعلى اليمين نضيف 4:
↤ من هنا نستنتج أن عدد التربيعات التي سنلونها في مربع يحتوي ضلعه على 6 تربيعات هو 20 وفي مربع يحتوي ضلعه على 7 تربيعات سنلون 24 وهكذا... لكن هذه العملية طويلة للوصول إلى المطلوب الذي هو 40 تربيعة.
↤ سنبحث عن نمط آخر، كما توضح الصورة:
↤ وبهذه الطريقة سنحصل على المطلوب منا:
↤ وبالتالي حل المسألة هو: عدد التربيعات التي سنلونها في مربع يحتوي ضلعه على 40 تربيعة هو 156 تربيعة.
4-التحقق من الحل، هنا يتم مراجعة الخطوات السابقة وتطبيقها على أعداد أخرى ( مثلا المربع الذي يحتوي ضلعه على تربيعتين، أو تربيعة واحدة ) حتى يتم التأكد أن النمط صحيح ويمكن تعميمه على أي مربع كيفما كان عدد تربيعات ضلعه.
-----------------------------
👈في الأمثلة التي سنقدمها لاحقا الخاصة بالمسائل سنتطرق فقط إلى الخطوة الثالثة (تنفيذ خطة الحل) من خطوات إنجاز المسألة السالفة الذكر، لأن الاختلاف يكون فقط في هذه المرحلة، أما باقي الخطوات فهي تقريبا متشابهة من مسألة إلى أخرى.
✺أسلوب تبسيط المسألة: يتم من خلال هذا الأسلوب حل مسألة مشابهة للمسألة الأصلية ذات علاقة بها. ويكون تبسيط المسألة من خلال استخدام أرقام أصغر أو أرقام أسهل في الحسابات، وقد يتم تبسيط المسألة من خلال إهمال بعض الشروط مؤقتاً. كما أن تبسيط المسألة قد يكون من خلال دراسة حالات خاصة ثم محاولة الاستفادة من حل هذه الحالات الخاصة في حل المسألة الأصلية. ويمكن استخدام هذه السلوب مع أساليب أخرى لحل المسألة؛ بمعنى أنها قد تكون خطوة مساعدة في حل المشكلة.
👈ولتوضيح هذا الأسلوب نختار المثالين التاليين:
المثال الأول: توظيف مفهوم الضرب حل مسألة:
" اشترت تعاونية المدرسة 127 قصة بثمن 4 دراهم للقصة الواحدة، ما هو ثمن شراء مجموع القصص؟"
👈المتعلم الذي لا يستطيع حل هذه المسألة، سنقوم بتسهيل عملية القيام بذلك بالطريقة التالية:
↤ تحديد ثمن شراء قصة واحدة ← 4 دراهم
↤ ماذا لو اشتريت قصتين ← 4 دراهم + 4 دراهم أو 2×4
↤ ماذا بالنسبة لـ 3 قصص ← 4+4+4 أو 3×4
↤ بالنسبة لـ 4 قصص ← 4+4+4+4 أو 4×4
↤ بالنسبة لـ 20 قصة ← 4+4+...+4 (20 مرة) أو 20×4
↤ تحديد العملية السهلة الإنجاز: 4+4+...+4 (20 مرة) أم 20×4؟؟
↤ استنتاج الحل ← تمن مجموع القصص هو 508 دراهم ( 508 = 125×4)
ويمكن التحقق بإعادة قراءة المراحل السابقة.
المثال الثاني: تعويض الأعداد العشرية بالأعداد الصحيحة الطبيعية المألوفة
"أراد رجل شراء أريكة ثمنها 2342,75 درهما، يملك هذا الرجل 1453,50 درهما، كم ينقصه لشراء هذه الأريكة؟؟"
↤ هنا يمكن للمتعلم أن يستبدل الأعداد الواردة في المسألة بأعداد مألوفة ومن اختياره، كأن يقول مثلا، لو كان عندي 15 درهما وأردت شراء كتابا بـ 24 درهما، كم ينقصني؟؟
↤ مثل هذه الأعداد الصغيرة لا تشتت انتباه المتعلم، بل بالعكس ستساعده على فهم المسألة وإدراك طريقة الحل وهو حساب الفرق: 15-24 ومن ثم تطبيقه على المسألة الأصلية: 1453,50 – 2342,75.
-----------------------------
✺أسلوب الرسم: يعدُّ هذا الأسلوب من الأساليب الفعّالة لحل المسائل الرياضياتية، ويستخدم عندما يكون هناك إمكانية للتعبير عن المسألة برسم أو مخطط توضيحي أو نموذج، حيث تساعد الرسومات والمخططات على رؤية العلاقات بين عناصر المسألة، كما أنها تعمل على تحويل المسألة من المستوى المجرد إلى المستوى شبه المحسوس؛ وبالتالي تصبح المعلومات والعلاقات التي تتضمنها أكثر وضوحاً، مما يساعده على فهم المشكلة؛ وبالتالي ابتكار خطة مناسبة لحلها، وليس شرطاً أن تكون الرسوم تفصيلية ودقيقة، فهي مجرد رسوم توضيحية قد ترسم مباشرة دون استخدام أدوات هندسية ودون اعتبار القياسات الفعلية.
👈سنطبق هذا الأسلوب من خلال ثلاثة أمثلة ( الأول لرسم أشكال والثاني لرسم خطاطة والثالث لرسم نموذج)
المثال الأول:
" حقل مستطيل الشكل طوله 40 مترا، وعرضه 24 مترا، أردنا غرس أشجار على محيطه بحيث تكون المسافة بين شجرتبن 8 أمتار وعلى رأس كل زاوية غرست شجرة، ما هو عدد الأشجار اللازمة؟"
↤ سنقوم برسم مستطيل على ورقة محددا عليه قياس الطول والعرض:
↤ أولا نضع على كل رأس زاوية شجرة:
↤ نقوم بحساب قسمة 40 على 8 لمعرف عدد الأجزاء التي سنقسم بها الطول:
↤ وبنفس الطريقة نقوم بحساب قسمة 24 على 8 لمعرفة عدد أجزاء العرض:
↤ ثم نتمم برسم الأشجار ونقوم بحساب عددها:
↤ فيكون الجواب هو 16 شجرة.
المثال الثاني:
" اشترى فاكهاني عدد من صناديق التفاح، بكل صندوق 12,5 كيلوغراما من التفاح، ثمن الكيلوغرام الواحد منه 7 دراهم، ودفع للبائع 2975 درهما ثمنا للتفاح وطالبه كذلك بدفع 3,5 دراهم عن كل صندوق ثمنا لإيداعه.
ما هو المبلغ الكلي الذي دفعه الفاكهاني؟"
↤ في هذا المثال سنحول معطيات المسألة إلى الخطاطة التالية:
↤ نتأكد من أن معطيات المسألة هي نفسها المدونة على الخطاطة.
↤ ثم نقوم بملئها من خلال البدء بالعملية التي يمكن إنجازها.
↤ نبحث عن العدد الذي نضربه في 7 للحصول على 2975، أي ننجز قسمة : 7÷2975 ويساوي 425 وتعني الكمية الإجمالية للتفاح التي اشتراها الفاكهاني بالكيلوغرام:
↤ الآن نبحث عن العملية التي سننجزها لمعرفة عدد الصناديق التفاح علما أن بكل صندوق 12,5 كيلوغرام من التفاح وأن الكتلة الإجمالية للتفاح هي 425 كيلوغرام.
↤ أي نبحث عن العدد الذي نضربه في 12,5 للحصول على 425 يعني إنجاز قسمة 425 على 12,5 ويساوي 34 (يعني 34 صندوق)
↤ الآن نعرف عدد الصناديق (34) وعرفنا ثمن إيداع كل صندوق، نقوم بضرب 3,5 في 34 لمعرفة ثمن إيداع كل الصناديق ويساوي 119.
↤ وأخيرا نجمع ثمن شراء التفاح (2975) وثمن إيداع كل الصناديق (119) للحصول على المبلغ الكلي الذي دفعه الفاكهاني (3094 درهما)
↤ وللتأكد من صحة حل المسألة يمكن إعادة قراءة الخطاطة من جديد وربطها بالمسألة.
المثال الثالث: في هذا المثال سنرى طريقة حل المسائل بالنموذج السنغافوري، وقد خصصنا مقالا خاص حول هذه الطريقة في حل المسائل يمكن الرجوع إليه بالنقر هنا أو على الصورة أدناه.
---------------------------------------------
"يملك عمر ورشيد 333 طابعا بريديا، إذا علمت أن رشيد ساهم بضعف ما ساهم به عمر فاحسب عدد الطوابع التي ساهم بها كل من رشيد وعمر؟"
↤ في هذا المثال نقوم بتمثيل عدد الطوابع التي يملكها كل من عمر ورشيد باستعمال شريط أو قطعة مستقيمة. علما أن رشيد ساهم بضعف ما ساهم به عمر سيكون طول شريط رشيد ضعف طول شريط عمر:
↤ ونحن نعلم أن مجموع الطوابع هو 333 طابعا، يعني أن طول كل من شريط رشيد وعمر يساوي 333:
↤ وهذا يعني أن طول كل شريط صغير هو 111=3÷333 :
↤ ومن هنا نستنتج أن ما ساهم به رشيد هو 222=111+111
↤ وما ساهم به عمر هو 111 طابعا بريديا.
↤ وللتأكد من صحة المسألة نطرح السؤالين:
- هل مجموع ما ساهم به الطفلان يساوي 333؟ ← 333=222+111
- هل ما ساهم به رشيد ضعف ما ساهم به عمر؟ ← 222=2×111 أو 111=2÷222
-----------------------------
✺أسلوب الجدول: يعتبر أيضا من بين الأساليب المستعملة لحل المسائل الرياضياتية، يستخدم غالبا عندما تتوفر المسألة على سلسلة من الأعداد بينها علاقة تناسب، أو عند البحث عن عدد ضمن سلسلة من الأعداد يتطلب تنظيمها في جدول كي تتضح الرؤية.
👈 ومن أمثلة استعمال الجدول لحل مسألة في الرياضيات، نختار المثالين التاليين:
المثال الأول:
"تقطع طائرة مسافة 20 كيلومترا في مدة 30 ثانية، ما هي السرعة المتوسطة لهذه الطائرة؟"
↤ لحل هذه المسألة نرسم جدول كما في الصورة:
↤ نقوم بملئه من خلال معطيات المسألة:
↤ فيكون الحل هو ما نجده في الخانة الرابعة (الرابع المتناسب)، وللقيام بذلك نبحث عن معامل التناسب أو تطبيق قاعدة جداء الطرفين يساوي جداء الوسطين (للمزيد من المعلومات حول طريقة التعامل مع وضعية تناسبية يرجى النقر على الرابط من هنا)
المثال الثاني:
"طلب معلم من متعلميه كتابة اسم الحيوان الذي يفضله كل واحد على السبورة، فكانت النتائج على الشكل التالي:
قط، قط، كلب، ببغاء، كلب، قط، ببغاء، كلب، كلب، ببغاء، قط ، كلب ، كلب، ببغاء، ببغاء، كلب، ببغاء، قط، كلب
ما هو الحيوان الذي يفضله أكبر عدد من التلاميذ؟ وما هو الحيوان الذي يفضله أقل عدد من التلاميذ؟"
↤ عند مشاهدة هذه المعطيات يصعب الجواب عن السؤال، لذا يتم اللجوء إلى الجدول لتنظيمها. (للمزيد من المعلومات حول تنظيم ومعالجة البيانات يمكن الرجوع إلى الرابط من هنا)
↤ ثم نقوم بملئه على الشكل التالي:
↤ من خلال الجدول، أصبحت البيانات منظمة واتضحت لنا الرؤية ويمكن الجواب عن السؤال بكل سهولة.
↤ وللتحقق من صحة الأجوبة، نقوم فقط بمراجعة عدد مرات تكرار كل حيوان.
-----------------------------
✺ أسلوب المعادلات، يعتبر هذا الأسلوب أكثر تعقيدا، يتم توظيفه في المستويات العلوية (المستويات الإعدادية والثانوية) حيث يتم فيه تحويل المسألة الرياضياتية إلى معادلة أو نظمة معادلات يكون فيها المجهول هو ما نبحث عنه في المسألة. يمكن توظيف هذا الأسلوب تقريبا في حل كل المسائل الرياضياتية كيفما كان نوعها.
👈وكمثال على ذلك، نقترح المسألة التالية:
" الحمولة القصوى لشاحنة هي 7500 كيلوغراما، احسب عدد أكياس الإسمنت التي يمكن للشاحنة حملها، علما أن كل كيس يزن 50 كيلوغراما."
↤ لحل هذه المسألة بتوظيف أسلوب المعادلات، نعتبر العدد x هو حل المسألة ( أي عدد الأكياس)
↤ فتكتب المسألة على الشكل التالي:
↤ حصلنا على معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد، وحلها يكون على هذا الشكل:
↤ فيكون الجواب عن المسألة: عدد الأكياس التي يمكن للشاحنة حملها هو 150 كيسا.
↤ وللتحقق من صحة الحل نعوض x بـ 150 في المعادلة الأولى:
👈👈 تلكم أهم ما يمكنه القول فيما يخص المسائل في الرياضيات، ما يجب التركيز عليه سواء من طرف المدرسين أو أولياء الأمور هو توجيه المتعلم إلى ما يجب القيام به خلال تعامله مع المسائل الرياضياتية من خلال ما يلي:
- تذكيرهم من حين لآخر بالخطوات المتبعة لحل مسألة في الرياضيات.
- تدريبهم على فهم محتوى المسألة من خلال التركيز على المعطيات والتمييز بين الأساسية منها وغير الأساسية والعلاقة بينها وبين المطلوب في المسألة.
- إمدادهم بالخطط والاستراتيجيات المختلفة لحل مسألة وتدريبهم على استخدامها وهو يختار الملائمة لمستواه المعرفي والمهاراتي وأيضا المناسبة للوضعية المسألة.
- التنويع في المسائل الرياضياتية والتكثيف في إنجازها.
هذا، ونتمنى أن نكون قد تحدثنا عن كل الجوانب الخاصة بهذا الموضوع.
تم إعداد المقال من طرف موقع رياضياتي بالاعتماد على المراجع التالية:
- منهجية التعامل مع المسائل الرياضياتية في المدرسة الابتدائية https://www.oujdacity.net/
- استراتيجيات مستخدمة في تعليم الرياضيات https://kenanaonline.com/e-math
- دليل المفيد في الرياضيات المستوى الأول
- دليل الجديد في الرياضيات المستوى السادس
- مجلة العلوم الإنسانية والاجتماعية، استراتيجية حل المشكلة الرياضية، العدد 13/ديسمبر 2013 صفحة 299
- استراتيجية جورج بوليا لحل المشكلة، موضوع PDF مجهول المصدر
المرجو عدم نشر تعليقات غير مناسبة للمحتوى