الدوال في الرياضيات: الدالة الخطية والدالة التآلفية

 الدوال في الرياضيات، الدالة الخطية، الدالة التآلفية، التمثيل المبياني للدالة، معامل الدالة، التناسبية، التمثيل المبياني لدالة،Les fonctions, fonction linéaire, fonction affine, le coefficient d’une fonction, la proportionnalité

سنتطرق في هذا المقال إلى تقريب لمفهوم الدوال من خلال دراسة نوعين منها هما، الدالة الخطية (Fonction linéaire) والدالة التآلفية (Fonction affine)

تعتبر الدوال (Les fonctions) من الدروس الأساسية في الرياضيات وذلك لارتباطه بكثير من العلوم الأخرى ومجالات الحياة المختلفة. ولربما يشكل سوء فهم الدوال لدى الكثير من المتعلمين شبحا وحاجزا أمام فهم واستيعاب الكثير من المفاهيم الأخرى خاصة في مادة الفيزياء.

لذا قمنا بإعداد هذا المقال لتقريب مفهوم الدوال وإبراز دورها في حل الكثير من المسائل والوضعيات المرتبطة بحياتنا اليومية، بالتركيز على نوعين فقط هما، الدالة الخطية والدالة التآلفية ، على أساس أننا سنخصص مقالات أخرى لكل نوع إن شاء الله ...

فخذوا وقتكم واقرأوا ما كتبناه وركزوا جيدا، وستتمكنون في الأخير من تجاوز كل مشكل يتعلق بالدوال بإذن الله تعالى... وإذا أعجبكم الموضوع لا تنسوا ان تقوموا بنشره مع أصدقائكم...

 ◆◆◆◆◆◆◆

 ⧫ - أولا : الدوال بشكل عام  

👈 في قلب الطبيعة، وفي تفاصيل حياتنا اليومية، لا توجد الأشياء بمعزل عن بعضها البعض، بل إن كل شيء مرتبط بشيء آخر برباط وثيق. 

👈 إن مفهوم "الارتباط" هو جوهر الكون؛ فعلى سبيل المثال:

↤ يرتبط وزن الثمرة بالعمر الذي استغرقته في النمو يعني كلما زاد عمرها يزيد وزنها... 

↤ تتغير شدة ضياء السماء بناءً على ساعة النهار، يعني أن شدة الضياء تختلف حسب ساعات النهار

↤ المسافة التي يقطعها كائن ما ترتبط ارتباطاً مباشراً بالسرعة التي يركض بها.، فلكما كانت سرعته كبيرة إلا ويقطع المسافة في وقت أقل...

↤ وهل تساءلت يوماً كيف يتوقع العلماء حالة الطقس؟ 

↤ أو كيف تحسب شركات الاتصالات فاتورة هاتفك بناءً على دقائق المكالمات؟ ... 

⇐ كل هذه العمليات، رغم اختلاف مجالاتها، تديرها في الخلفية كائنات رياضياتية بارعة تُسمى الدوال.

👈 الدوال هي ببساطة تلك اللغة الرياضياتية التي تصف لنا هذه الروابط؛ فهي تخبرنا كيف يتغير "شيء ما" تبعاً لتغير "شيء آخر"، مما يسمح لنا بفهم الحاضر، والتنبؤ بالمستقبل، وصياغة قوانين الكون في معادلات أنيقة. 

فهي الأداة الأكثر استخداماً لوصف الظواهر المحيطة بنا في الاقتصاد في التجارة في الفيزياء والتقنية في البرمجة في النمو الطبيعي وغيرها من مجالات الحياة.

◆◆◆◆◆◆◆

 ⧫ - ثانيا: هل الدوال درس جديد؟  

ربما قد تتفاجأ إن قلت لك أنك قد تعاملت مع الدوال منذ سنوات الابتدائي، وطبعا بشكل ضمني تحت مسمى آخر هو التناسبية (Proportionnalité).  حيث تعرفت أن وضعية التناسبية هي علاقة تربط بين مقدارين بحيث إذا تغير أحدهما، يتغير الآخر بنسبة ثابتة تُسمى معامل التناسب (coefficient de la proportionnalité)

ففي الواقع، تطبيقات التناسبية هي في جوهرها نوع من الدوال الذي يطلق عليه الدوال الخطية (fonction linéaire) ، ولكننا كنا نستخدم الجداول أو العلاقات بدلاً من كتابة المعادلات بشكل صريح، وسنرى ذلك في الفقرات اللاحقة أسفله. 

↤ ومن دروس التناسبية التي تطرقنا إليها على موقعنا:

- التناسبية، تقريب المفاهيم، تمثيلات وتطبيقات

- تطبيقات التناسبية: النسبة المئوية

- تطبيقات التناسبية: السرعة المتوسطة

- تطبيقات التناسبية: سلم التصاميم والخرائط

- تطبيقات التناسبية: الرأسمال وسعر الفائدة

- تطبيقات التناسبية: الكتلة الحجمة

◆◆◆◆◆◆◆

 ⧫ - ثالثا: ما هي الدالة في الرياضيات؟؟

 ببساطة، الدالة هي علاقة رياضياتية تربط بين مجموعتين من الأعداد؛ بحيث أن كل عنصر من المجموعة الأولى ( المُدخلات  ونرمز له بالحرف x) يقابله  فقط  عنصر واحد في المجموعة الثانية (المُخرجات ونرمز له بالحرف y).

👈 يمكن تشبيه  الدالة كآلة سحرية تُدخِل فيها عدد معينا (x )، فتقوم هذه الآلة بمعالجة هذا العدد وفق القاعدة المبرمجة فيها  (التي هي صيغة الدالة f(x)) فتُخرِج نتيجة فريدة (y):

هذه الصيغة تختلف من دالة إلى أخرى، لـنأخذ الأمثلة:

◂مثال 1:  هذه الدالة (الآلة) تقوم بمضاعفة العدد، فإذا أدخلنا العدد 3 ستعطينا 6، وإذا أدخلنا العدد 7 ستعطينا 14، أي أنها تقوم بضرب العدد المدخل في 2 

◂مثال 2: هذه الدالة (الآلة) تقوم بإعطاء ثلاثة أضعاف العدد ثم تضيف إليه 2، فإذا أدخلنا مثلا 3 ستعطينا 11، وإذا أدخلنا 0 ستعطينا 2، وهكذا...

◂مثال 3: هذه الدالة (الآلة) تقوم بإعطاء مربع العدد، إدا أدخلنا مثلا 6 ستعطينا 36، وإذا أدخلنا 4- ستعطينا 16 …

👈 ولتقريب المفهوم أكثر نقترح هاتين الوضعيتين من واقعنا المعيش:

◆ الوضعية الأولى:

عندما تذهب لشراء الحضر في السوق (مثلا البطاطس)، أول ما تسأل عليه البائع هو: ما هو ثمن الكيلوغرام الواحد من البطاطس؟

فيجيبك مثلا: 6 دراهم.

ستقوم الآن بربط ثمن الكيلوغرام الواحد من البطاطس بثمن الكمية  التي تريدها (كيلوغرامين، 3 كيلوغرامات ...) 

أي أنك ستقوم بضرب ثمن الكيلوغرام الواحد في كتلة البطاطس التي تريدها

كيلوغرام واحد ← ستدفع 6=1×6 دراهم

كيلوغرامين ← ستدفع 12=2×6 درهما

3 كيلوغرامات ← ستدفع 18=3×6 درهما

...

x كيلوغرام ← ستدفع 6x  درهما

يعني أن  أي عدد، ستقوم بضربه في 6 للحصول على الثمن :

1 → 6

2  → 12

3 → 18  

x → 6x

↤ فهذه إذن دالة يمكن تعميمها  وكتابتها على إحدى الصيغ المعروفة: f(x) = 6x [ أو g(x)=6x  أو h(x)=6x ...] 

⚠ نلاحظ أن الأعداد المُدخلة متناسبة مع الأعداد المُخرجة، لأننا في كل حالة نقوم بالضرب في العدد 6 

↩ فهذه الوضعية تمثل إذن وضعية تناسبية معاملها التناسب هو 6 

↩ هذا النوع من الدوال يسمى بالدوال الخطية (Fonctions linéaires) 

وتكون دائما على صيغة  f(x) = ax  حيث x متغير و a عدد ثابت معلوم.

 وسنرى تفاصيلها أكثر في الفقرات الموالية.

◆ الوضعية الثانية

اقترحت إحدى شركات الاتصال على زبنائها العرض التالي:

- اشتراك شهري بقيمة 50 درهما ودفع 0,50 درهم لكل دقيقة من المكالمات

← إذا كان عدد دقائق المكالمات المستهلكة خلال شهر يساوي مثلا 30 دقيقة فإن المبلغ الذي سيدفعه الزبون هو:

(30 × 0 ,50) + 50 = 15 + 50 = 65 dh

← وإذا كان عدد الدقائق يساوي 40 دقيقة فإن المبلغ المؤدى يساوي:

(40 × 0 ,50) + 50 = 20 + 50 = 70 dh

← وإذا كان عدد الدقائق يساوي 90 دقيقة فإن المبلغ المؤدى يساوي:

(90 × 0 ,50)+ 50 = 45 + 50 = 95 dh

← هذا يعني أن لكل عدد x من الدقائق سيؤدي الزبون كل شهر:

(x × 0 ,50)  +  50 

👈 وإذا قمنا بربط عدد الدقائق المستهلكة بـــالثمن الذي سيدفعه الزبون نحصل على ما يلي:

30  →  65

40  →  70

90  → 95

                      x  →  ( x × 0 ,50 ) + 50

👈 فهذه إذن دالة يمكن كتابتها مثلا على الصيغة التالية: 

👈 ونلاحظ أن: 

👈 سنقوم الآن بتمثيل المُدخلات والمُخرجات في جدول لنرى هل الوضعية تمثل فعلا وضعية تناسبية أم لا: 

👈 نلاحظ أن هذه الوضعية لا تمثل وضعية تناسبية لأن أعداد السطر الأول غير متناسبة مع أعداد السطر الثاني ( غياب معامل تناسب ثابت يمكن ضرب فيه كل عدد من السطر الأول لنجد مقابله في السطر الثاني)

هذا النوع من الدوال يسمى بالدوال التآلفية (Fonctions affines)

وتكون دائما على صيغة  f(x) = ax + b  حيث x متغير و a و b عددين ثابتين معلومين.

وسنرى تفاصيل أكثر في الفقرات الموالية

◆◆◆◆◆◆◆

 ⧫ - رابعا: أنـــواع   الــدوال 

توجد أنواع كثيرة من الدوال تختلف حسب طريقة صياغتها وما تدل عليها، لكن في هذا الدرس سنقتصر فقط على ثلاثة أنواع منها، على أساس أننا سنتطرق إلى أنواع أخرى مستقبلا إن شاء الله.

● النوع الأول : الدوال الخطية (Fonctions Linéaires )

تطرقنا إليها في الفقرة السابقة وتكون دائما بصيغة:  f(x) = ax  حيث  x متغير و  a عدد ثابت معلوم.

أمثلة: 

👈 والذي تتميز به هذه الدالة أيضا أنها تمثل وضعية تناسبية، لذا فإن تمثيلها المبياني يكون على شكل مستقيم يمر من أصل المَعلم وقد رأينا ذلك في درس التناسبية (يمكن الرجوع إليه بالنقر هنا) 

👈 تلاحظون معي أن جميع هذه المستقيمات تمر من أصل المَعلم.

● النوع الثاني: الدوال التآلفية (Fonctions affines)

تطرقنا إليها أيضا في الفقرة السابقة وتكون بصيغة  f(x) = ax + b حيث x متغير و a و b عددين ثابتين معلومين.

أمثلة: 

👈هذه الدالة لا تمثل وضعية تناسبية، فالتمثيل المبياني لهذا النوع من الدوال عبارة عن مستقيم لكنه لا يمر من أصل المعلم ( إذا كان b≠0) 

👈 نلاحظ أن جميع هذه المستقيمات لا تمر من أصل المعلم.

● النوع الثالث: الدوال الثابتة (Fonctions constantes)

الدالة الثابتة هي الدالة التي يكون معاملها منعدما (a = 0)، فتكون الدالة ثابتة تساوي فقط عددا ثابتا معلوما.

أمثلة: 

التمثيل المبياني للدالة الثابتة يكون عبارة عن مستقيم أفقي كما توضح الصورة التالية:

  ملاحظات وإضافات  

ملاحظة ❶: في حقيقة الأمر فإن الدالة الخطية والدالة الثابتة هما حالتان خاصتان للدالة التآلفية f(x) = ax + b:

◂فإذا كان  b = 0 نحصل على f(x) = ax  وهذه دالة خطية (Fonction Linéaire )

◂وإذا كان a = 0 نحصل على  f(x) = b  وهذه دالة ثابتة (Fonction constante)

◂وإذا كان  a = 0 و b = 0 نحصل على f(x) = 0  وهذه دالة منعدمة (Fonction nulle)

ملاحظة ❷: هناك ارتباط وثيق بين الدوال الخطية والتآليفية ومعادلة مستقيم، إذ يمكن القول إن الدالة (الخطية أوالتآلفية) هي الوجه التحليلي الخفي الذي يعطي الأوامر، ومعادلة المستقيم هو الوجه الهندسي الذي يوضح المسار.  للمزيد من المعلومات حول معادلة المستقيم يمكن الرجوع إلى الدرس بالنقر على الرابط من هنا.

ملاحظة ❸: الدوال الخطية والتآلفية هما فقط الدوال التي يتم تمثيلها بمستقيم، غير ذلك، يتم تمثيل الأنواع الأخرى بمنحنيات 

◆◆◆◆◆◆◆

 ⧫ - خامسا : تقنيات ومهارات التعامل مع الدوال الخطية والتآلفية 

👈بعد أن تعرفنا على مفهوم الدالة وأنواعها، حان الوقت لنتعلم الأدوات التي تجعلنا نتحكم فيها حسابياً. إليك المهارات الأساسية التي يحتاجها كل متعلم:

① تحديد صورة عدد بدالة حسابيا (Déterminer l’image d’un nombre par une fonction par calcul)

هذه العملية هي الأكثر شيوعا في أغلبية التمارين المرتبطة بالدالة، (أعطيك المُدخَل x وتعطيني المُخرَج y مثلا)

وللقيام بذلك نقوم باستبدال المجهول x في صيغة الدالة بالعدد المطلوب سواء كانت خطية أو تآلفية، ثم ننجز العمليات الحسابية.

👈ونقترح في هذه الأمثلة طبيعة الأسئلة التي تطلب تحديد صورة عدد بدالة معينة:

◈ مــثــال1: 

في هذا المثال المطلوب منا هو تحديد صورة العدد 2 بالدالة f

نقوم باستبدال x بالعدد 2  فنحصل على: 

◈ مــثــال 2: 

في هذا المثال المطلوب مباشرة هو حساب g(3)

نقوم مرة أخرى  باستبدال x بالعدد 3  فنحصل على: 

② تحديد سابق عدد بدالة حسابيا (Déterminer un antécédent par calcul)

تحديد السابق (L’antécédent)  يعني تحديد العدد الذي صورته معروفة ( عكس ما سبق، يعني أنا أعطيك المُخرَج y وتعطيني المُدخَل x )

وللقيام بذلك نضع المعادلة:  العدد المعطى = f(x)  ثم نقوم بحلها.

👈 ونقترح في هذه الأمثلة طبيعة بعض الأسئلة التي تطلب تحديد سابق عدد بدالة معينة

◈ مــثــال 1

المطلوب في هذا التمرين هو تحديد سابق العدد 5- بالدالة f.

يعني أن  نبحث عن العدد الذي صورته هي 5-

نقوم بحل المعادلة:  f(x) = -5 

◈ مــثــال 2

المطلوب في هذا المثال هو تحديد العدد الذي صورته هي 3-

نقوم بحل المعادلة:  f(x) = -3

◈ مــثــال 3

المطلوب هنا مباشرة هو حل المعادلة  f(m) = -9 ( وهذا يعني طبعا تحديد سابق العدد 9- أو تحديد العدد الذي صورته 9-)

  ملاحظات وتوجيهات 

👈 يجب التمييز بين صورة عدد وسابق عدد بدالة معطاة، إذ يمكن أحيانا أن يطلب منا تحديد صورة وسابق نفس العدد:

◈ صورة عدد ← يعني أن العدد المُدخَل معلوم ونحن نبحث عن النتيجة، في هذه الحالة نقوم بتعويض x بالعدد 4 ثم نقوم بالحساب 

◈ سابق عدد ← يعني أن النتيجة معلومة  (هنا هي 4) ونحن نبحث عن العدد الذي انطلقنا منه، نقوم بكتابة المعادلة ثم نقوم بحلها 

↤ يمكن التأكد من صحة ما أنجزناه بإعادة البحث عن صورة العدد المتوصل إليه: 

في المثال السابق توصلنا إلى أن سابق العدد 4 بالدالة f(x)=3x+1 يساوي 1

فهل فعلا صورة العدد 1 بهذه الدالة هو 4؟

نقوم بتعويض x بـ 1 ثم نحسب: 

f(1)  =  3×1  +  1 = 3 + 1 = 4

إذن ما توصلنا إليه صحيح.

👈 توظيف صورة وسابق عدد في حل وضعية مسألة في الرياضيات

نعود إلى إحدى الوضعيتين السابقتين:

اقترحت إحدى شركات الاتصال على زبنائها العرض التالي: اشتراك شهري بقيمة 50 درهما ودفع 0,50 درهم لكل دقيقة من المكالمات:

- كم سيدفع الزبون في حالة ما إذا كان عدد الدقائق المستهلكة في الشهر يساوي 120 دقيقة؟؟

- كم عدد الدقائق المستهلكة في حالة ما إذا أدى الزبون 120 درهما؟؟

↤ تعمدت وضع نفس العدد في السؤالين، لكن طبعا عددين مختلفين من حيث ما يدل كل واحد عليه، الأول 120 دقيقة والثاني 120 درهما 

↤ وللوصول إلى الحل نقوم أولا بتحويل المسألة إلى دالة، وقد توصلنا إلى هذه الدالة من خلال ما سبق، وهي:

ماذا تفعل هذه الدالة بالضبط؟؟

الأمر بسيط جدا، فهي تقوم بتحويل عدد الدقائق المستهلكة (x) إلى المبلغ الذي يجب دفعه في آخر كل شهر.

↤ إذن، بالنسبة للسؤال الأول:

سنقوم بتعويض العدد x بالعدد 120 دقيقة (يعني البحث عن صورة العدد 120 بالدالة)  فنحصل على:

f(120) = ½ × 120 + 50 = 60+50 = 110 dh

↤ وبالنسبة للسؤال الثاني:

سنبحث عن عدد الدقائق المستهلكة (x) إذا أدى الزبون 120 درهما

أي البحث عن سابق العدد 120 بالدالة 

يعني نحل المعادلة :  f(x) = 120

فنحصل على: 

فيكون الجواب عن السؤال الثاني هو 140 دقيقة

③ تحديد معامل الدالة (Coefficient de la fonction)

👈 نجد في بعض التمارين أسئلة تطلب منا حساب معامل الدالة بشكل مباشر أو غير مباشر من خلال تحديد صيغة الدالة كما سنرى في الأمثلة الموالية، وللقيام بذلك نحدد أولا نوعية الدالة:

✱ في الدالة الخطية: الأمر بسيط جداً، نحتاج فقط لصورة عدد واحد غير منعدم حيث نقوم بقسمة صورة العدد على العدد نفسه، وبلغة الرياضيات نكتب: 

◈ مــثــال: في هذا المثال طلب منا تحديد معامل الدالة بشكل مباشر ثم استنتاج صيغتها:

✱ في الدالة التآلفية: هنا نحتاج إلى عددين وصورتيهما، حيث نقوم بقسمة فرق الصورتين على فرق العددين، وبلغة الرياضيات نكتب: 

◈ مــثــال: في هذا المثال طلب منا تحديد صيغة الدالة لكن لابد أولا من تحديد معاملها: 

  ملاحظات وإضافات 

ملاحظة ❶: لا يمكن تحديد معامل الدالة التآلفية انطلاقا من عدد واحد وصورته ، لكن أحيانا يطلب منا ذلك انطلاقا من عدد واحد وصورته مع إعطاء قيمة للعدد b ( الأرتوب عند الأصل)، كما يوضح المثال التالي: (هذا المثال مقتطف من أحد الامتحانات الجهوية في الرياضيات) 

ملاحظة ❷: يمكن أيضا أن يطلب منا تحديد معامل الدالة انطلاقا من فرق صورتين لعددين معينين فقط، كما يوضح هذا المثال (هذا المثال أيضا مقتطف من أحد الامتحانات الجهوية في الرياضيات) 

ملاحظة ❸: تحديد معامل الدالة يشبه كثيرا تحديد المعامل الموجه للمستقيم أو ما يطلق على أيضا ميل المستقيم(La pente d'une droite)، وذلك لأن التمثيل المبياني للدالة الخطية والتآلفية عبارة عن مستقيم. وللمزيد من التوضيحات حول طريقة حساب المعامل الموجه (أو الميل) لمستقيم يرجى الانتقال إلى درس المعادلة المختصرة للمستقيم من خلال النقر على الرابط من هنا.

④ قراءة الدالة مبيانيا (Lecture graphique de la fonction)

👈 كل ما قمنا به أعلاه حسابيا يمكن القيام به مبيانيا، لكن طبعا  لابد من الانطلاق من التمثيل المبياني للدالة.

فلنبدأ إذن بطريقة تمثيل الدالة في المعلم المتعامد الممنظم.

✱ طريقة تمثيل دالة مبيانيا (Représenter graphiquement une fonction)

⇐ التمثيل المبياني لدالة خطية عبارة عن مستقيم يمر من أصل المعلم، ← لتمثيله إذن تكفي نقطة واحدة (عدد وصورته)

⇐ التمثيل المبياني لدالة تآلفية عبارة عن مستقيم لا يمر من أصل المعلم، ← لتمثيله نحتاج إلى نقطتين (عددان وصورتاهما)

⇐ التمثيل المبياني لدالة ثابتة عبارة عن مستقيم أفقي يوازي محور الأفاصيل (Axe des abscisses) ويمر من النقطة التي أرتوبها العدد الثابت

◈ مــثــال: ( مقتطف من أحد الامتحانات الجهوية في الرياضيات)

👈وباللغة العربية نكتب: 

 ملاحظة هامة 

يمكن أن يطلب منا تمثيل دالة تآلفية انطلاقا من نقطة واحدة ومعاملها الموجه، نقترح هذا المثال: 

✱ طريقة تحديد صورة أو سابق عدد بدالة مبيانيا (Image et antécédent graphiquement)

👈 أحيانا يطلب منا تحديد صورة عدد مبيانيا أو سابق عدد مبيانيا، يعني انطلاقا من مستقيم ممثل في معلم متعامد ممنظم

ودائما يجب أن نتذكر أن الصورة التي هي النتيجة تكون على محور الأراتيب (Axe des ordonnées)

وأن السابق الذي هو الأصل يكون على محور الأفاصيل (Axe des abscisses)

👈وللقيام بذلك نأخذ الأمثلة:

◀ المطلوب منا في السؤال الأول هو تحديد صورة العدد 2، في هذه الحالة ننطلق من  محور الأفاصيل (Axe des abscisses) وبالضبط من الأفصول 2 ثم نتحرك عموديا إلى أن نصل إلى المستقيم الذي يمثل التمثيل المبياني للدالة ثم نتحرك أفقيا إلى أن نصل إلى محول الأراتيب (Axe des ordonnées) ثم نقرأ العدد على هذا المحور، فتكون صورة العدد 2 بالدالة f  هي 4 :

◀ وفي السؤال الثاني، المطلوب هو تحديد العدد الذي صورته 5- ، يعني سابق العدد 5-، هنا سننطلق من 5- في محور الأراتيب (Axe des ordonnées) ثم نتحرك أفقيا إلى أن نصل إلى المستقيم الذي يمثل التمثيل المبياني للدالة ثم نتحرك عموديا حتى نصل إلى محور الأفاصيل (Axe des abscisses)  ثم نقرأ العدد على هذا المحور، فيكون العدد الذي صورته 5- هو العدد 1- ( أو سابق العدد 5- هو العدد 1-) 

👈 نقوم بحل هذا التمرين المأخوذ من أحد الامتحانات الجهوية السابقة في مادة الرياضيات:

✱ طريقة تحديد معامل الدالة مبيانيا (Le coefficient de la fonction graphiquement)

👈 كما يمكن أن نجد بعض الأسئلة التي تطلب منا تحديد معامل الدالة انطلاقا من تمثيلها المبياني.

وقد تطرقنا إلى هذه الطريقة في درس المعادلة المختصرة للمستقيم، باعتبار أن معامل الدالة الخطية أو التآلفية هو نفسه المعامل الموجه ( أو الميل) في معادلة المستقيم، وذلك في فقرة طريقة تحديد معادلة مستقيم انطلاقا من تمثيله المبياني، يمكن الرجوع إليها بالنقر على الرابط من هنا 

👈 ولفهم أكثر للتقنية نقترح هذا المثال: 

◀ بالنسبة للدالة f

1- نختار نقطتين من المستقيم ( الذي يمثل الدالة) بحيث تكونان في نفس الوقت على رأس إحدى تربيعات شبكة المَعلم 

← لماذا بالضبط اخترنا رؤوس تربيعات الشبكة؟؟ الجواب كي نقوم بحساب عدد التربيعات عموديا وافقيا من النقطة الأولى  (نقطة الانطلاق) نحو النقطة الثانية  (نقطة الوصول)

2- من أي نقطة سننطلق لحساب التربيعات؟؟ من الاحسن البدء دائما من النقطة الموجودة على اليسار، ثم نحسب عدد التربيعات عموديا أو افقيا ( لك الاختيار)، 

نحن هنا نبدأ بحساب عدد التربيعات عموديا. ← توصلنا إلى 5 تربيعات أسفل ( يعني عكس منحى محور الأراتيب) وبالتالي نكتب 5-. 

3- من المكان الذي توقفنا فيه ننطلق أفقيا نحو النقطة الثانية، ثم نحسب عدد التربيعات.  ← توصلنا إلى 4 تربيعات يمين ( يعني في نفس منحى محور الأفاصيل)، وبالتالي نكتب 4. 

4- نطبق هذه الصيغة التي رأيناها في إحدى الفقرة السابقة فنتوصل إلى أن معامل الدالة f  يساوي:  

◀ بالنسبة للدالة g : 

✱ طريقة حل معادلة مبيانيا بتوظيف الدوال الخطية والتآلفية (Résoudre graphiquement une équation)

👈 أحيانا نجد أيضا أسئلة تطلب منا حل معادلة مبيانيا، ومن هذه الأسئلة نقترح ما يلي (مقتطف من أحد الامتحانات الجهوية في الرياضيات): 

👈 لحل هذا التمرين نقوم أولا بإنشاء التمثيل المبياني للدالتين:

◅ f دالة خطية، إذن (∆) المستقيم الذي يمثلها يمر عبر أصل المعلم ونقطة أخرى يجب تحديدها،

    نعطي مثلا x=2 (للتخلص من الكسر)

    إذن:    f(2) = -3/2  × 2  =  -3

   ومنه نستنتج النقطة الثانية التي إحداثياتها (3- ;2)

◅  g دالة تآلفية، إذن يجب تحديد نقطتين لرسم المستقيم (D) الذي يمثل هذه الدالة:

   نأخذ مثلا  x = 0  إذن  g(0) = -2 × 0 + 1 = 0 +1 =1  ← النقطة الأولى ذات الإحداثيات (1 ;0)

   نأخذ مرة أخرى x = 1  إذن: g(1) = -2×1 + 1 = -2 +1 = -1 ← النقطة الثانية  ذات الإحداثيات (1- ;1)

◅ الآن نقوم برسم المستقيمين في معلم متعامد ممنظم: 

👈 السؤال الثاني: الحل المبياني للمعادلة f(x) = g(x)

 f(x) = g(x)  يعني تحديد النقطة التي لها نفس الأرتوب وتنتمي إلى المستقيمين معا

وبما أن المستقيمين يتقاطعان في نقطة واحدة 

فهذه النقطة حسب التمثيل المبياني السابق هي (3- ;2) 

ومنه نستنتج أن حل هذه المعادلة هو الزوج: (3- ;2)

◆◆◆◆◆◆◆

 ⧫ - سادسا: حل وضعية بتوظيف الدوال Résoudre un problème à l’aide d’une fonction 

👈 توجد وضعيات مسائل يتطلب حلها توظيف الدوال

في هذه الفقرة سنرى البعض منها وطريقة القيام بذلك من خلال دراسة الدالتين الخطية والتآلفية

✽- وضعية 1

يقترح مالك دراجات هوائية على زبنائه صيغتين للكراء:

الصيغة 1: اشتراك شهري بقيمة 30 درهما وأداء درهمين عن كل دورة.

الصيغة 2: أداء 5 دراهم عن كل دورة

أراد الطفل مراد كراء دراجة هوائية، قم بمساعدته على الاختيار الأنسب من بين الصيغتين. واشرح له الأفضل من بينهما.

← أولا نقوم بتحويل كل صيغة من الصيغتين المقترحتين إلى دالتين على الشكل التالي:

● الصيغة الأولى: مراد سيدفع شهريا 30 درهما إضافة إلى درهمين عن كل دورة يقوم بها

◂ يعني أن إذا قام بدورة واحدة مثلا في هذا الشهر فإنه سيدفع:  

1×2 + 30 =2 + 30 = 32

◂ وإذا قام بدورتين خلال شهر فإنه سيدفع:

 2×2 + 30 = 4 + 30 = 34

◂ وإذا قام بثلاث دورات سيدفع: 

 3×2 + 30 = 6 + 30 =36

◂◂ يعني إذا قام بـ x دورة فإنه سيدفع شهريا:

 2x + 30 

← فنحصل على الدالة، نسميها f بحيث:   f(x) = 2x + 30

● الصيغة الثانية: مراد سيدفع 5 دراهم عن كل دورة يقوم بها

◂ إذا قام بدورة واحدة سيدفع:

 1 × 5 = 5

◂ وإذا قام بدورتين سيدفع:

 2 × 5 = 10

◂ وإذا قام بثلاث دورات سيدفع:

 3 × 5  = 15

◂ وهذا يعني أنه إذا قام بـ  x دورة سيدفع:  5x

← فنحصل على الدالة، نسميها g بحيث:  g(x) = 5x

 👈 نقوم الآن بتمثيل الدالتين في معلم متعامد ممنظم بالطريقة التي رأيناها في فقرة طريقة تمثيل دالة مبيانيا.

الدالة f دالة تآلفية والدالة g  دالة خطية 

👈 نلاحظ أن المستقيمين يلتقيان في النقطة ذات الإحداثيات (50 ;10) 

وهذا يعني أنه إذا قام الطفل مراد بـ 10 دورات شهريا فإنه سيدفع نفس الثمن سواء اختار الصيغة الأولى أو الثانية الذي هو 50 درهما:

f(10) = 2×10 + 30 = 20 + 30 = 50

g(10) = 5×10 = 50

👈 وإذا كانت عدد الدورات أكثر من 10 فإن الصيغة الأولى هي الأرخص (نأخذ مثلا 12 دورة)

f(12) =  2×12 + 30 = 24 + 30 = 54

g(12) =12 × 5 = 60

👈 أما إذا كان عدد الدورات أقل من 10 فإن الصيغة الثانية هي الأرخص (نأخذ مثلا 8 دورات)

f(8) =  2×8 + 30 = 16 + 30 = 46

g(8) =  8×5  = 40

إذن سنخبر مراد بأن الصيغة المناسبة له  مرتبطة بعدد الدورات التي يريد القيام بها  كل شهر حسب ما سبق ذكره.

✽- وضعية 2

Un opérateur téléphonique propose trois formules à ses clients. 

Formule ❶ : un abonnement de 50 dh puis 0,50 dh par minute de communication.

Formule ❷ : un abonnement de 100 dh et 0,20 dh par minute de communication.

Formule ❸ : 1dh par minute de communication.

On désigne par x le nombre de minutes de communication.

1) Déterminer le prix à payer en dh en fonction de x (minutes de communication) :

- avec la formule ❶ qu'on note f(x) 

- avec la formule ❷ qu'on note g(x)

- avec la formule ❸ qu'on note h(x).

2) Quelle est la formule la plus avantageuse pour un client qui a consommé 30 minutes ?

1- تحديد الدوال (Détermination des fonctions)

المطلوب هو كتابة المبلغ المؤدى بدلالة عدد الدقائق x.

● الصيغة الأولى (❶Formule):

◅ لدينا مبلغ ثابت (اشتراك) قدره 50 درهما، ومبلغ متغير قدره 0,50 درهم عن كل دقيقة.

◅ النوع: دالة تآلفية (Fonction affine).

◅ العلاقة: f(x) = 0,50 x + 50

◅ يعني: f(x)=1/2x + 50

● الصيغة الثانية (❷Formule):

◅ لدينا اشتراك قدره 100 درهم ومبلغ 0,20 درهم عن كل دقيقة

◅ النوع: دالة تآلفية (Fonction affine).

◅ العلاقة:  g(x) = 0,20 x + 100

◅ يعني: g(x) = 1/5x + 100

● الصيغة الثالثة (❸Formule):

◅ لا يوجد اشتراك ثابت، فقط درهم واحد عن كل دقيقة.

◅ النوع: دالة خطية (Fonction linéaire).

◅ العلاقة: h(x) = 1 x = x

2- العرض الأنسب لـ 30 دقيقة (La formule la plus avantageuse)

لمعرفة العرض الأفضل، نقوم بحساب صورة العدد 30 بواسطة كل دالة (أي نعوض x بـ 30):

 حساب تكلفة الصيغة ❶:

f(30) = 1/2 × 30 + 50 = 15 + 50 = 65

حساب تكلفة الصيغة ❷:

g(30) = 1/5 × 30  +  100 = 6 + 100 = 106

حساب تكلفة الصيغة ❸:

h(30) = 30 × 1= 30

المقارنة والنتيجة (Conclusion):

 نلاحظ أن

30 < 65 < 106

إذن، الصيغة الثالثة هي الأرخص للزبون الذي يستهلك 30 دقيقة فقط.

 On remarque que 30 < 65 < 106. Par conséquent, la Formule ❸ est la plus avantageuse pour un client qui consomme 30 minutes.

وللمزيد من التمارين والأنشطة حول الدوال الخطية والتآلفية، ندعوكم إلى الانتقال إلى مقال سابق وضعنا فيه مجموعة من التمارين حول هذه الدوال والمأخوذة من نماذج الامتحانات الجهوية السابقة في مادة الرياضيات، رابط الانتقال هنا،،