حل اللغز التاسع: مساحة جزء من المثلث

 

👈 لدينا في هذا الشكل مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين طول كل ساق يساوي 𝒃، ومستقيمين متقاطعين في نقطة داخل المثلث، كل مستقيم يمر من طرف وتر المثلث ويقطع الساق المقابل معه في نقطة تبعد عن الرأس قائم الزاوية بنفس المسافة التي تساوي 𝒂.

المطلوب هو تحديد مساحة المثلث المشكل من خلال هاذين المستقيمين بدلالة 𝒂 و 𝒃.

👈من خلال الشكل يتضح لنا وجود عدة مثلثات لكن يصعب علينا تحديد مساحتها لاعتبار أن ارتفاعاتها غير معروفة.

👈ولحل هذا التحدي أقترح عليك هذه الطريقة:

نقوم بتجزيء المثلث الكبير إلى ثلاث مثلثات كما يوضح الشكل التالي، ثم نحاول تحديد مساحة المثلثين الملونين بالأحمر لنطرحها بعد ذلك من مساحة المثلث الكبير

👈 وللقيام بذلك يجب تحديد طول ارتفاع المثلثين الملونين بالأحمر، وذلك باتباع الطريقة الموضحة أسفله:

👇👇

↤ نعتبر هذا المثلث كمعلم متعامد ممنظم أصله 𝐎 هو الرأس القائم ووحدته هي المسافة 𝐎𝐈=𝐎𝐉=𝒂، ونعتبر النقط 𝐀 و𝐁 و𝐂 كما يوضح الرسم التالي :

↤ نحدد إذن إحداثيات كل نقطة باعتبار المعلم (𝐎,𝐈,𝐉) ( للتعرف أكثر على مفهوم الإحداثيات ومميزاتها والهدف منها في حياتنا اليومية نقترح عليك الانتقال إلى هذا المقال بالنقرعلى الرابط من هنا)

◂النقطة 𝐎 أصل المعلم، إحداثياتها: (𝟬,𝟬)𝐎

◂النقطة 𝐈 توجد على محور الأفاصيل وتبعد عن أصل المعلم بمسافة 𝒂، إذن إحداثياتها هي

𝐈 (𝒂,𝟬)

◂النقطة 𝐉 توجد على محور الأراتيب وتبعد عن أصل المعلم بمسافة 𝒂، إذن إحداثياتها هي 

𝐉(𝟬,𝒂)

◂النقطة 𝐀 توجد بدورها على محور الأفاصيل وتبعد عن أصل المعلم بالمسافة 𝒃، إذن إحداثياتها هي:

𝐀(𝒃,𝟬)

◂النقطة 𝐂 توجد على محور الأراتيب وتبعد عن أصل المعلم بالمسافة 𝒃، إذن إحداثياتها هي:

𝐂(𝟬,𝒃)

◂بالنسبة للنقطة 𝐁، إذا تمكنا من إيجاد إحداثياتها فإننا سنتمكن من معرفة ارتفاع المثلثين 𝐎𝐁𝐀 و 𝐎𝐁𝐂

↩ الأفصول 𝒙 يحدد لنا المسافة بين 𝐁 و الضلع [𝐎𝐂] الذي هو ارتفاع المثلث 𝐎𝐁𝐂

↩ والأرتوب 𝒚 يحدد لنا المسافة بين 𝐁 و الضلع [𝐎𝐀] الذي هو ارتفاع المثلث 𝐎𝐁𝐀

👈 فكيف سنحدد إذن إحداثيات هذه النقطة؟؟

لتحديد إحداثياتها يجب استحضار بعض خصائص الرياضيات المرتبطة بمعادلة مستقيم.

(يمكن الانتقال إلى درس معادلة مستقيم للمزيد من المعلومات حول كل ما يخص هذا المفهوم بالنقر على الرابط من هنا)

↤ نلاحظ أن النقطة 𝐁 هي نقطة تقاطع كل من المستقيمين (𝐀𝐉) و (𝐂𝐈) 

إذن  سنحدد معادلة كل من المستقيمين (𝐀𝐉) و (𝐂𝐈) ثم بعد ذلك نحل نظمة هاتين المعادلتين للحصول على إحداثيات 𝐁

✤ تحديد معادلة المستقيم (𝐀𝐉):

✤ وبنفس الطريقة نحدد معادلة المستقيم (𝐂𝐈)

↤ نقوم الآن بحل النظمة التي تتكون من معادلتي المستقيمين السابقين 

( وللمزيد من المعلومات حول النظمات وطرق حلها نقترح عليكم الانتقال إلى الدرس عبر الرابط التالي)

↤ إذن إحداثيات النقطة 𝐁 هي:

نلاحظ أن الافصول يساوي الارتوب وإذا رجعنا إلى المثلثين سنرى أن ارتفاعهما متقايسان

↩ ومنه نستنتج أن ارتفاع المثلثين الملونين بالأحمر  والذي سميناهما  بعد ذلك المثلثين  𝐎𝐁𝐀 و𝐎𝐁𝐂 يساوي: 

👈الآن  يمكننا حساب مساحة المثلثين ونطرحها من مساحة المثلث الكبير للحصول على مساحة الجزء الملون المطلوب منا في التحدي.

↤ طبعا نكتفي بحساب مساحة أحد المثلثين لأن لهما كما قلنا سابقا نفس المساحة.

↤ صيغة حساب مساحة المثلث هي: 2÷ (الارتفاع × القاعدة)

(وللمزيد من المعلومات حول حساب المساحات يرجى الانتقال إلى الدرس عبر النقرهنا.)

↤ الارتفاع  قمنا بحسابه وطول القاعدة الموافقة له هنا  يساوي 𝒃

↤ إذن مساحة المثلث الأحمر 𝐎𝐁𝐀

↤ وبالتالي فإن مساحة المثلثين  𝐎𝐁𝐀 و 𝐎𝐁𝐂 معا تساوي:

↤ ومن جهة أخرى فإن مساحة المثلث الكبير تساوي: 

↤ إذن نستنتج أن مساحة الجزء الملون في التحدي يساوي:

👈ولكي نستمتع أكثر، ما دمنا في هذا الموضوع، سأطرح  عليك سؤالا آخر له علاقة بالشكل الهندسي الذي نحن بصدده:

◅ متى يمكن أن تكون مساحة الجزء الملون من الشكل تساوي نصف المساحة الإجمالة للمثلث الكبير؟

◅ ومتى يمكن أن تكون تساوي ربع المساحة الإجمالية للمثلث الكبير؟

 سنكتشف العلاقة بين مساحة هذا الجزء بالنسبة لمساحة المثلث الكبير...

للإجابة عن هذه الأسئلة سنحدد أول النسبة التي تمثلها مساحة الجزء الملون ( سنرمز لها بـ S₁) بالنسبة لمساحة المثلث الأكبر( سنرمز لها بـ S₂) وذلك من خلال تبسيط قسمة S₁ على S₂:

👈الآن، يمكن الإجابة عن الأسئلة السابقة،

◅ بالنسبة للسؤال الأول: متى يمكن أن تكون مساحة الجزء الملون من الشكل تساوي نصف المساحة الإجمالة للمثلث الكبير؟؟

وهذا يعني:

S₁ / S₂ = 1 / 2

وبتعويض النسبة S₁ / S₂ بما توصلنا إليه سنحصل على:

يعني أنه إذا كان طول الضلع 𝒃 يساوي ثلاثة أضعاف طول الضلع 𝒂 فإن مساحة الجزء الملون يساوي نصف المساحة الإجمالية للمثلث الكبير. 

مثلا إذا كان 12=𝒃  و 4=𝒂 فإن مساحة الجزء الملون تساوي: 

في حين أن مساحة المثلث الكبير تساوي: 72= 2÷ (12 × 12)

تلاحظون أن 36 نصف 72.

◅ وبالنسبة للسؤال الثاني: ومتى يمكن أن تكون تساوي ربع المساحة الإجمالية للمثلث الكبير؟

نتركك للإجابة عليه 

واكتب لنا في التعليقات ما توصلت إليه وما رأيك في هذا التحدي؟؟ ربما من أصعب التحديات،، اليس كذلك؟؟